强化课　解三角形（教师版）

INCLUDEPICTURE "强化课LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "数学人B必修第四册/强化课LLL.TIF" \* MERGEFORMAT 　解三角形
题型一　与三角形面积有关的计算
INCLUDEPICTURE "例1LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "数学人B必修第四册/例1LLL.TIF" \* MERGEFORMAT 　(2024·新课标Ⅰ卷)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知sin C＝cos B，a2＋b2－c2＝ab.
(1)求B；
(2)若△ABC的面积为3＋，求c.
【解】　(1)由余弦定理得cos C＝＝，
又0所以cos B＝sin C＝，所以cos B＝，
又0(2)由(1)得A＝π－B－C＝，sin A＝sin ＝sin (＋)＝sin cos ＋cos sin ＝.
由正弦定理＝，得＝，
所以a＝c.
所以△ABC的面积S＝ac sin B＝c2×＝3＋，得c＝2.
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求三角形面积的解题思路
在应用三角形面积公式S＝ab sin C＝bc sin A＝ac sin B求解时，一般是已知哪个角就使用哪一个相应的公式．
[跟踪训练1] (1)在△ABC中，已知a＝1，c＝2且△ABC的面积为，则B＝(　　)
A．30° B．60°
C．30°或150° D．60°或120°
解析：选D.由面积公式S△ABC＝ac sin B＝×1×2×sin B＝，解得sin B＝，所以B＝60°或120°.故选D.
(2)(2024·抚顺月考)在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，若a＝2，b＝3，sin A＝2sin B cos C，则△ABC的面积为_______________________________________________．
解析：依题意sin A＝2sin B cos C，由正弦定理得a＝2b cos C，2＝2×3×cos C，cos C＝>0，所以0答案：2
INCLUDEPICTURE "例2LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "数学人B必修第四册/例2LLL.TIF" \* MERGEFORMAT 　如图，在平面四边形ABCD中，∠CAD＝∠BAC＝，∠BCD＝，BD＝，BC＝2.求：
INCLUDEPICTURE "25RAB6.TIF" INCLUDEPICTURE "数学人B必修第四册/25RAB6.TIF" \* MERGEFORMAT
(1)sin ∠CBD；
(2)AC的长．
【解】　(1)在△DCB中，由余弦定理得cos ∠BCD＝，即－＝，所以CD＝(负值已舍去).
由正弦定理可得＝，
即sin ∠CBD＝＝＝.
(2)在△ACD中，由正弦定理得
＝，
所以sin ∠ADC＝.
在△ABC中，由正弦定理得
＝，
所以sin ∠ABC＝AC.
因为∠CAD＝∠BAC＝，∠BCD＝，
所以∠ADC＋∠ABC＝，
所以sin2∠ADC＋sin2∠ABC＝cos2∠ABC＋sin2∠ABC＝1，
所以＋＝1，所以AC＝.
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多边形中计算问题的解题思路
(1)正确挖掘图形中的几何条件，简化运算是解题要点，还要善于应用正弦定理、余弦定理．只需通过解三角形，一般问题便能很快解决．
(2)解决此类问题的关键是仔细观察，发现图形中较隐蔽的几何条件．
[跟踪训练2] (2024·大连期中)如图，在圆内接四边形ABCD中，B＝120°，AB＝2，AD＝2，△ABC的面积为.求：
INCLUDEPICTURE "RJAC3.TIF" INCLUDEPICTURE "数学人B必修第四册/RJAC3.TIF" \* MERGEFORMAT
(1)AC的长；
(2)∠ACD.
解：(1)因为△ABC的面积为，
所以AB·BC sin B＝.
又因为B＝120°，AB＝2，所以BC＝2.
由余弦定理得，AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC cos B＝22＋22－2×2×2cos 120°＝12，所以AC＝2.
(2)因为四边形ABCD为圆内接四边形，
且B＝120°，
所以D＝60°.
又AD＝2，由正弦定理可得＝，
故sin ∠ACD＝＝＝.
因为AC＞AD，所以0°＜∠ACD＜60°，
所以∠ACD＝45°.
