9．2　课后达标检测（教师版）

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1．已知两座灯塔A和B与海岸观察站C的距离相等，灯塔A在观察站南偏西40°方向上，灯塔B在观察站南偏东60°方向上，则灯塔A在灯塔B的(　　)
A．北偏东10°方向上
B．北偏西10°方向上
C．南偏东80°方向上
D．南偏西80°方向上
解析：
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选D.作出图形，由条件及图可知，△ABC为等腰三角形，所以∠BAC＝∠ABC＝40°，又∠BCD＝60°，
所以∠CBD＝30°，所以∠DBA＝10°，
因此灯塔A在灯塔B的南偏西80°方向上．故选D.
2．现有两灯塔A，B与观测点C，已知灯塔A在观测点C北偏东20°方向上a km处，灯塔B在观测点C南偏东40°方向上3a km处，则灯塔A与B的距离为(　　)
A．a km B．2a km
C．a km D．a km
解析：选C.由题意知
AB＝＝a (km).
3．如图，从无人机A上测得正前方的峡谷的两岸B，C的俯角分别为75°，30°，若无人机的高度AD为15(＋1)，则峡谷的宽度BC为(　　)
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A．60 B．60(＋1)
C．30 D．30(＋1)
解析：选A.由已知得∠ACB＝30°，∠ABD＝75°，所以CD＝＝15(3＋)，BD＝＝15(－1)，所以BC＝CD－BD＝60.故选A.
4．某条江的岸边有一炮台高30 m，江中有两条船，由炮台顶部测得俯角分别为45°和30°，而且两条船与炮台底部连线成30°角，则两条船相距(　　)
A．20 m B． m
C．30 m D．30 m
解析：选C.
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如图，过炮台顶部A作水平面的垂线，垂足为B，
设A处观测小船C的俯角为45°，
A处观测小船D的俯角为30°，
连接BC，BD，在Rt△ABC中，∠ACB＝45°，
可得BC＝AB＝30 m，
在Rt△ABD中，∠ADB＝30°，可得BD＝AB＝30 m，
在△BCD中，BC＝30 m，BD＝30 m，∠CBD＝30°，由余弦定理得CD2＝BC2＋BD2－2BC·BD·cos 30°＝900.
所以CD＝30 m，即两船相距30 m．故选C.
5．台风中心从M地以20 km/h的速度向西北方向移动，离台风中心10 km内的地区为危险地区，城市N在M地正西方向的80 km处，则城市N处于危险地区内的时长为(　　)
A． h　　　　　　　　 B．2 h
C． h　　　　　　　　 D． h
解析：选D.
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以N为圆心，10为半径作圆，与M运动方向交于A，B两点，由题意知，M＝，MN＝80，AN＝BN＝10，
作NC⊥MB，垂足为C，
则C为AB的中点，
因为NC＝MN·sin ＝40，
所以AC＝＝10，
所以AB＝2AC＝20，所以城市N处于危险地区内的时长为20÷20＝(h).故选D.
6．(多选)(2024·济南月考)如图，在海岸上有两个观测点C，D，C在D的正西方向，距离为2 km，在某天10：00观察到某航船在A处，此时测得∠ADC＝30°，5 min后该船行驶至B处，此时测得∠ACB＝60°，∠BCD＝45°，∠ADB＝60°，则(　　)
INCLUDEPICTURE "25RAB26.TIF" INCLUDEPICTURE "数学人B必修第四册/25RAB26.TIF" \* MERGEFORMAT
A．当天10：00时，该船位于观测点C的北偏西15°方向
B．当天10：00时，该船距离观测点C的距离为 km
C．当船行驶至B处时，该船距观测点C的距离为 km
D．该船在由A行驶至B的这5 min内行驶了 km
解析：选ABD.对于A选项，∠ACD＝∠ACB＋∠BCD＝60°＋45°＝105°，因为C在D的正西方向，所以A在C的北偏西15°方向，故A正确；
对于B选项，在△ACD中，∠ACD＝105°，∠ADC＝30°，则∠CAD＝45°.
