9．2 正弦定理与余弦定理的应用（教师版）
文档属性
| 名称 | 9．2 正弦定理与余弦定理的应用（教师版） |
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| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 784.2KB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教B版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2026-02-27 00:00:00 | ||
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文档简介
9．2 正弦定理与余弦定理的应用
|1.理解测量中有关名词、术语的确切含义． 2.能将实际问题转化为解三角形问题． 3.能够用正、余弦定理求解与距离、高度、角度有关的实际应用问题．
INCLUDEPICTURE "新知学习探究LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "数学人B必修第四册/新知学习探究LLL.TIF" \* MERGEFORMAT
INCLUDEPICTURE "新课导学1LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "数学人B必修第四册/新课导学1LLL.TIF" \* MERGEFORMAT
在测量工作中，经常会遇到不方便直接测量的情形．例如，如图所示故宫角楼的高度，因为顶端和底部都不便到达，所以不能直接测量．
INCLUDEPICTURE "25RAB9.TIF" INCLUDEPICTURE "数学人B必修第四册/25RAB9.TIF" \* MERGEFORMAT
思考 假设给你米尺和测量角度的工具，你能在故宫角楼对面的岸边得出角楼的高度吗？
提示：
INCLUDEPICTURE "25RAB10.TIF" INCLUDEPICTURE "数学人B必修第四册/25RAB10.TIF" \* MERGEFORMAT
问题转化为求不便到达的两点A，B之间的距离(如图)，可选定可到达位置C，D，用米尺测量CD＝m，用测量角度的工具测得∠ACB＝α，∠BCD＝β，∠BDC＝γ，∠ACD＝θ，∠ADC＝φ，先在△BCD中求出BC，再在△ACD中求出AC，最后在△ABC中求AB即可．
一 实际测量中有关名词、术语
1．基线的概念与选取原则
(1)基线：根据测量的需要而确定的线段叫做基线．
(2)选取原则：为使测量具有较高的精确度，应根据实际需要选取合适的基线长度．一般来说，基线越长，测量的精确度越高．
2．测量中相关角的概念
(1)仰角和俯角
与目标视线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线上方时叫仰角，目标视线在水平视线下方时叫俯角，如图所示．
INCLUDEPICTURE "ADM4.TIF" INCLUDEPICTURE "数学人B必修第四册/ADM4.TIF" \* MERGEFORMAT
(2)方位角
指从正北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B点的方位角为α(如图1所示).
INCLUDEPICTURE "ADM5.TIF" INCLUDEPICTURE "数学人B必修第四册/ADM5.TIF" \* MERGEFORMAT
(3)方向角
正北或正南方向线与目标方向线所成的锐角，如北偏西30°，南偏东45°(此时也称为东南方向，如图2所示).
【即时练】
1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)在测量中，选取的基线越短，测量的精确度越高．( )
(2)仰角与俯角都是目标视线与铅垂线所成的角．( )
(3)方位角的范围是(0，π).( )
(4)“视角”就是“仰角”．( )
答案：(1)× (2)× (3)× (4)×
2．若P在Q的北偏东44°50′方向上，则Q在P的( )
A．东偏北45°10′方向上
B．东偏北44°50′方向上
C．南偏西44°50′方向上
D．西偏南44°50′方向上
解析：选C.如图所示，可知Q在P的南偏西44°50′方向上，故选C.
INCLUDEPICTURE "25RAB11.TIF" INCLUDEPICTURE "数学人B必修第四册/25RAB11.TIF" \* MERGEFORMAT
3．从A处望B处的仰角为α，从B处望A处的俯角为β，则α，β的关系为( )
A．α>β B．α＝β
C．α＋β＝90° D．α＋β＝180°
解析：选B.根据题意和仰角、俯角的概念画出草图，如图所示．由图知α＝β.故选B.
INCLUDEPICTURE "25RAB11A.TIF" INCLUDEPICTURE "数学人B必修第四册/25RAB11A.TIF" \* MERGEFORMAT
INCLUDEPICTURE "解题技法LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "数学人B必修第四册/解题技法LLL.TIF" \* MERGEFORMAT
分析题意，分清已知与所求，再根据题意画出正确的示意图，画图时，要明确仰角、俯角、方位角以及方向角的含义，并能准确找到这些角．
二 距离问题
INCLUDEPICTURE "例1LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "数学人B必修第四册/例1LLL.TIF" \* MERGEFORMAT (1)(对接教材例1)海面上有相距10 n mile的A，B两个小岛，从A岛望C岛和B岛成60°的视角，从B岛望C岛和A岛成75°的视角，则B，C间的距离为( )
A．10 n mile B．10 n mile
C．5 n mile D．5 n mile
(2)如图，为了测量A，C两点间的距离，选取同一平面上的B，D两点，测出四边形ABCD各边的长度(单位：km)：AB＝5，BC＝8，CD＝3，AD＝5，且A，B，C，D四点共圆，则AC的长为________ km.
