9．1.1　第2课时　正弦定理的应用（教师版）

第2课时　正弦定理的应用
|1.熟记并能应用正弦定理的有关变形公式解决三角形中的问题．　2.能根据条件判断三角形的解的个数和形状．　3.能利用正弦定理、三角恒等变换求解或证明有关问题．
INCLUDEPICTURE "新知学习探究LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "数学人B必修第四册/新知学习探究LLL.TIF" \* MERGEFORMAT
INCLUDEPICTURE "新课导学1LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "数学人B必修第四册/新课导学1LLL.TIF" \* MERGEFORMAT
思考1　已知三角形的两角和任意一边，求另两边和另一角，三角形的解是否唯一确定？
提示：三角形被唯一确定，有唯一解．
思考2　已知两边和其中一边的对角，求其他的边和角，三角形的解是否唯一确定？
提示：三角形不能被唯一确定，可能出现两解的情况．
一　三角形解的个数
现以已知a，b和A解三角形为例，从两个角度予以说明．
(1)代数角度：
由正弦定理得sin B＝，
①若>1，则满足条件的三角形个数为0，即无解．
②若＝1，则满足条件的三角形个数为1，即一解．
③若<1，则满足条件的三角形个数为1或2.
(2)几何角度：
类别 图形 关系式 解的个数
A为锐角 INCLUDEPICTURE "25SZ1.TIF" INCLUDEPICTURE "数学人B必修第四册/25SZ1.TIF" \* MERGEFORMAT ①a＝b sin A；②a≥b 一解
INCLUDEPICTURE "25SZ2.TIF" INCLUDEPICTURE "数学人B必修第四册/25SZ2.TIF" \* MERGEFORMAT b sin AINCLUDEPICTURE "25SZ3.TIF" INCLUDEPICTURE "数学人B必修第四册/25SZ3.TIF" \* MERGEFORMAT aA为钝角或直角 INCLUDEPICTURE "25SZ4.TIF" INCLUDEPICTURE "数学人B必修第四册/25SZ4.TIF" \* MERGEFORMAT a>b 一解
INCLUDEPICTURE "25SZ5.TIF" INCLUDEPICTURE "数学人B必修第四册/25SZ5.TIF" \* MERGEFORMAT a≤b 无解
INCLUDEPICTURE "例1LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "数学人B必修第四册/例1LLL.TIF" \* MERGEFORMAT 已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a＝，b＝2，A＝，则满足条件的△ABC(　　)
A．无解　　　　　　　 B．有一个解
C．有两个解 D．不能确定
【解析】　因为a＝，b＝2，所以a又A＝，所以B>A＝.
由＝，得sin B＝＝＝，
所以B＝或B＝，经检验，均满足条件．
若B＝，则C＝；若B＝，则C＝.
因此满足条件的△ABC有两个解．
【答案】　C
INCLUDEPICTURE "解题技法LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "数学人B必修第四册/解题技法LLL.TIF" \* MERGEFORMAT
(1)若已知两边和其中一边的对角，利用正弦定理解三角形时，则需要判断三角形有几个解，防止漏解或增解．
(2)判断三角形解的个数时可以选择代数法，也可以根据条件画出图形，通过图形直观判断三角形解的个数．
[跟踪训练1] 在△ABC中，a＝x，b＝，A＝，若该三角形有两个解，则x的取值范围是(　　)
A．(，6) B．(2，2)
C． D．
解析：选D.因为三角形有两个解，
所以b sin A二　判断三角形的形状
INCLUDEPICTURE "例2LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "数学人B必修第四册/例2LLL.TIF" \* MERGEFORMAT 　在△ABC中，已知＝＝，试判断△ABC的形状．
【解】　由正弦定理＝＝＝2R(R为△ABC外接圆的半径)，
得a＝2R sin A，b＝2R sin B，
c＝2R sin C，＝2R tan A，
＝2R tan B, ＝2R tan C，
即tan A＝tan B＝tan C，因为A，B，C∈(0，π)，且A＋B＋C＝π，所以A＝B＝C，所以△ABC是等边三角形．
INCLUDEPICTURE "解题技法LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "数学人B必修第四册/解题技法LLL.TIF" \* MERGEFORMAT
判断三角形形状的两种途径
INCLUDEPICTURE "TBXM3.TIF" INCLUDEPICTURE "数学人B必修第四册/TBXM3.TIF" \* MERGEFORMAT
[注意]　在两种解法的等式变形中，一般两边不要约去公因式，应移项提取公因式，以免漏解．
[跟踪训练2] (2024·东营期中)在△ABC中，若a cos C＋c cos A＝b sin B，则此三角形为(　　)
A．等边三角形
B．等腰且非等边三角形
C．直角三角形
D．等腰直角三角形
解析：选C.在△ABC中，
由a cos C＋c cos A＝b sin B以及正弦定理可知，
sin A cos C＋sin C cos A＝sin2B，
即sin(A＋C)＝sin B＝sin2B，
因为0所以sin B＝1，B＝，所以△ABC为直角三角形．
三　证明问题
INCLUDEPICTURE "例3lll.TIF" INCLUDEPICTURE "数学人B必修第四册/例3lll.TIF" \* MERGEFORMAT (对接教材例5)在任意△ABC中，求证：a(sin B－sin C)＋b(sin C－sin A)＋c(sin A－sin B)＝0.