由正弦定理，得AC＝＝，
故B正确；
对于C选项，在△BCD中，∠BCD＝45°，∠CDB＝∠ADC＋∠ADB＝30°＋60°＝90°，则∠CBD＝45°，则BD＝CD＝2，于是BC＝2，故C不正确；
对于D选项，在△ABC中，由余弦定理得AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC cos ∠ACB＝2＋8－2××2×＝6，即AB＝，故D正确．故选ABD.
7.如图，在高速公路建设中需要确定隧道的长度，工程技术人员已测得隧道两端的两点A，B到点C的距离AC＝BC＝1 km，且C＝120°，则A，B两点间的距离为________km.
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解析：在△ABC中，易得A＝30°，
由正弦定理＝，
得AB＝＝＝(km).
答案：
8.如图，一艘船上午8：00在A处测得灯塔S在它的北偏东30°方向，之后它继续沿正北方向匀速航行，上午8：30到达B处，此时又测得灯塔S在它的北偏东75°方向，且与它相距4 n mile，则此船的航行速度是____________n mile/h.
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解析：因为在△ABS中，∠BAS＝30°，BS＝4，
所以∠ASB＝75°－30°＝45°，
由正弦定理，得＝，
即AB＝＝＝8，
又因为从A到B处匀速航行的时间为 h，所以速度为＝16 n mile/h.
答案：16
9．如图，要测出山上一座天文台BC的高，从山脚A处测得AC＝60 m，天文台最高处B的仰角为45°，天文台底部C的仰角为15°，则天文台BC的高为__________m.
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解析：由题图可得B＝45°，∠BAC＝30°，
故BC＝＝＝30(m).
答案：30
10．如图，为测量横截面为直角三角形的某模型的平面图△ABC，其中∠ACB为直角，由于实际情况，它的边和角无法测量，以下为可测量数据：
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①BD＝1；②∠BDC＝；③∠BCD＝ .请根据以上数据求出△ABC的面积．
解：在△BCD中，由正弦定理得
＝，
所以BC＝×，故BC＝，
因为tan ∠ABC＝tan (＋)＝＝2＋，
∠ACB＝，
所以AC＝BC·tan ∠ABC＝＋，
故S△ABC＝AC·BC＝＋.
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11．如图，在山脚A处测得山顶P的仰角为30°，沿倾斜角为15°的斜坡向上走a m到B，在B处测得山顶P的仰角为60°，则山高h＝(　　)
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A．a m B． m
C．a m D．a m
解析：选A.由题意知，∠PAQ＝30°，∠BAQ＝15°，∠PBC＝60°，AB＝a m，在△PAB中，∠PAB＝15°，∠BPA＝30°，
所以＝，所以PB＝a m，
所以h＝PC＋CQ＝a×sin 60°＋a sin 15°＝a(m)，故选A.
12.(多选)(2024·营口期中)某大学校园内有一个“少年湖”，湖的两侧有一个健身房和一个图书馆，如图，若设健身房在A处，图书馆在B处，为测量A，B两地之间的距离，甲同学选定了与A，B不共线的C处，构成△ABC，为了唯一确定A，B两地之间的距离，则下列测量数据的方案中，甲同学应选择(　　)
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A．测量A，B，C B．测量A，B，BC
C．测量A，AC，BC D．测量C，AC，BC
解析：选BD.对于A选项，测量A，B，C，知道三个角度值，三角形有无数多组解，不能唯一确定A，B两地之间的距离；对于B选项，测量A，B，BC，已知两角及一边，由正弦定理可知，三角形有唯一的解，能唯一确定A，B两地之间的距离；对于C选项，测量A，AC，BC，已知两边及其一边的对角，由正弦定理可知，三角形可能有2个解，不能唯一确定A，B两地之间的距离；对于D选项，测量C，AC，BC，已知两边及夹角，由余弦定理可知，三角形有唯一的解，能唯一确定A，B两地之间的距离．综上可得，选项B，D正确．故选BD.