题型三　三角形中的最值(范围)问题
INCLUDEPICTURE "例3lll.TIF" INCLUDEPICTURE "数学人B必修第四册/例3lll.TIF" \* MERGEFORMAT 　已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若c＝a sin B＋b cos A，b＝2，则△ABC面积的最大值为________．
【解析】 因为a cos B＋b cos A＝2R(sin A cos B＋sin B cos A)＝2R sin C＝c，
所以c＝a cos B＋b cos A＝a sin B＋b cos A，
即tan B＝，B＝.所以△ABC的面积S＝ac sin B＝ac，又cos B＝＝，
所以a2＋c2－4＝ac，
所以2ac－4≤ac，ac≤4(＋2)，
即S≤＋2.
【答案】 ＋2
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三角形的面积(或周长)与三边及角是密切相关的，因此解决此类问题时，往往都是找到三边的关系式，减少变量，利用均值不等式求解．
[跟踪训练3] (多选)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且满足b sin A＝a cos (B－)，则(　　)
A．B＝
B．若b＝3，则△ABC周长的最大值为3＋2
C．若D为AC的中点，且BD＝1，则△ABC的面积的最大值为
D．若角B的平分线BD与边AC相交于点D，且BD＝，则a＋4c的最小值为9
解析：选ACD.由b sin A＝a cos (B－)及正弦定理可得sin B sin A＝sin A(cos B＋sin B)，又A∈(0，π)，所以sin A≠0，所以sin B＝cos B＋sin B，则tan B＝，因为B∈(0，π)，所以B＝，故A正确；
若b＝3，则△ABC的外接圆直径2R＝＝2，所以a＋c＝2R(sin A＋sin C)＝2R[sin A＋sin (－A)]＝2R(sin A＋cos A)＝6sin (A＋)，由A∈(0，)，得A＋∈(，)，所以a＋c∈(3，6]，所以△ABC周长的最大值为9，故B错误；若D为AC的中点，且BD＝1，
则2＝＋，
则4＝a2＋c2＋2·＝a2＋c2＋ac≥3ac，所以ac≤，当且仅当a＝c时，等号成立，所以S△ABC＝ac sin B＝ac≤×＝，故C正确；
由题意得S△ABD＋S△BCD＝S△ABC，即c×BD×sin ＋a×BD×sin ＝c×a×sin ，即a＋c＝ac，即＋＝1，
所以a＋4c＝(a＋4c)(＋)＝5＋＋≥5＋2＝9，当且仅当a＝2c＝3时，等号成立，故D正确．故选ACD.
题型四　解三角形与向量、三角函数交汇
INCLUDEPICTURE "例4LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "数学人B必修第四册/例4LLL.TIF" \* MERGEFORMAT 　在锐角三角形ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足·＝b2－ab.
(1)求角C的大小；
(2)求sin A＋sin B＋sin C的取值范围．
【解】 (1)·＝bc cos A＝＝b2－ab，
整理得a2＋b2－c2＝ab，
故cos C＝＝，
又0＜C＜，所以C＝.
(2)由△ABC为锐角三角形知A∈，
B＝π－－A∈，
得A∈，
故sin A＋sin B＋sin C＝sin A＋sin ＋
＝sin A＋sin A cos ＋cos A sin ＋
＝sin A＋cos A＋
＝sin ＋，
因为A∈，A＋∈，
得sin ∈，
所以sin A＋sin B＋sin C∈.
INCLUDEPICTURE "解题技法LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "数学人B必修第四册/解题技法LLL.TIF" \* MERGEFORMAT
解决此类问题，往往通过平面向量的运算、三角恒等变换把三角形中的边角关系转化为三角函数关系，结合三角函数的图象与性质来求解，此时应密切关注三角函数中角的范围，特别注意对题目隐含条件的应用，如锐角三角形、钝角三角形等．
[跟踪训练4] 已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，m＝(2a，2b)，n＝(cos B，cos A)，且m·n＝.
(1)求C；
(2)若c＝3，求当函数f(B)＝cos 2B－4cos C sin B取得最小值时△ABC的周长．
解：(1)由题意可得m·n＝2a cos B＋2b cos A＝，由正弦定理可得
2sin A cos B＋2sin B cos A＝，
则2sin (A＋B)＝，
所以2sin C＝，因为sin C≠0，
因此cos C＝，又C∈(0，π)，所以C＝.
(2)因为f(B)＝cos 2B－4cos C sin B＝1－2sin2B－2sinB＝－2＋，
由C＝可得0＜B＜，
因此0＜sin B≤1，所以当且仅当sin B＝1时，
f(B)＝－2＋取得最小值，
此时B＝，A＝.
因为c＝3，所以b＝＝2，a＝＝，
则△ABC的周长为a＋b＋c＝3＋3.