9．1.2　余弦定理（教师版）

9．1.2　余弦定理
|1.了解用向量法推导余弦定理的过程．　2.掌握余弦定理及其推论，会利用它们求解三角形中的边角问题．　3.能运用余弦定理判断三角形的形状．
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千岛湖位于我国浙江省淳安县境内，因湖内有星罗棋布的一千多个岛屿而得名，现有三个岛屿A，B，C，岛屿A与B之间的距离因A，B之间有另一个小岛而无法直接测量，但可测得AC，BC的距离分别为6 km和4 km，且AC，BC的夹角为120°.
思考　如何计算岛屿A，B之间的距离？
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提示：可利用向量计算||.
因为＝＋，
所以||
＝＝2(km).
一　余弦定理及应用
文字语言 三角形任何一边的平方，等于其他两边的______________减去这两边与它们夹角________________的积的2倍
符号语言 a2＝____________________b2＝____________________c2＝____________________
[答案自填] 平方和　余弦　b2＋c2－2bc cos A
c2＋a2－2ca cos B　a2＋b2－2ab cos C
INCLUDEPICTURE "例1LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "数学人B必修第四册/例1LLL.TIF" \* MERGEFORMAT 　(1)(对接教材例1)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a＝1，b＝2，C＝60°，则c＝(　　)
A．3　　 B．
C．　　 D．
(2)已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，a＝，c＝2，cos A＝，则b＝________．
【解析】　(1)因为a＝1，b＝2，C＝60°，所以c＝＝＝.
(2)由余弦定理得5＝22＋b2－2×2b×，
即3b2－8b－3＝0，
所以b＝3.
【答案】　(1)B　(2)3
【变式探究】
1．(综合变式)将本例(1)中的条件“a＝1，b＝2，C＝60°”变为“若a，b，c是三个连续奇数，最大角为120°”，则△ABC的周长为(　　)
A．13 B．15
C．17 D．19
解析：选B.不妨设a即a2－a－6＝0，所以a＝3或a＝－2(舍去).
因此，△ABC的周长为a＋a＋2＋a＋4＝3a＋6＝3×3＋6＝15.故选B.
2．(条件变式)将本例(2)中的条件“a＝，c＝2，cos A＝”改为“a＝2，c＝2，cos A＝”，求b的值．
解：由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bc cos A，
所以22＝b2＋(2)2－2×b×2×，
即b2－6b＋8＝0，解得b＝2或b＝4.
所以b的值为2或4.
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已知两边及一角解三角形的两种思路
(1)若已知角是其中一边的对角，可用余弦定理列出关于第三边的一元二次方程求解．
(2)若已知角是两边的夹角，则直接运用余弦定理求出另外一边，再用余弦定理和三角形内角和定理求其他角．
[跟踪训练1] (1)(2024·辽阳期中)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若ac＝8，a＋c＝7，B＝，则b＝(　　)
A．25 B．5
C．4 D．
解析：选B.在△ABC中，由余弦定理知b2＝a2＋c2－2ac cos B＝(a＋c)2－2ac－2ac cos B＝49－2×8－2×8×＝25，所以b＝5.
(2)(多选)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若b＝，c＝3，B＝30°，则a的值可以为(　　)
A． B．2
C．3 D．4
解析：选AB.由余弦定理及已知得3＝a2＋9－2a×3×，即a2－3a＋6＝0，解得a＝或a＝2.故选AB.
在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，则cos A＝__________，cos B＝___________________________，
cos C＝__________________．
[答案自填] 　　
INCLUDEPICTURE "例2LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "数学人B必修第四册/例2LLL.TIF" \* MERGEFORMAT 　(1)(对接教材例2)已知在△ABC中，AB＝5，BC＝7，CA＝9，则∠CAB的取值范围是(　　)
A． B．
C． D．
(2)若a，a＋1，a＋2是锐角三角形的三边长，则a的取值范围是(　　)
A．1＜a＜3 B．a＞1
C．a＞3 D．0＜a＜1
【解析】　(1)在△ABC中，由AB＝5，BC＝7，
CA＝9，
得cos ∠CAB＝＝＝，
则＜cos ∠CAB＜，又∠CAB∈(0，π)，
所以∠CAB∈.
(2)因为三角形是锐角三角形，所以最大边长a＋2对应的角为锐角，设该角为θ，
所以cos θ＝＞0，即a2－2a－3＞0，解得a＞3或a＜－1(舍去).故选C.
【答案】　(1)C　(2)C
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已知三角形的三边解三角形的方法
先利用余弦定理的推论求出一个角的余弦值，从而求出第一个角；再利用余弦定理的推论求出第二个角；最后利用三角形的内角和定理求出第三个角．
[注意]　若已知三角形三边的比例关系，常根据比例的性质引入k，从而转化为“已知三边解三角形”的问题．
[跟踪训练2] (1)(2024·阜新月考)在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，若a2－b2＝c2－bc，则A＝(　　)
A．135° B．60°或120°
C．45° D．135°或45°
解析：选C.由已知及余弦定理的推论得cos A＝＝＝，又0°(2)在△ABC中，CA＝CB＝2，AB＝3，D为CA的中点，则BD＝(　　)
A． B．
C． D．
INCLUDEPICTURE "25S6-19A.TIF" INCLUDEPICTURE "数学人B必修第四册/25S6-19A.TIF" \* MERGEFORMAT
解析：选C.在△ABC中，由余弦定理的推论得cos A＝＝，
在△ABD中，由余弦定理得
BD2＝AD2＋AB2－2AD·AB cos A＝，
所以BD＝.故选C.