13.如图，某直径为5海里的圆形海域上有四个小岛，已知小岛B与小岛C相距为5海里，cos A＝－.则小岛B与小岛D之间的距离为____________海里；小岛B，C，D所形成的三角形海域BCD的面积为__________平方海里．
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解析：因为圆的内接四边形对角互补，所以cos C＝cos (π－A)＝－cos A＝>0，C为锐角，sin C＝＝，在△BCD中，由正弦定理得＝＝5，故BD＝3.在△BCD中，由余弦定理得(3)2＝CD2＋52－2CD·5×，整理得CD2－8CD－20＝0，
(CD＋2)(CD－10)＝0，CD＝10(负值已舍去).
所以S△BCD＝CD·BC·sin C＝×10×5×＝15(平方海里).
答案：3　15
14.如图，游客从景点A下山至C有两种路径：一种是从A沿直线步行到C，另一种是先从A乘缆车到B，然后从B沿直线步行到C.现有甲、乙两位游客从A下山．甲沿AC匀速步行，速度为50 m/min.在甲出发2 min后，乙从A乘缆车到B，在B处停留1 min后，再从B匀速步行到C.已知缆车从A到B要8 min，AC长为1 260 m，若cos A＝，sin B＝.为使两位游客在C处互相等待的时间不超过3 min，求乙步行的速度的取值范围．
INCLUDEPICTURE "25RAB32.TIF" INCLUDEPICTURE "数学人B必修第四册/25RAB32.TIF" \* MERGEFORMAT
解：在△ABC中，
因为cos A＝，sin B＝，
所以sin A＝＝＝.
由正弦定理，
得BC＝＝＝500(m)，
乙从B出发时，
甲已经走了50×(2＋8＋1)＝550(m)，
甲还需走710 m才能到达C.
设乙步行的速度为v m/min，
由题意得|－|≤3，
解得≤v≤.
所以为使两位游客在C处互相等待的时间不超过3 min，乙步行的速度v m/min的取值范围是[，] .
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15．在杭州亚运会上，五星红旗冉冉升起，在坡角为15°的看台上，同一列上的第一排和最后一排测得旗杆顶部的仰角分别为60°和30°，第一排和最后一排的距离为9 m(如图所示)，则旗杆的高度为(　　)
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A．9 m B．27 m
C．9 m D．9 m
解析：选B.依题意可知∠AEC＝30°＋15°＝45°，∠CAE＝180°－60°－15°＝105°，
所以∠ACE＝180°－45°－105°＝30°，
在△ACE中，由正弦定理可知
＝，
所以AC＝·sin ∠AEC＝18(m)，
所以在Rt△ABC中，BC＝AC·sin ∠CAB＝18×＝27(m).故选B.
16.如图，已知两条公路AB，AC的交汇点A处有一所学校，现拟在两条公路之间的区域内建一个工厂P，在两公路旁M，N(异于点A)处设两个销售点，且满足∠BAC＝∠PMN＝75°，MN＝(＋)km，MP＝2 km，设∠AMN＝θ.
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(1)试用θ表示AM，并写出θ的取值范围；
(2)当θ为多大时，工厂产生的噪声对学校的影响最小(即工厂与学校的距离最远).
解：(1)在△AMN中，由正弦定理得
＝，
则AM＝4sin (75°＋θ)(0°<θ<105°).
(2)连接AP(图略).在△APM中，由余弦定理得AP2＝AM2＋MP2－2AM·MP cos ∠AMP＝16sin2(75°＋θ)＋12－16sin(75°＋θ)cos (75°＋θ)＝8[1－cos (2θ＋150°)]－8sin (2θ＋150°)＋12＝20－8[sin (2θ＋150°)＋cos (2θ＋150°)]＝20－16sin (2θ＋180°)＝20＋16sin 2θ(0°<θ<105°)，
当且仅当2θ＝90°，即θ＝45°，AP2取得最大值36，即AP取得最大值6.所以当θ＝45°时，工厂产生的噪声对学校的影响最小．