9．1.2　课后达标检测（教师版）

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1．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a＝5，b＝8，C＝，则c＝(　　)
A．5 B．6
C．7 D．8
解析：选C.由余弦定理知c2＝a2＋b2－2ab cos C＝25＋64－2×5×8×cos ＝49，得c＝7(负值已舍去).
2．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a∶b∶c＝2∶∶(＋1)，则B＝(　　)
A．30° B．45°
C．60° D．90°
解析：选C.由a∶b∶c＝2∶∶(＋1)可设a＝2t，b＝t，c＝(＋1)t(t>0)，由余弦定理的推论得cos B＝＝＝，又0°3．在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知cos A＝，则B＝(　　)
A． B．
C． D．
解析：选C.由题意cos A＝＝，化简得a2＋c2＝b2，所以B＝.故选C.
4．(2024·营口期中)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若＝－1，则A＝(　　)
A．120° B．45°
C．60° D．30°
解析：选A.因为＝－1，所以a2－(b＋c)2＝－bc，即a2－b2－c2－2bc＝－bc，所以a2＝b2＋c2＋bc，由余弦定理的推论得cos A＝＝－.因为0°5．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a2＝b2＋c2－bc，且A＝2B，则△ABC一定为(　　)
A．等腰三角形 B．直角三角形
C．锐角三角形 D．钝角三角形
解析：选B.因为a2＝b2＋c2－bc，所以bc＝b2＋c2－a2，则cos A＝＝，又因为06．(多选)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若b2＋c2－a2＝bc，且b＝a，则下列关系可能成立的是(　　)
A．a＝c B．b＝c
C．2a＝c D．a2＋b2＝c2
解析：选ACD.由余弦定理的推论，得cos A＝＝＝，又0°7．设△ABC的内角A，B，C的对边分别是a，b，c.若a＝2，c＝2，A＝，且b解析：由余弦定理得
a2＝b2＋c2－2bc cos A，
即4＝b2＋12－6b，即有b2－6b＋8＝0，
解得b＝2或b＝4，又b答案：2
8．在△ABC中，sin ＝，BC＝2，AC＝5，则AB＝____________．
解析：由已知及二倍角公式可得cos C＝1－2sin2＝－，在△ABC中，设内角A，B，C的对边分别为a，b，c，则有a＝2，b＝5，由余弦定理可得c2＝a2＋b2－2ab cosC＝22＋52－20×(－)＝41，则c＝，即AB＝.
答案：
9．在△ABC中，AB＝3，BC＝，AC＝4，则A＝________，AC边上的高为_______________________________________________．
解析：由余弦定理的推论，可得cos A＝＝＝，又0答案：　
10．(2024·大连月考)已知A，B，C为△ABC的三个内角，其所对的边分别为a，b，c，且2cos2＋cosA＝0.
(1)求A的大小；
(2)若a＝2，b＝2，求c的值.
解：(1)因为cos A＝2cos2－1，
2cos2＋cosA＝0，
所以2cos A＋1＝0，
所以cos A＝－，
又0°(2)由余弦定理，
知a2＝b2＋c2－2bc cos A，
又a＝2，b＝2，cos A＝－，
所以(2)2＝22＋c2－2×2×c×(－)，
化简，得c2＋2c－8＝0，
解得c＝2或c＝－4(舍去).
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11．在△ABC中，AB＝3，cos ∠BAC＝－，AD⊥AC，且AD交BC于点D，AD＝3，则sin C＝(　　)
A． B．
C． D．
解析：选B.
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由cos ∠BAC＝－，AD⊥AC，
得sin ∠BAD＝sin (∠BAC－)
＝－cos ∠BAC＝，
而∠BAD为锐角，
则cos ∠BAD＝＝，
在△ABD中，由余弦定理得
BD＝＝，
所以sin C＝cos ∠ADC＝－cos ∠ADB＝－＝.故选B.
12．(多选)一个锐角三角形的三边长分别为a，b，c，则a，b，c 的值可能为(　　)
A．a＝4，b＝5，c＝6
B．a＝log64，b＝log69，c＝21.1
C．a＝3，b＝5，c＝6
D．a＝4，b＝6，c＝5
解析：选AD.锐角三角形的三边长为a，b，c，其充要条件为最大角的余弦值大于零．结合三角形大边对大角可知，较小两边的平方和大于第三边的平方即可判断三角形为锐角三角形．所以对于A，42＋52>62，符合题意；对于B，log64＋log69＝2<21.1，不能构成三角形的三条边，不符合题意；对于C，32＋52<62，不符合题意；对于D，42＋62>(5)2，符合题意．故选AD.
13．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a＝x，b＝2，B＝45°，若符合条件的三角形有两个，则实数x的取值范围是______________．
解析：在△ABC中，a＝x，b＝2，B＝45°，由余弦定理得4＝c2＋x2－2cx×，即c2－cx＋x2－4＝0.因为符合条件的三角形有两个，所以关于c的方程有两个正根，所以
解得2答案：(2，2)
14．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.
(1)证明：a cos B＋b cos A＝c；
(2)若a＝7，b＝5，＝.求△ABC的周长．
解：(1)证明：由题意得
a cos B＋b cos A＝a·＋b·＝＝c，
所以a cos B＋b cos A＝c，得证．
(2)因为＝，
所以2c cos A＝b cos A＋a cos B，
结合(1)可知 ，2c cos A＝c，即cos A＝，
因为A∈(0，π)，所以A＝.
在△ABC中，由余弦定理a2＝b2＋c2－2bc cos A，得49＝25＋c2－10c×，即c2－5c－24＝0，解得c＝8或c＝－3(舍去)，
所以a＋b＋c＝7＋5＋8＝20，即△ABC的周长为20.
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15．《九章算术》是中国古代一部数学专著，其中的“邪田”为直角梯形，上、下底称为“畔”，高称为“正广”，非高腰边称为“邪”．如图所示，邪长为4，东畔长为2，在A处测得C，D两点处的俯角分别为49°和19°，则正广长约为(注：sin 41°≈0.66)(　　)
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A．6.6 B．3.3
C．4 D．7
解析：选A.在A处测得C，D两点处的俯角分别为49°和19°，则∠DAC＝49°－19°＝30°，
在△ACD中，由余弦定理可得DC2＝AC2＋AD2－2AC·AD·cos 30°，即28＝AC2＋48－12AC，
解得AC＝2或AC＝10，由题图可知AC>AD，AC>CD，所以AC＝10，又∠BAC＝90°－49°＝41°，
所以BC＝AC·sin ∠BAC＝10sin 41°≈6.6.
16．(2024·葫芦岛月考)在△ABC中，BC＝4，AC＝6，cos C＝.
(1)求证：B＝2A；
(2)若＝λ，BD＝，求实数λ的值．
解：(1)证明：在△ABC中，由余弦定理得AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC cos C＝36＋16－27＝25，所以AB＝5，
又cos B＝＝＝，
cos A＝＝＝，所以cos 2A＝2cos2A－1＝2×()2－1＝，所以cosB＝cos 2A，
由题意知0(2)
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因为＝λ，BD＝<4，所以点D在AC上，即0<λ<1.
由(1)知cos A＝，设AD＝x，在△ABD中，由余弦定理知BD2＝AB2＋AD2－2AB·AD cos A，
化简得2x2－15x＋22＝0，得x＝或x＝2.
当x＝2时，AD＝2，λ＝；
当x＝时，AD＝，λ＝.
综上所述，λ＝或λ＝.