10．3 复数的三角形式及其运算（教师版）
文档属性
| 名称 | 10．3 复数的三角形式及其运算（教师版） |
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| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 268.4KB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教B版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2026-02-27 00:00:00 | ||
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文档简介
*10.3 复数的三角形式及其运算
1.通过复数的几何意义，了解复数的三角形式，了解复数的代数形式与三角形式之间的关系． 2.了解复数乘、除运算的三角形式及其几何意义．
INCLUDEPICTURE "新知学习探究LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "新知学习探究LLL.TIF" \* MERGEFORMAT
INCLUDEPICTURE "新课导学1LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "新课导学1LLL.TIF" \* MERGEFORMAT
我们知道，复数可以用a＋bi(a，b∈R)的形式来表示，复数a＋bi与复平面内的点Z(a，b)一一对应，与平面向量＝(a，b)也是一一对应的．
思考 能否用向量的模r和以x轴的非负半轴为始边，以向量所在射线(射线OZ)为终边的角θ来表示复数z吗？
提示：可以由复数z的模和复平面内以x轴的非负半轴为始边、向量所在射线为终边的角来确定．
一般地，如果非零复数z＝a＋bi(a，b∈R)在复平面内对应点Z(a，b)，且r为向量的模，θ是以x轴非负半轴为始边、射线OZ为终边的一个角，则r＝|z|＝，根据任意角余弦、正弦的定义可知cos θ＝，sin θ＝，因此a＝r cos θ，b＝r sin θ，如图所示，从而z＝a＋bi＝________________称为非零复数z＝a＋bi的三角形式(对应地，a＋bi称为复数的代数形式)，其中的θ称为z的__________．
特别地，在[0，2π)内的辐角称为z的辐角________，记作________．
[答案自填] r(cos θ＋isin θ) 辐角 主值 arg z
角度1 复数的代数形式化为三角形式
INCLUDEPICTURE "例1LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "例1LLL.TIF" \* MERGEFORMAT (对接教材例1)把下列复数的代数形式化成三角形式．
(1)3－i；
(2)－i.
【解】 (1)r＝ ＝2.
因为与3－i对应的点在第四象限，
所以arg(3－i)＝，
所以3－i＝2(cos ＋isin ).
(2)r＝ ＝2.
因为与－i对应的点在第四象限，
所以arg(－i)＝，
所以－i＝2(cos ＋isin ).
eq \a\vs4\al( INCLUDEPICTURE "解题技法LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "解题技法LLL.TIF" \* MERGEFORMAT )
复数的代数形式转化为三角形式的步骤
(1)先求复数的模；
(2)判断辐角所在的象限；
(3)根据象限求出辐角；
(4)求出复数的三角形式．
角度2 复数的三角形式化成代数形式
INCLUDEPICTURE "例2LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "例2LLL.TIF" \* MERGEFORMAT 把下列复数的三角形式化成代数形式．
(1)4(cos ＋isin )；
(2)3(cos ＋isin ).
【解】 (1)4(cos ＋isin )＝4cos ＋(4 sin )i＝4×＋(4×)i＝2＋2i.
(2)3(cos ＋isin )＝3cos ＋(3sin )i＝3×(－)＋3×(－)i＝－－i.
eq \a\vs4\al( INCLUDEPICTURE "解题技法LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "解题技法LLL.TIF" \* MERGEFORMAT )
将复数的三角形式化为复数代数形式的方法是：复数三角形式z＝r(cos A＋isin A)，代数形式为z＝x＋yi，对应实部等于实部，虚部等于虚部，即x＝r cos A，y＝r sin A．
[跟踪训练1] (1)下列复数中是三角形式的是 ( )
A．2(cos －isin ) B．2(cos ＋isin )
C．2(sin －icos ) D.－2(sin －icos )
解析：选B.复数的三角形式是r(cos θ＋isin θ)，观察所给的四个复数，只有B中的复数是三角形式，注意式子中各个位置的符号．
(2)复数10(cos ＋isin )表示成代数形式为____________．
解析：10(cos ＋isin )＝10(－－i)＝－5－5i.