INCLUDEPICTURE "25RAB13.TIF" INCLUDEPICTURE "数学人B必修第四册/25RAB13.TIF" \* MERGEFORMAT
【解析】 (1)如图，由题意得
INCLUDEPICTURE "25RAB12.TIF" INCLUDEPICTURE "数学人B必修第四册/25RAB12.TIF" \* MERGEFORMAT
A＝60°，B＝75°，AB＝10，则C＝45°，
所以＝，所以BC＝＝5，即B，C间的距离为5 n mile.
(2)因为A，B，C，D四点共圆，圆内接四边形的对角和为π，所以B＋D＝π，所以由余弦定理可得AC2＝AD2＋CD2－2AD· CD cos D＝52＋32－2×5×3cos D＝34－30cos D，①
AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC cos B＝52＋82－2×5×8cos B＝89－80cos B＝89＋80cos D，②
联立①②，解得AC＝7.
【答案】 (1)D (2)7
INCLUDEPICTURE "解题技法LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "数学人B必修第四册/解题技法LLL.TIF" \* MERGEFORMAT
测量距离问题的基本类型及方案
类型 A，B两点间不可达或不可视 A，B两点间可视，但有一点不可达 A，B两点都不可达
图形 INCLUDEPICTURE "24S2.TIF" INCLUDEPICTURE "数学人B必修第四册/24S2.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "24S3.TIF" INCLUDEPICTURE "数学人B必修第四册/24S3.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "24S4.TIF" INCLUDEPICTURE "数学人B必修第四册/24S4.TIF" \* MERGEFORMAT
方法 先测角C，AC＝b，BC＝a，再用余弦定理求AB 以点A不可达为例，先测角B，C，BC＝a，再用正弦定理求AB 测得CD＝a，∠BCD，∠BDC，∠ACD，∠ADC，∠ACB，在△ACD中用正弦定理求AC；在△BCD中用正弦定理求BC；在△ABC中用余弦定理求AB
[跟踪训练1] 一个骑行爱好者从A地出发向西骑行了2 km到达B地，然后再由B地向北偏西60°骑行2 km到达C地，再从C地向南偏西30°骑行了5 km到达D地，则A地到D地的直线距离是( )
A．8 km B．3 km
C．3 km D．5 km
解析：选B.
INCLUDEPICTURE "25RAB15.TIF" INCLUDEPICTURE "数学人B必修第四册/25RAB15.TIF" \* MERGEFORMAT
如图，在△ABC中，∠ABC＝150°，AB＝2 km，BC＝2 km，依题意，∠BCD＝90°，在△ABC中，由余弦定理得，
AC＝＝
＝2( km)，由正弦定理得，sin ∠ACB＝＝，在△ACD中，cos ∠ACD＝cos (90°＋∠ACB)＝－sin ∠ACB＝－，由余弦定理得，
AD＝
＝＝3( km)，所以A地到D地的直线距离是3 km.故选B.
三 高度问题
INCLUDEPICTURE "例2LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "数学人B必修第四册/例2LLL.TIF" \* MERGEFORMAT (1)如图，飞机的航线和山顶在同一个铅垂平面内，已知飞机的高度为海拔20 000 m，速度为900 km/h，飞行员先看到山顶的俯角为30°，经过80 s后又看到山顶的俯角为75°，则山顶的海拔高度为( )
INCLUDEPICTURE "25RAB14.TIF" INCLUDEPICTURE "数学人B必修第四册/25RAB14.TIF" \* MERGEFORMAT
A．5 000(＋1) m B．5 000(－1) m
C．5 000(3－) m D．5 000(5－) m
(2)如图所示，在地面上共线的三点A，B，C处测得一建筑物的仰角分别为30°，45°，60°，且AB＝BC＝60 m，则建筑物的高度为( )
INCLUDEPICTURE "25RAB16.TIF" INCLUDEPICTURE "数学人B必修第四册/25RAB16.TIF" \* MERGEFORMAT
A.15 m B．20 m
C．25 m D．30 m
【解析】 (1)
INCLUDEPICTURE "25RAB17.TIF" INCLUDEPICTURE "数学人B必修第四册/25RAB17.TIF" \* MERGEFORMAT
如图，过点C作CD⊥AB于点D.由题意知A＝30°，∠CBD＝75°，则∠ACB＝45°，
AB＝900×80×＝20(km).