【证明】　由正弦定理＝＝＝2R(R为△ABC外接圆的半径)，所以a＝2R sin A，b＝2R sin B，c＝2R sin C，左边＝2R(sin A sin B－sin A sin C＋sin B sin C－sin Bsin A＋sin C sin A－sin C sin B)＝0＝右边，所以等式成立．
INCLUDEPICTURE "解题技法LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "数学人B必修第四册/解题技法LLL.TIF" \* MERGEFORMAT
观察、分析问题，确定解题的基本方向是“边化角”，还是“角化边”，再灵活运用相应的公式或其变形公式．在化简有关三角函数的表达式时，应注意利用三角形的有关性质、三角函数的有关公式解决问题，由繁向简的转化是解决问题的关键．
[跟踪训练3] 如图，AD是△ABC外角的平分线，且BC＝CD.证明：＝＝.
INCLUDEPICTURE "BS1.TIF" INCLUDEPICTURE "数学人B必修第四册/BS1.TIF" \* MERGEFORMAT
证明：由题设知S△ABD＝2S△ACD，
sin ∠BAD＝sin (π－∠CAD)＝sin ∠CAD，
所以＝＝＝＝.
INCLUDEPICTURE "课堂巩固自测LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "数学人B必修第四册/课堂巩固自测LLL.TIF" \* MERGEFORMAT
1．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且b2＋c2＝a2＋bc，若sin B sin C＝sin2A，则△ABC是(　　)
A．等腰且非等边三角形
B．直角三角形
C．等边三角形
D．等腰直角三角形
解析：选C.由题及正弦定理可知bc＝a2，所以b2＋c2＝a2＋bc＝2bc，即(b－c)2＝0，所以b＝c，又因为bc＝a2，所以a＝b＝c，所以△ABC是等边三角形．故选C.
2．下列关于△ABC的说法正确的是(　　)
A．若a＝7，b＝14，A＝30°，则B有两解
B．若a＝30，b＝25，A＝150°，则B只有一解
C．若a＝6，b＝9，A＝45°，则B有两解
D．若b＝9，c＝10，B＝60°，则C无解
解析：选B.A项中，由正弦定理，得sin B＝＝＝1，所以B＝90°，即只有一解，A项错误．
B项中，由正弦定理，
得sin B＝＝<1，
又A为钝角，故B只有一解，B项正确．
C项中，由正弦定理，
得sin B＝＝>1，
所以B不存在，即无解，C项错误．
D项中，由正弦定理，
得sin C＝＝<1，
因为bsin 60°，60°3．(多选)在△ABC中，若a＝2b sin A，则B＝(　　)
A． B．
C． D．
解析：选AC.由正弦定理，
得sin A＝2sin B sin A，
因为0所以sin A≠0，
所以sin B＝，
解得B＝或B＝.
4．(教材P7练习AT3改编)在△ABC中，求证：＝.
证明：因为左边＝＝＝＝＝＝＝＝右边，所以原等式成立．
INCLUDEPICTURE "课堂小结.TIF" INCLUDEPICTURE "数学人B必修第四册/课堂小结.TIF" \* MERGEFORMAT
1．已学习：利用正弦定理求解三角形解的个数以及判断三角形的形状．
2．须贯通：理解并掌握求解三角形解的个数的条件，灵活运用正弦定理证明相关式子．
3．应注意：求解三角形的解的个数时，一定要注意检验．