三　判断三角形的形状
INCLUDEPICTURE "例3lll.TIF" INCLUDEPICTURE "数学人B必修第四册/例3lll.TIF" \* MERGEFORMAT 　(1)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，A＝60°，a2＝bc，则△ABC一定是(　　)
A．等腰直角三角形 B．钝角三角形
C．直角三角形 D．等边三角形
(2)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若2a－b＝2c cos B，cos A＋cos B＝1，则△ABC一定是(　　)
A．等边三角形 B．直角三角形
C．等腰直角三角形 D．钝角三角形
【解析】　(1)在△ABC中，因为A＝60°，a2＝bc，所以由余弦定理可得a2＝b2＋c2－2bc cos A＝b2＋c2－bc，所以bc＝b2＋c2－bc，即(b－c)2＝0，所以b＝c.结合A＝60°可得△ABC一定是等边三角形．故选D.
(2)由2a－b＝2c cos B及余弦定理的推论
可得2a－b＝2c·，
所以a2＋b2－c2＝ab，所以cos C＝，
又C∈(0，π)，所以C＝，所以A＋B＝.
因为cos A＋cos B＝1，
所以cos A＋cos
＝cos A＋cos cos A＋sin sin A
＝cos A－cos A＋sin A
＝cos A＋sin A＝1，
即sin ＝1.
因为A∈，所以＋A∈(，)，
所以＋A＝，A＝，
从而B＝π－A－C＝.
所以△ABC为等边三角形．
【答案】　(1)D　(2)A
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判断三角形形状的基本思想和两条思路
INCLUDEPICTURE "23AR24.TIF" INCLUDEPICTURE "数学人B必修第四册/23AR24.TIF" \* MERGEFORMAT
[跟踪训练3] (1)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若2a cos B＝c，则该三角形一定是(　　)
A．等腰三角形 B．直角三角形
C．等边三角形 D．钝角三角形
解析：选A.因为2a cos B＝c，
所以由余弦定理的推论得
2a·＝c，
所以a2＋c2－b2＝c2，所以a2＝b2，
因为a＞0，b＞0，所以a＝b，
所以△ABC一定为等腰三角形．
(2)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若b＝a sin C，c＝a cos B，则△ABC的形状为__________________．
解析：由余弦定理的推论知cos B＝，
代入c＝a cos B，得c＝a·，
所以c2＋b2＝a2，
所以△ABC是以A为直角的直角三角形．
又b＝a sin C，
所以b＝a·，
所以b＝c，
所以△ABC也是等腰三角形．
综上所述，△ABC是等腰直角三角形．
答案：等腰直角三角形
INCLUDEPICTURE "课堂巩固自测LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "数学人B必修第四册/课堂巩固自测LLL.TIF" \* MERGEFORMAT
1．(教材P11练习AT2改编)已知在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a＝3，c＝2，A＋C＝，则b＝(　　)
A． B．6
C．7 D．8
解析：选A.因为A＋C＝，
所以B＝π－(A＋C)＝.
因为a＝3，c＝2，
所以由余弦定理可得
b＝
＝ ＝.
2．在△ABC中，AC＝2AB＝4，cos A＝，则BC＝(　　)
A．2 B．3
C． D．4
解析：选B.由已知及余弦定理可得BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos A＝4＋16－2×2×4×＝18.故BC＝3.
3．(教材P11练习BT2改编)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知a＝，c＝2，cos A＝，则b＝(　　)
A． B．1
C．2 D．3
解析：选C.由cos A＝，得＝＝，所以b2－b－2＝0，所以(b＋1)(b－2)＝0，所以b＝2(负值已舍去).
4．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若2b cos C＝a(2－c)，且B＝，则a＝(　　)
A．1 B．
C． D．2
解析：选A.因为2b cos C＝a(2－c)，两边同时乘以a得2ab cos C＝a2(2－c)，由余弦定理可得a2＋b2－c2＝2ab cos C，
则a2＋b2－c2＝a2(2－c)，所以a2＋c2－b2＝a2c，
又a2＋c2－b2＝2ac cos B，所以a2c＝2ac cos B，又因为B＝，所以a＝1.
5．(2024·大连期中)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知＋bc＋2b2＝0，则A＝________．
解析：由余弦定理a2＝b2＋c2－2bc cos A可得bc＝，因为＋bc＋2b2＝0，所以＋＋2b2＝0，整理得＋2b2＝0，所以cos A＝－，又因为A∈(0，π)，所以A＝.
答案：
INCLUDEPICTURE "课堂小结.TIF" INCLUDEPICTURE "数学人B必修第四册/课堂小结.TIF" \* MERGEFORMAT
1．已学习：余弦定理及推论、余弦定理的简单应用．
2．须贯通：在解三角形的过程中，余弦定理及推论可以做到“知三求一”，应用转化与化归、数形结合的思想方法．
3．应注意：三角形的隐含条件，如内角和为180°，两边之和大于第三边．