在△ABC中，由正弦定理，
得BC＝＝10(km).
在△BCD中，CD＝BC sin ∠CBD＝BC·sin 75°＝10×sin 75°＝5＋5(km)，所以山顶的海拔高度为[20－(5＋5)] km＝5 000(3－)m.故选C.
(2)设建筑物的高度为h m．由题图知，PA＝2h，PB＝h，PC＝h.在△PBA和△PBC中，由余弦定理的推论得，
cos ∠PBA＝，①
cos ∠PBC＝.②
因为∠PBA＋∠PBC＝180°，
所以cos ∠PBA＋cos ∠PBC＝0.③
由①②③，解得h＝30或h＝－30(舍去).即建筑物的高度为30 m.
【答案】 (1)C (2)D
INCLUDEPICTURE "解题技法LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "数学人B必修第四册/解题技法LLL.TIF" \* MERGEFORMAT
测量高度问题的基本类型及方案
类型 图形 方法
底部可达 INCLUDEPICTURE "25RAB18.TIF" INCLUDEPICTURE "数学人B必修第四册/25RAB18.TIF" \* MERGEFORMAT 测得BC＝a，∠BCA，AB＝a·tan ∠BCA
底部不可达 点B与C，D共线 INCLUDEPICTURE "25RAB19.TIF" INCLUDEPICTURE "数学人B必修第四册/25RAB19.TIF" \* MERGEFORMAT 测得CD＝a及C与∠ADB的度数．在△ACD中，先由正弦定理求出AC或AD，再解直角三角形得AB的值
点B与C，D不共线 INCLUDEPICTURE "25RAB20.TIF" INCLUDEPICTURE "数学人B必修第四册/25RAB20.TIF" \* MERGEFORMAT 测得CD＝a及∠BCD，D，∠ACB的度数．在△BCD中，由正弦定理求得BC，再解直角三角形得AB的值
[跟踪训练2] 在200 m高的山顶上，测得山下塔顶与塔底的俯角分别为30°和60°，则塔高为( )
A． m B． m
C． m D． m
INCLUDEPICTURE "RJAC11.TIF" INCLUDEPICTURE "数学人B必修第四册/RJAC11.TIF" \* MERGEFORMAT
解析：选C.如图，从塔顶向山体引一条垂线CM，垂足为M.
则AB＝BD·tan 60°，AM＝CM·tan 30°，
因为BD＝CM，
所以CM＝BD＝，
所以AM＝CM·tan 30°＝·tan 30°＝×＝(m)，所以塔高CD＝BM＝AB－AM＝200－＝(m)，故选C.
四 角度问题
INCLUDEPICTURE "例3lll.TIF" INCLUDEPICTURE "数学人B必修第四册/例3lll.TIF" \* MERGEFORMAT 某货船在一海域航行中遭遇突发情况，发出求救信号，如图，某海军护航舰在A处获悉后，立即测出该货船在方位角为45°，距离为10 n mile的C处，并测得货船正沿方位角为105°的方向，以10 n mile/h的速度向前行驶，该海军护航舰立即以10 n mile/h的速度前去营救，求护航舰的航向和靠近货船所需的时间．
INCLUDEPICTURE "ADM8.TIF" INCLUDEPICTURE "数学人B必修第四册/ADM8.TIF" \* MERGEFORMAT
【解】 设所需时间为t h，在△ABC中，根据余弦定理，有AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC cos 120°，可得(10t)2＝102＋(10t)2－2×10×10t×cos 120°，
整理得2t2－t－1＝0，解得t＝1或t＝－(舍去).
故护航舰靠近货船需1 h.
此时AB＝10，BC＝10，又AC＝10，所以∠CAB＝30°，所以护航舰航行的方位角为75°.