答案：－5－5i
1．乘法运算法则
设z1＝r1(cos θ1＋isin θ1)，z2＝r2(cos θ2＋isin θ2)，则z1z2＝____________________．
这就是说，两个复数相乘，积的模等于各复数的模的________，积的辐角等于各复数的辐角的________．
特别地，如果n∈N，则[r(cos θ＋isin θ)]n＝rn[cos (nθ)＋isin (nθ)].
2．除法运算法则
设z1＝r1(cos θ1＋isin θ1)，z2＝r2(cos θ2＋isin θ2)，且z2≠0，则＝______________．
这就是说，两个复数相除，商的模等于被除数的模除以除数的模所得的____________，商的辐角等于被除数的辐角减去除数的辐角所得的____________．
[答案自填] r1r2[cos (θ1＋θ2)＋isin(θ1＋θ2)] 积 和 [cos (θ1－θ2)＋isin (θ1－θ2)] 商 差
INCLUDEPICTURE "例3lll.TIF" INCLUDEPICTURE "例3lll.TIF" \* MERGEFORMAT 计算下列各式，并把结果化为代数形式：
(1)5(cos ＋isin )·2(cos ＋isin )；
(2).
【解】 (1)5(cos ＋isin )·2(cos ＋isin )＝10(cos ＋isin )＝10(＋i)
＝＋i.
(2)＝
＝4[cos (－)＋isin (－)]
＝4(－i)
＝2－2i.
eq \a\vs4\al( INCLUDEPICTURE "解题技法LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "解题技法LLL.TIF" \* MERGEFORMAT )
在进行复数三角形式的乘法、除法运算时，注意先将复数化为三角形式，再按法则进行运算，当不要求把计算结果化为代数形式时，也可以用三角形式表示．
[跟踪训练2] (1)若z＝cos 30°＋isin 30°，则arg z2＝( )
A．30° B．60°
C．90° D．120°
解析：选B.由z2＝(cos 30°＋isin 30°)2＝cos 60°＋isin 60°，所以arg z2＝60°.故选B.
(2)计算(cos 40°＋isin 40°)÷(cos 10°＋isin 10°)＝_____________.(用代数形式表示)
解析：＝cos (40°－10°)＋isin(40°－10°)＝cos 30°＋isin 30°＝＋i.
答案：＋i
三 复数三角形式乘、除法运算的几何意义
INCLUDEPICTURE "例4LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "例4LLL.TIF" \* MERGEFORMAT 已知复数z＝(m＋3)－(m＋1)i在复平面内对应的点在第一象限，i是虚数单位．
(1)求实数m的取值范围；
(2)当m＝－2时，求复数z的三角形式；
(3)若在复平面内，向量对应(2)中的复数z，把绕点O按顺时针方向旋转60°得到，求向量对应的复数z1(结果用代数形式表示).
【解】 (1)因为复数z＝(m＋3)－(m＋1)i在复平面内对应的点在第一象限，
所以解得－3所以实数m的取值范围为(－3，－1).
(2)当m＝－2时，z＝1＋i，
所以r＝＝，
cos θ＝sin θ＝＝，
所以θ＝45°，所以z＝(cos 45°＋isin 45°).
(3)方法一(代数运算)：根据题意得z＝1＋i在复平面内对应的向量＝(1，1)，将其顺时针旋转60°后得到向量，则对应的复数z1＝＝＝＋i.
方法二(三角运算)：根据题意得z＝1＋i在复平面内对应的向量＝(1，1)，将其顺时针旋转60°后得到向量，则z1＝＝[cos (45°－60°)＋isin (45°－60°)]＝(cos 15°－isin 15°).
又因为cos 15°＝，sin 15°＝，
所以z1＝(－i)＝＋i.
eq \a\vs4\al( INCLUDEPICTURE "解题技法LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "解题技法LLL.TIF" \* MERGEFORMAT )
两个复数z1＝r1(cos θ1＋isin θ1)，z2＝r2(cos θ2＋isin θ2)相乘时，如图，先分别画出与z1，z2对应的向量，，然后把向量绕点O按逆时针方向旋转角θ2(如果θ2<0，就要把绕点O按顺时针方向旋转角|θ2|)，再把它的模变为原来的r2倍，得到向量，表示的复数就是积z1z2，即z1z2＝r1r2[cos (θ1＋θ2)＋isin (θ1＋θ2)]，当z1，z2相除时，＝[cos (θ1－θ2)＋isin (θ1－θ2)].
