培优1 三角形中的特殊线段（教师版）
文档属性
| 名称 | 培优1 三角形中的特殊线段（教师版） |
|
|
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 119.0KB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教B版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2026-02-27 00:00:00 | ||
图片预览
文档简介
INCLUDEPICTURE "培优1LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "数学人B必修第四册/培优1LLL.TIF" \* MERGEFORMAT 三角形中的特殊线段
类型一 三角形的中线问题
求解三角形中的中线问题，主要有两种思路：
在△ABC中，AD是边BC上的中线，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.
(1)中线长定理：AB2＋AC2＝2(BD2＋AD2)；
(2)向量法：2＝(b2＋c2＋2bc cos A).
INCLUDEPICTURE "典例1LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "数学人B必修第四册/典例1LLL.TIF" \* MERGEFORMAT 在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足b cos ＝a sin B．
(1)求A；
(2)若a＝，·＝3，AD是△ABC的中线，求AD的长．
【解】 (1)因为cos ＝cos (－)＝sin ，所以b sin ＝a sin B，
由正弦定理得sin B sin ＝sin A sin B，
因为B∈(0，π)，所以sin B≠0，所以sin ＝sin A，
所以sin ＝2sin cos ，因为A∈(0，π)，∈(0，)，所以sin ≠0，
得cos ＝，即＝，所以A＝.
(2)因为·＝3，
所以bc cos (π－A)＝3，得bc＝6，
由余弦定理得b2＋c2＝a2＋2bc cos A＝13，
因为＝(＋)，
所以||2＝(＋)2＝(c2＋b2＋2bc cos A)＝，
所以||＝，即AD的长为.
类型二 三角形的角平分线问题
求解三角形的角平分线问题，主要有以下常用解法：
在△ABC中，AD为△ABC的内角∠BAC的平分线，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.
(1)利用角度的倍数关系：∠BAC＝2∠BAD＝2∠CAD；
(2)内角平分线定理：＝；
(3)等面积法：S△ABD＋S△ACD＝S△ABC，AD＝(角平分线长公式).
INCLUDEPICTURE "典例2LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "数学人B必修第四册/典例2LLL.TIF" \* MERGEFORMAT (1)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，B＝，b＝2，b2＋c2－a2＝bc.若∠BAC的平分线与BC交于点E，则AE＝( )
A． B．
C．2 D．3
(2)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c(a≠c)，∠ABC＝120°，∠ABC的平分线交AC于点D，BD＝2，则 ( )
A．ac＝a＋c B．ac＝2a＋c
C．ac＝a＋2c D．ac＝2a＋2c
【解析】 (1)因为b2＋c2－a2＝bc，
所以cos ∠BAC＝＝，
因为B＝，所以∠BAC∈(0，)，所以∠BAC＝，所以C＝，所以＝，所以c＝×＝2.因为AE平分∠BAC，所以∠BAE＝∠BAC＝，所以∠AEB＝π－－＝，
所以＝，所以AE＝＝×sin ＝×＝.
(2)
INCLUDEPICTURE "25RAB35.TIF" INCLUDEPICTURE "数学人B必修第四册/25RAB35.TIF" \* MERGEFORMAT
如图所示，因为S△ABC＝S△BCD＋S△ABD，所以ac·sin 120°＝×2×a sin 60°＋×2×c sin 60°，
即ac＝a＋c，
所以ac＝2a＋2c.
【答案】 (1)A (2)D
类型三 三角形的高线问题
INCLUDEPICTURE "典例3lll.TIF" INCLUDEPICTURE "数学人B必修第四册/典例3lll.TIF" \* MERGEFORMAT 在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且＝sin A tan .
(1)求C；
(2)若a＝8，b＝5，CH是边AB上的高，且＝m＋n，求.
【解】 (1)在△ABC中，＝sin A tan ，由正弦定理和同角三角函数的关系，
得＝，
由倍角公式得＝.
又因为A，C为△ABC的内角，
所以A∈(0，π)，∈(0，)，
所以sin A≠0，cos ≠0.
所以sin2＝，sin＝，
则有＝，得C＝.
(2)方法一：a＝8，b＝5，∠ACB＝，·＝||·||·cos ∠ACB＝ab cos ∠ACB＝8×5×cos ＝20，
所以2＝b2＝25，2＝a2＝64，
由题意知CH⊥AB，所以·＝0，
即(m＋n)·(－)＝(m－n)(·)－m2＋n2＝20(m－n)－25m＋64n＝0.
所以5m＝44n，所以＝.