INCLUDEPICTURE "解题技法LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "数学人B必修第四册/解题技法LLL.TIF" \* MERGEFORMAT
测量角度问题的解题思路
INCLUDEPICTURE "22CS20.TIF" INCLUDEPICTURE "数学人B必修第四册/22CS20.TIF" \* MERGEFORMAT
[跟踪训练3] 某校学生参加课外实践活动“测量一土坡的倾斜程度”，在坡脚A处测得∠PAC＝15°，沿土坡向坡顶前进25 m后到达D处，测得∠PDC＝45°.已知旗杆CP＝10 m，PB⊥AB，土坡对于地平面的坡度为θ，则cos θ＝( )
INCLUDEPICTURE "25RAB21.TIF" INCLUDEPICTURE "数学人B必修第四册/25RAB21.TIF" \* MERGEFORMAT
A．－1 B．－1
C． D．
解析：选D.在△PAD中，∠APD＝45°－15°＝30°，由正弦定理得PD＝·sin 15°＝ m，在△PDC中，CP＝10 m，故sin ∠PCD＝·PD＝，易知cos θ＝sin ∠ACB＝sin ∠PCD，所以cos θ＝.
INCLUDEPICTURE "课堂巩固自测LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "数学人B必修第四册/课堂巩固自测LLL.TIF" \* MERGEFORMAT
1．(教材P15T3改编)从地面上观察一处建在山顶上的建筑物，测得其视角为α，同时测得建筑物顶部仰角为β，则山顶的仰角为( )
A．α＋β B．α－β
C．β－α D．α
解析：选C.如图可知，山顶的仰角为β－α.故选C.
INCLUDEPICTURE "RJAC15.TIF" INCLUDEPICTURE "数学人B必修第四册/RJAC15.TIF" \* MERGEFORMAT
2．如图，某研究小组为测量某楼房MN的高度，在地面D处测得房顶M的仰角为45°，在距离D处10 m的地面C处测得房顶M的仰角为60°，并测得∠NCD＝120°，则该楼房的高度为( )
INCLUDEPICTURE "25RAB22.TIF" INCLUDEPICTURE "数学人B必修第四册/25RAB22.TIF" \* MERGEFORMAT
A.10 m B．10 m
C．20 m D．30 m
解析：选B.根据题意可知，△MNC，△MND均为直角三角形，∠NDM＝45°，∠MCN＝60°，设NC＝x，则MN＝x，ND＝x，
在△NCD中，由余弦定理的推论得cos 120°＝＝－，解得x＝10或x＝－5(舍去)，所以楼房的高度为10 m.
3．(教材P15T2改编)如图，已知现存某斜塔塔身高CD为10 m，塔身向北偏东12°方向倾斜．为寻找适当观察视角，某游客在地面A处测得斜塔塔尖C的仰角为45°，向斜塔方向前行至B点，测得仰角为60°(若A，B，D三点共线，A，B，C，D四点共面)，则AB间距离约为(sin 78°≈0.98，≈1.73，≈1.41)( )
INCLUDEPICTURE "25RAB23.TIF" INCLUDEPICTURE "数学人B必修第四册/25RAB23.TIF" \* MERGEFORMAT
A．2.3 m B．4.1 m
C．3.3 m D．3.2 m
解析：选B.由题意可得∠CAB＝45°，
∠CBD＝60°，∠CDB＝78°，CD＝10，在△CBD中，根据正弦定理可得，＝，解得CB≈11.3 m．在△ABC中，因为∠ACB＝180°－120°－45°＝15°，所以根据正弦定理可得＝，
又因为sin 15°＝sin (45°－30°)＝，
故AB≈11.3××≈4.1(m).
4．甲船在A点发现乙船在北偏东60°的B处，乙船以每小时a n mile的速度向北行驶，已知甲船的速度是每小时a n mile，问甲船应沿着什么方向前进，才能最快与乙船相遇？
解：如图所示，设经过t h两船在C点相遇，
INCLUDEPICTURE "ADM9.TIF" INCLUDEPICTURE "数学人B必修第四册/ADM9.TIF" \* MERGEFORMAT
则在△ABC中，BC＝at n mile，
AC＝at n mile，B＝180°－60°＝120°.
由＝，
得sin ∠CAB＝＝＝＝.