[跟踪训练3] 已知＝(1，1)，将绕原点O按逆时针方向旋转得到，则点Z对应的复数为____________．
解析：由题意得点P对应的复数为1＋i.由复数乘法的几何意义得
z＝(1＋i)(cos ＋isin )＝＋i.
答案：＋i
INCLUDEPICTURE "课堂巩固自测LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "课堂巩固自测LLL.TIF" \* MERGEFORMAT [学生用书P35]
1．(教材P48T3(2)改编)复数z＝1－i(i为虚数单位)的三角形式为( )
A．z＝(sin 45°－icos 45°)
B．z＝(cos 45°－isin 45°)
C．z＝[cos (－45°)－isin (－45°)]
D．z＝[cos (－45°)＋isin (－45°)]
解析：选D.依题意得r＝＝，复数z＝1－i在复平面内对应的点在第四象限，且cos θ＝，因此arg z＝315°，结合选项知D正确．故选D.
2．[(cos ＋isin )]×[(cos －isin )]＝( )
A．－i B．＋i
C．＋i D．－i
解析：选C.原式＝(cos ＋isin )×[cos (－)＋isin (－)]＝(cos ＋isin )＝＋i.
3．若|z|＝2，arg z＝，则复数z＝________．(用代数形式表示)
解析：因为|z|＝2，arg z＝，
所以z＝2(cos ＋isin )＝1＋i.
答案：1＋i
4．把复数z1与z2对应的向量，分别绕原点O按逆时针方向旋转和后，与向量重合且模相等，已知z2＝－1－i，求复数z1的代数形式和它的辐角的主值．
解：由复数乘法的几何意义得
z1(cos ＋isin )＝z2(cos ＋isin ).
又z2＝－1－i＝2(cos ＋isin )，
所以z1＝
＝2[cos (3π－)＋isin (3π－)]
＝2(cos ＋isin )＝－＋i，
因此复数z1的辐角的主值为.
eq \a\vs4\al( INCLUDEPICTURE "课堂小结.TIF" INCLUDEPICTURE "课堂小结.TIF" \* MERGEFORMAT )
1．已学习：复数三角形式、复数三角形式乘、除运算及其几何意义．
2．须贯通：复数的代数形式与三角形式的相互转化；运用复数乘、除法的几何意义时，关键要明确模与辐角的变化，抓住向量与复数间的对应关系．
3．应注意：(1)复数的三角形式的结构特征：模非负，角相同，余弦前，加号连；
(2)利用复数三角形式乘、除时，复数必须是三角形式的标准形式．
1.通过复数的几何意义，了解复数的三角形式，了解复数的代数形式与三角形式之间的关系． 2.了解复数乘、除运算的三角形式及其几何意义．
INCLUDEPICTURE "新知学习探究LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "新知学习探究LLL.TIF" \* MERGEFORMAT
INCLUDEPICTURE "新课导学1LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "新课导学1LLL.TIF" \* MERGEFORMAT
我们知道，复数可以用a＋bi(a，b∈R)的形式来表示，复数a＋bi与复平面内的点Z(a，b)一一对应，与平面向量＝(a，b)也是一一对应的．
思考 能否用向量的模r和以x轴的非负半轴为始边，以向量所在射线(射线OZ)为终边的角θ来表示复数z吗？
提示：可以由复数z的模和复平面内以x轴的非负半轴为始边、向量所在射线为终边的角来确定．
一般地，如果非零复数z＝a＋bi(a，b∈R)在复平面内对应点Z(a，b)，且r为向量的模，θ是以x轴非负半轴为始边、射线OZ为终边的一个角，则r＝|z|＝，根据任意角余弦、正弦的定义可知cos θ＝，sin θ＝，因此a＝r cos θ，b＝r sin θ，如图所示，从而z＝a＋bi＝________________称为非零复数z＝a＋bi的三角形式(对应地，a＋bi称为复数的代数形式)，其中的θ称为z的__________．
特别地，在[0，2π)内的辐角称为z的辐角________，记作________．
[答案自填] r(cos θ＋isin θ) 辐角 主值 arg z
角度1 复数的代数形式化为三角形式
INCLUDEPICTURE "例1LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "例1LLL.TIF" \* MERGEFORMAT (对接教材例1)把下列复数的代数形式化成三角形式．
(1)3－i；
(2)－i.