方法二：在△ABC中，由余弦定理得
INCLUDEPICTURE "25ELS-23.TIF" INCLUDEPICTURE "数学人B必修第四册/25ELS-23.TIF" \* MERGEFORMAT
c2＝a2＋b2－2ab cos ∠ACB＝82＋52－2×8×5×＝49，
所以c＝7.
由题意，S△ABC＝ab sin ∠ACB＝c·CH，
所以CH＝＝＝.
所以AH＝＝，＝.
所以＝＋＝＋(－)＝＋.
由平面向量基本定理知，m＝，n＝，
所以＝.
【尝试训练】
1．已知△ABC的面积为，C＝120°，c＝2b cos B，则AC边上的中线长为( )
A． B．3
C． D．4
解析：选C.由题意结合正弦定理得sin C＝2sin B cos B，即sin C＝sin 2B，因为B，C为△ABC的内角，所以C＝2B或C＋2B＝180°，当C＝2B时，B＝60°，不符合三角形内角和定理，当C＋2B＝180°时，B＝30°，故A＝30°，因此a＝b，因为△ABC的面积为，所以a·a·＝，解得a＝2(负值已舍去)，即a＝b＝2.由余弦定理可知AB＝＝
＝2.设AC边的中点为D，则＝(＋)，因此||＝
＝
＝×＝.故选C.
2．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，A＝60°，b＝3c，角A的平分线交BC于点D，且BD＝，则cos ∠ADB＝( )
A．－ B．
C． D．±
解析：选B.因为A＝60°，角A的平分线交BC于点D，所以∠CAD＝∠BAD＝30°.又b＝3c，所以＝＝＝＝3.因为BD＝，所以CD＝3，a＝CB＝4.由余弦定理可得a2＝b2＋c2－2bc cos 60°，所以112＝9c2＋c2－2×3c·c·，解得c＝4(负值已舍去).在△ABD中，由正弦定理得＝，即＝，所以sin ∠ADB＝.因为b>c，所以B>C.又因为∠ADB＝30°＋C，∠ADC＝30°＋B，所以∠ADB<∠ADC，所以∠ADB为锐角，所以cos ∠ADB＝.故选B.
3．已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且a＝2，b＝3，cos C＝－.求：
(1)△ABC的周长；
(2)AB边上的高．
解：(1)在△ABC中，由余弦定理的推论得
cos C＝＝＝－，
解得c＝4(负值已舍去)，
所以△ABC的周长为a＋b＋c＝2＋3＋4＝9.
(2)因为cos C＝－，C∈(0，π)，
所以sin C＝＝.
设AB边上的高为h，
则ab sinC＝ch，
即×2×3×＝×4h，
解得h＝，
所以AB边上的高为.
类型一 三角形的中线问题
求解三角形中的中线问题，主要有两种思路：
在△ABC中，AD是边BC上的中线，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.
(1)中线长定理：AB2＋AC2＝2(BD2＋AD2)；
(2)向量法：2＝(b2＋c2＋2bc cos A).
INCLUDEPICTURE "典例1LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "数学人B必修第四册/典例1LLL.TIF" \* MERGEFORMAT 在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足b cos ＝a sin B．
(1)求A；
(2)若a＝，·＝3，AD是△ABC的中线，求AD的长．
【解】 (1)因为cos ＝cos (－)＝sin ，所以b sin ＝a sin B，
由正弦定理得sin B sin ＝sin A sin B，
因为B∈(0，π)，所以sin B≠0，所以sin ＝sin A，
所以sin ＝2sin cos ，因为A∈(0，π)，∈(0，)，所以sin ≠0，
得cos ＝，即＝，所以A＝.
(2)因为·＝3，
所以bc cos (π－A)＝3，得bc＝6，
由余弦定理得b2＋c2＝a2＋2bc cos A＝13，
因为＝(＋)，
所以||2＝(＋)2＝(c2＋b2＋2bc cos A)＝，
所以||＝，即AD的长为.
类型二 三角形的角平分线问题
求解三角形的角平分线问题，主要有以下常用解法：
在△ABC中，AD为△ABC的内角∠BAC的平分线，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.
(1)利用角度的倍数关系：∠BAC＝2∠BAD＝2∠CAD；
(2)内角平分线定理：＝；
(3)等面积法：S△ABD＋S△ACD＝S△ABC，AD＝(角平分线长公式).
INCLUDEPICTURE "典例2LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "数学人B必修第四册/典例2LLL.TIF" \* MERGEFORMAT (1)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，B＝，b＝2，b2＋c2－a2＝bc.若∠BAC的平分线与BC交于点E，则AE＝( )
A． B．
C．2 D．3
(2)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c(a≠c)，∠ABC＝120°，∠ABC的平分线交AC于点D，BD＝2，则 ( )
A．ac＝a＋c B．ac＝2a＋c
C．ac＝a＋2c D．ac＝2a＋2c
【解析】 (1)因为b2＋c2－a2＝bc，
所以cos ∠BAC＝＝，
因为B＝，所以∠BAC∈(0，)，所以∠BAC＝，所以C＝，所以＝，所以c＝×＝2.因为AE平分∠BAC，所以∠BAE＝∠BAC＝，所以∠AEB＝π－－＝，
所以＝，所以AE＝＝×sin ＝×＝.