因为0°＜∠CAB＜60°，所以∠CAB＝30°，
所以∠DAC＝60°－30°＝30°，
所以甲船应沿着北偏东30°的方向前进，才能最快与乙船相遇．
INCLUDEPICTURE "课堂小结.TIF" INCLUDEPICTURE "数学人B必修第四册/课堂小结.TIF" \* MERGEFORMAT
1．已学习：不可到达的距离、高度、角度等实际问题的测量方案．
2．须贯通：求解不可到达的距离、高度、角度等实际问题时，策略就是把实际问题转化为解三角形问题，体现了转化与化归和数形结合的思想方法．
3．应注意：测量中有关术语的含义，如方位角、方向角．
|1.理解测量中有关名词、术语的确切含义． 2.能将实际问题转化为解三角形问题． 3.能够用正、余弦定理求解与距离、高度、角度有关的实际应用问题．
INCLUDEPICTURE "新知学习探究LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "数学人B必修第四册/新知学习探究LLL.TIF" \* MERGEFORMAT
INCLUDEPICTURE "新课导学1LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "数学人B必修第四册/新课导学1LLL.TIF" \* MERGEFORMAT
在测量工作中，经常会遇到不方便直接测量的情形．例如，如图所示故宫角楼的高度，因为顶端和底部都不便到达，所以不能直接测量．
INCLUDEPICTURE "25RAB9.TIF" INCLUDEPICTURE "数学人B必修第四册/25RAB9.TIF" \* MERGEFORMAT
思考 假设给你米尺和测量角度的工具，你能在故宫角楼对面的岸边得出角楼的高度吗？
提示：
INCLUDEPICTURE "25RAB10.TIF" INCLUDEPICTURE "数学人B必修第四册/25RAB10.TIF" \* MERGEFORMAT
问题转化为求不便到达的两点A，B之间的距离(如图)，可选定可到达位置C，D，用米尺测量CD＝m，用测量角度的工具测得∠ACB＝α，∠BCD＝β，∠BDC＝γ，∠ACD＝θ，∠ADC＝φ，先在△BCD中求出BC，再在△ACD中求出AC，最后在△ABC中求AB即可．
一 实际测量中有关名词、术语
1．基线的概念与选取原则
(1)基线：根据测量的需要而确定的线段叫做基线．
(2)选取原则：为使测量具有较高的精确度，应根据实际需要选取合适的基线长度．一般来说，基线越长，测量的精确度越高．
2．测量中相关角的概念
(1)仰角和俯角
与目标视线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线上方时叫仰角，目标视线在水平视线下方时叫俯角，如图所示．
INCLUDEPICTURE "ADM4.TIF" INCLUDEPICTURE "数学人B必修第四册/ADM4.TIF" \* MERGEFORMAT
(2)方位角
指从正北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B点的方位角为α(如图1所示).
INCLUDEPICTURE "ADM5.TIF" INCLUDEPICTURE "数学人B必修第四册/ADM5.TIF" \* MERGEFORMAT
(3)方向角
正北或正南方向线与目标方向线所成的锐角，如北偏西30°，南偏东45°(此时也称为东南方向，如图2所示).
【即时练】
1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)在测量中，选取的基线越短，测量的精确度越高．( )
(2)仰角与俯角都是目标视线与铅垂线所成的角．( )
(3)方位角的范围是(0，π).( )
(4)“视角”就是“仰角”．( )
答案：(1)× (2)× (3)× (4)×
2．若P在Q的北偏东44°50′方向上，则Q在P的( )
A．东偏北45°10′方向上
B．东偏北44°50′方向上
C．南偏西44°50′方向上
D．西偏南44°50′方向上
解析：选C.如图所示，可知Q在P的南偏西44°50′方向上，故选C.
INCLUDEPICTURE "25RAB11.TIF" INCLUDEPICTURE "数学人B必修第四册/25RAB11.TIF" \* MERGEFORMAT
3．从A处望B处的仰角为α，从B处望A处的俯角为β，则α，β的关系为( )
A．α>β B．α＝β
C．α＋β＝90° D．α＋β＝180°
解析：选B.根据题意和仰角、俯角的概念画出草图，如图所示．由图知α＝β.故选B.
INCLUDEPICTURE "25RAB11A.TIF" INCLUDEPICTURE "数学人B必修第四册/25RAB11A.TIF" \* MERGEFORMAT
INCLUDEPICTURE "解题技法LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "数学人B必修第四册/解题技法LLL.TIF" \* MERGEFORMAT
分析题意，分清已知与所求，再根据题意画出正确的示意图，画图时，要明确仰角、俯角、方位角以及方向角的含义，并能准确找到这些角．
二 距离问题
INCLUDEPICTURE "例1LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "数学人B必修第四册/例1LLL.TIF" \* MERGEFORMAT (1)(对接教材例1)海面上有相距10 n mile的A，B两个小岛，从A岛望C岛和B岛成60°的视角，从B岛望C岛和A岛成75°的视角，则B，C间的距离为( )
A．10 n mile B．10 n mile
C．5 n mile D．5 n mile
(2)如图，为了测量A，C两点间的距离，选取同一平面上的B，D两点，测出四边形ABCD各边的长度(单位：km)：AB＝5，BC＝8，CD＝3，AD＝5，且A，B，C，D四点共圆，则AC的长为________ km.
INCLUDEPICTURE "25RAB13.TIF" INCLUDEPICTURE "数学人B必修第四册/25RAB13.TIF" \* MERGEFORMAT
【解析】 (1)如图，由题意得
INCLUDEPICTURE "25RAB12.TIF" INCLUDEPICTURE "数学人B必修第四册/25RAB12.TIF" \* MERGEFORMAT
A＝60°，B＝75°，AB＝10，则C＝45°，
所以＝，所以BC＝＝5，即B，C间的距离为5 n mile.
(2)因为A，B，C，D四点共圆，圆内接四边形的对角和为π，所以B＋D＝π，所以由余弦定理可得AC2＝AD2＋CD2－2AD· CD cos D＝52＋32－2×5×3cos D＝34－30cos D，①
AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC cos B＝52＋82－2×5×8cos B＝89－80cos B＝89＋80cos D，②
联立①②，解得AC＝7.
【答案】 (1)D (2)7
INCLUDEPICTURE "解题技法LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "数学人B必修第四册/解题技法LLL.TIF" \* MERGEFORMAT
测量距离问题的基本类型及方案
类型 A，B两点间不可达或不可视 A，B两点间可视，但有一点不可达 A，B两点都不可达
图形 INCLUDEPICTURE "24S2.TIF" INCLUDEPICTURE "数学人B必修第四册/24S2.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "24S3.TIF" INCLUDEPICTURE "数学人B必修第四册/24S3.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "24S4.TIF" INCLUDEPICTURE "数学人B必修第四册/24S4.TIF" \* MERGEFORMAT
方法 先测角C，AC＝b，BC＝a，再用余弦定理求AB 以点A不可达为例，先测角B，C，BC＝a，再用正弦定理求AB 测得CD＝a，∠BCD，∠BDC，∠ACD，∠ADC，∠ACB，在△ACD中用正弦定理求AC；在△BCD中用正弦定理求BC；在△ABC中用余弦定理求AB
[跟踪训练1] 一个骑行爱好者从A地出发向西骑行了2 km到达B地，然后再由B地向北偏西60°骑行2 km到达C地，再从C地向南偏西30°骑行了5 km到达D地，则A地到D地的直线距离是( )
A．8 km B．3 km
C．3 km D．5 km
解析：选B.
INCLUDEPICTURE "25RAB15.TIF" INCLUDEPICTURE "数学人B必修第四册/25RAB15.TIF" \* MERGEFORMAT
如图，在△ABC中，∠ABC＝150°，AB＝2 km，BC＝2 km，依题意，∠BCD＝90°，在△ABC中，由余弦定理得，
AC＝＝
＝2( km)，由正弦定理得，sin ∠ACB＝＝，在△ACD中，cos ∠ACD＝cos (90°＋∠ACB)＝－sin ∠ACB＝－，由余弦定理得，
AD＝
＝＝3( km)，所以A地到D地的直线距离是3 km.故选B.
三 高度问题
INCLUDEPICTURE "例2LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "数学人B必修第四册/例2LLL.TIF" \* MERGEFORMAT (1)如图，飞机的航线和山顶在同一个铅垂平面内，已知飞机的高度为海拔20 000 m，速度为900 km/h，飞行员先看到山顶的俯角为30°，经过80 s后又看到山顶的俯角为75°，则山顶的海拔高度为( )
INCLUDEPICTURE "25RAB14.TIF" INCLUDEPICTURE "数学人B必修第四册/25RAB14.TIF" \* MERGEFORMAT
A．5 000(＋1) m B．5 000(－1) m
C．5 000(3－) m D．5 000(5－) m
(2)如图所示，在地面上共线的三点A，B，C处测得一建筑物的仰角分别为30°，45°，60°，且AB＝BC＝60 m，则建筑物的高度为( )
INCLUDEPICTURE "25RAB16.TIF" INCLUDEPICTURE "数学人B必修第四册/25RAB16.TIF" \* MERGEFORMAT
A.15 m B．20 m
C．25 m D．30 m
【解析】 (1)
INCLUDEPICTURE "25RAB17.TIF" INCLUDEPICTURE "数学人B必修第四册/25RAB17.TIF" \* MERGEFORMAT
如图，过点C作CD⊥AB于点D.由题意知A＝30°，∠CBD＝75°，则∠ACB＝45°，
AB＝900×80×＝20(km).