(2)
INCLUDEPICTURE "25RAB35.TIF" INCLUDEPICTURE "数学人B必修第四册/25RAB35.TIF" \* MERGEFORMAT
如图所示，因为S△ABC＝S△BCD＋S△ABD，所以ac·sin 120°＝×2×a sin 60°＋×2×c sin 60°，
即ac＝a＋c，
所以ac＝2a＋2c.
【答案】 (1)A (2)D
类型三 三角形的高线问题
INCLUDEPICTURE "典例3lll.TIF" INCLUDEPICTURE "数学人B必修第四册/典例3lll.TIF" \* MERGEFORMAT 在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且＝sin A tan .
(1)求C；
(2)若a＝8，b＝5，CH是边AB上的高，且＝m＋n，求.
【解】 (1)在△ABC中，＝sin A tan ，由正弦定理和同角三角函数的关系，
得＝，
由倍角公式得＝.
又因为A，C为△ABC的内角，
所以A∈(0，π)，∈(0，)，
所以sin A≠0，cos ≠0.
所以sin2＝，sin＝，
则有＝，得C＝.
(2)方法一：a＝8，b＝5，∠ACB＝，·＝||·||·cos ∠ACB＝ab cos ∠ACB＝8×5×cos ＝20，
所以2＝b2＝25，2＝a2＝64，
由题意知CH⊥AB，所以·＝0，
即(m＋n)·(－)＝(m－n)(·)－m2＋n2＝20(m－n)－25m＋64n＝0.
所以5m＝44n，所以＝.
方法二：在△ABC中，由余弦定理得
INCLUDEPICTURE "25ELS-23.TIF" INCLUDEPICTURE "数学人B必修第四册/25ELS-23.TIF" \* MERGEFORMAT
c2＝a2＋b2－2ab cos ∠ACB＝82＋52－2×8×5×＝49，
所以c＝7.
由题意，S△ABC＝ab sin ∠ACB＝c·CH，
所以CH＝＝＝.
所以AH＝＝，＝.
所以＝＋＝＋(－)＝＋.
由平面向量基本定理知，m＝，n＝，
所以＝.
【尝试训练】
1．已知△ABC的面积为，C＝120°，c＝2b cos B，则AC边上的中线长为( )
A． B．3
C． D．4
解析：选C.由题意结合正弦定理得sin C＝2sin B cos B，即sin C＝sin 2B，因为B，C为△ABC的内角，所以C＝2B或C＋2B＝180°，当C＝2B时，B＝60°，不符合三角形内角和定理，当C＋2B＝180°时，B＝30°，故A＝30°，因此a＝b，因为△ABC的面积为，所以a·a·＝，解得a＝2(负值已舍去)，即a＝b＝2.由余弦定理可知AB＝＝
＝2.设AC边的中点为D，则＝(＋)，因此||＝
＝
＝×＝.故选C.
2．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，A＝60°，b＝3c，角A的平分线交BC于点D，且BD＝，则cos ∠ADB＝( )
A．－ B．
C． D．±
解析：选B.因为A＝60°，角A的平分线交BC于点D，所以∠CAD＝∠BAD＝30°.又b＝3c，所以＝＝＝＝3.因为BD＝，所以CD＝3，a＝CB＝4.由余弦定理可得a2＝b2＋c2－2bc cos 60°，所以112＝9c2＋c2－2×3c·c·，解得c＝4(负值已舍去).在△ABD中，由正弦定理得＝，即＝，所以sin ∠ADB＝.因为b>c，所以B>C.又因为∠ADB＝30°＋C，∠ADC＝30°＋B，所以∠ADB<∠ADC，所以∠ADB为锐角，所以cos ∠ADB＝.故选B.
3．已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且a＝2，b＝3，cos C＝－.求：
(1)△ABC的周长；
(2)AB边上的高．
解：(1)在△ABC中，由余弦定理的推论得
cos C＝＝＝－，
解得c＝4(负值已舍去)，
所以△ABC的周长为a＋b＋c＝2＋3＋4＝9.
(2)因为cos C＝－，C∈(0，π)，
所以sin C＝＝.
设AB边上的高为h，
则ab sinC＝ch，
即×2×3×＝×4h，
解得h＝，
所以AB边上的高为.