在△ABC中，由正弦定理，
得BC＝＝10(km).
在△BCD中，CD＝BC sin ∠CBD＝BC·sin 75°＝10×sin 75°＝5＋5(km)，所以山顶的海拔高度为[20－(5＋5)] km＝5 000(3－)m.故选C.
(2)设建筑物的高度为h m．由题图知，PA＝2h，PB＝h，PC＝h.在△PBA和△PBC中，由余弦定理的推论得，
cos ∠PBA＝，①
cos ∠PBC＝.②
因为∠PBA＋∠PBC＝180°，
所以cos ∠PBA＋cos ∠PBC＝0.③
由①②③，解得h＝30或h＝－30(舍去).即建筑物的高度为30 m.
【答案】 (1)C (2)D
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测量高度问题的基本类型及方案
类型 图形 方法
底部可达 INCLUDEPICTURE "25RAB18.TIF" INCLUDEPICTURE "数学人B必修第四册/25RAB18.TIF" \* MERGEFORMAT 测得BC＝a，∠BCA，AB＝a·tan ∠BCA
底部不可达 点B与C，D共线 INCLUDEPICTURE "25RAB19.TIF" INCLUDEPICTURE "数学人B必修第四册/25RAB19.TIF" \* MERGEFORMAT 测得CD＝a及C与∠ADB的度数．在△ACD中，先由正弦定理求出AC或AD，再解直角三角形得AB的值
点B与C，D不共线 INCLUDEPICTURE "25RAB20.TIF" INCLUDEPICTURE "数学人B必修第四册/25RAB20.TIF" \* MERGEFORMAT 测得CD＝a及∠BCD，D，∠ACB的度数．在△BCD中，由正弦定理求得BC，再解直角三角形得AB的值
[跟踪训练2] 在200 m高的山顶上，测得山下塔顶与塔底的俯角分别为30°和60°，则塔高为( )
A． m B． m
C． m D． m
INCLUDEPICTURE "RJAC11.TIF" INCLUDEPICTURE "数学人B必修第四册/RJAC11.TIF" \* MERGEFORMAT
解析：选C.如图，从塔顶向山体引一条垂线CM，垂足为M.
则AB＝BD·tan 60°，AM＝CM·tan 30°，
因为BD＝CM，
所以CM＝BD＝，
所以AM＝CM·tan 30°＝·tan 30°＝×＝(m)，所以塔高CD＝BM＝AB－AM＝200－＝(m)，故选C.
四 角度问题
INCLUDEPICTURE "例3lll.TIF" INCLUDEPICTURE "数学人B必修第四册/例3lll.TIF" \* MERGEFORMAT 某货船在一海域航行中遭遇突发情况，发出求救信号，如图，某海军护航舰在A处获悉后，立即测出该货船在方位角为45°，距离为10 n mile的C处，并测得货船正沿方位角为105°的方向，以10 n mile/h的速度向前行驶，该海军护航舰立即以10 n mile/h的速度前去营救，求护航舰的航向和靠近货船所需的时间．
INCLUDEPICTURE "ADM8.TIF" INCLUDEPICTURE "数学人B必修第四册/ADM8.TIF" \* MERGEFORMAT
【解】 设所需时间为t h，在△ABC中，根据余弦定理，有AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC cos 120°，可得(10t)2＝102＋(10t)2－2×10×10t×cos 120°，
整理得2t2－t－1＝0，解得t＝1或t＝－(舍去).
故护航舰靠近货船需1 h.
此时AB＝10，BC＝10，又AC＝10，所以∠CAB＝30°，所以护航舰航行的方位角为75°.
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测量角度问题的解题思路
INCLUDEPICTURE "22CS20.TIF" INCLUDEPICTURE "数学人B必修第四册/22CS20.TIF" \* MERGEFORMAT
[跟踪训练3] 某校学生参加课外实践活动“测量一土坡的倾斜程度”，在坡脚A处测得∠PAC＝15°，沿土坡向坡顶前进25 m后到达D处，测得∠PDC＝45°.已知旗杆CP＝10 m，PB⊥AB，土坡对于地平面的坡度为θ，则cos θ＝( )
INCLUDEPICTURE "25RAB21.TIF" INCLUDEPICTURE "数学人B必修第四册/25RAB21.TIF" \* MERGEFORMAT
A．－1 B．－1
C． D．
解析：选D.在△PAD中，∠APD＝45°－15°＝30°，由正弦定理得PD＝·sin 15°＝ m，在△PDC中，CP＝10 m，故sin ∠PCD＝·PD＝，易知cos θ＝sin ∠ACB＝sin ∠PCD，所以cos θ＝.
INCLUDEPICTURE "课堂巩固自测LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "数学人B必修第四册/课堂巩固自测LLL.TIF" \* MERGEFORMAT
1．(教材P15T3改编)从地面上观察一处建在山顶上的建筑物，测得其视角为α，同时测得建筑物顶部仰角为β，则山顶的仰角为( )
A．α＋β B．α－β
C．β－α D．α
解析：选C.如图可知，山顶的仰角为β－α.故选C.
INCLUDEPICTURE "RJAC15.TIF" INCLUDEPICTURE "数学人B必修第四册/RJAC15.TIF" \* MERGEFORMAT
2．如图，某研究小组为测量某楼房MN的高度，在地面D处测得房顶M的仰角为45°，在距离D处10 m的地面C处测得房顶M的仰角为60°，并测得∠NCD＝120°，则该楼房的高度为( )
INCLUDEPICTURE "25RAB22.TIF" INCLUDEPICTURE "数学人B必修第四册/25RAB22.TIF" \* MERGEFORMAT
A.10 m B．10 m
C．20 m D．30 m
解析：选B.根据题意可知，△MNC，△MND均为直角三角形，∠NDM＝45°，∠MCN＝60°，设NC＝x，则MN＝x，ND＝x，
在△NCD中，由余弦定理的推论得cos 120°＝＝－，解得x＝10或x＝－5(舍去)，所以楼房的高度为10 m.
3．(教材P15T2改编)如图，已知现存某斜塔塔身高CD为10 m，塔身向北偏东12°方向倾斜．为寻找适当观察视角，某游客在地面A处测得斜塔塔尖C的仰角为45°，向斜塔方向前行至B点，测得仰角为60°(若A，B，D三点共线，A，B，C，D四点共面)，则AB间距离约为(sin 78°≈0.98，≈1.73，≈1.41)( )
INCLUDEPICTURE "25RAB23.TIF" INCLUDEPICTURE "数学人B必修第四册/25RAB23.TIF" \* MERGEFORMAT
A．2.3 m B．4.1 m
C．3.3 m D．3.2 m
解析：选B.由题意可得∠CAB＝45°，
∠CBD＝60°，∠CDB＝78°，CD＝10，在△CBD中，根据正弦定理可得，＝，解得CB≈11.3 m．在△ABC中，因为∠ACB＝180°－120°－45°＝15°，所以根据正弦定理可得＝，
又因为sin 15°＝sin (45°－30°)＝，
故AB≈11.3××≈4.1(m).
4．甲船在A点发现乙船在北偏东60°的B处，乙船以每小时a n mile的速度向北行驶，已知甲船的速度是每小时a n mile，问甲船应沿着什么方向前进，才能最快与乙船相遇？
解：如图所示，设经过t h两船在C点相遇，
INCLUDEPICTURE "ADM9.TIF" INCLUDEPICTURE "数学人B必修第四册/ADM9.TIF" \* MERGEFORMAT
则在△ABC中，BC＝at n mile，
AC＝at n mile，B＝180°－60°＝120°.
由＝，
得sin ∠CAB＝＝＝＝.
因为0°＜∠CAB＜60°，所以∠CAB＝30°，
所以∠DAC＝60°－30°＝30°，
所以甲船应沿着北偏东30°的方向前进，才能最快与乙船相遇．
INCLUDEPICTURE "课堂小结.TIF" INCLUDEPICTURE "数学人B必修第四册/课堂小结.TIF" \* MERGEFORMAT
1．已学习：不可到达的距离、高度、角度等实际问题的测量方案．
2．须贯通：求解不可到达的距离、高度、角度等实际问题时，策略就是把实际问题转化为解三角形问题，体现了转化与化归和数形结合的思想方法．
3．应注意：测量中有关术语的含义，如方位角、方向角．