【解】 (1)r＝ ＝2.
因为与3－i对应的点在第四象限，
所以arg(3－i)＝，
所以3－i＝2(cos ＋isin ).
(2)r＝ ＝2.
因为与－i对应的点在第四象限，
所以arg(－i)＝，
所以－i＝2(cos ＋isin ).
eq \a\vs4\al( INCLUDEPICTURE "解题技法LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "解题技法LLL.TIF" \* MERGEFORMAT )
复数的代数形式转化为三角形式的步骤
(1)先求复数的模；
(2)判断辐角所在的象限；
(3)根据象限求出辐角；
(4)求出复数的三角形式．
角度2 复数的三角形式化成代数形式
INCLUDEPICTURE "例2LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "例2LLL.TIF" \* MERGEFORMAT 把下列复数的三角形式化成代数形式．
(1)4(cos ＋isin )；
(2)3(cos ＋isin ).
【解】 (1)4(cos ＋isin )＝4cos ＋(4 sin )i＝4×＋(4×)i＝2＋2i.
(2)3(cos ＋isin )＝3cos ＋(3sin )i＝3×(－)＋3×(－)i＝－－i.
eq \a\vs4\al( INCLUDEPICTURE "解题技法LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "解题技法LLL.TIF" \* MERGEFORMAT )
将复数的三角形式化为复数代数形式的方法是：复数三角形式z＝r(cos A＋isin A)，代数形式为z＝x＋yi，对应实部等于实部，虚部等于虚部，即x＝r cos A，y＝r sin A．
[跟踪训练1] (1)下列复数中是三角形式的是 ( )
A．2(cos －isin ) B．2(cos ＋isin )
C．2(sin －icos ) D.－2(sin －icos )
解析：选B.复数的三角形式是r(cos θ＋isin θ)，观察所给的四个复数，只有B中的复数是三角形式，注意式子中各个位置的符号．
(2)复数10(cos ＋isin )表示成代数形式为____________．
解析：10(cos ＋isin )＝10(－－i)＝－5－5i.
答案：－5－5i
1．乘法运算法则
设z1＝r1(cos θ1＋isin θ1)，z2＝r2(cos θ2＋isin θ2)，则z1z2＝____________________．
这就是说，两个复数相乘，积的模等于各复数的模的________，积的辐角等于各复数的辐角的________．
特别地，如果n∈N，则[r(cos θ＋isin θ)]n＝rn[cos (nθ)＋isin (nθ)].
2．除法运算法则
设z1＝r1(cos θ1＋isin θ1)，z2＝r2(cos θ2＋isin θ2)，且z2≠0，则＝______________．
这就是说，两个复数相除，商的模等于被除数的模除以除数的模所得的____________，商的辐角等于被除数的辐角减去除数的辐角所得的____________．
[答案自填] r1r2[cos (θ1＋θ2)＋isin(θ1＋θ2)] 积 和 [cos (θ1－θ2)＋isin (θ1－θ2)] 商 差
INCLUDEPICTURE "例3lll.TIF" INCLUDEPICTURE "例3lll.TIF" \* MERGEFORMAT 计算下列各式，并把结果化为代数形式：
(1)5(cos ＋isin )·2(cos ＋isin )；
(2).
【解】 (1)5(cos ＋isin )·2(cos ＋isin )＝10(cos ＋isin )＝10(＋i)
＝＋i.
(2)＝
＝4[cos (－)＋isin (－)]
＝4(－i)
＝2－2i.
eq \a\vs4\al( INCLUDEPICTURE "解题技法LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "解题技法LLL.TIF" \* MERGEFORMAT )
在进行复数三角形式的乘法、除法运算时，注意先将复数化为三角形式，再按法则进行运算，当不要求把计算结果化为代数形式时，也可以用三角形式表示．
[跟踪训练2] (1)若z＝cos 30°＋isin 30°，则arg z2＝( )
A．30° B．60°
C．90° D．120°
解析：选B.由z2＝(cos 30°＋isin 30°)2＝cos 60°＋isin 60°，所以arg z2＝60°.故选B.
(2)计算(cos 40°＋isin 40°)÷(cos 10°＋isin 10°)＝_____________.(用代数形式表示)
解析：＝cos (40°－10°)＋isin(40°－10°)＝cos 30°＋isin 30°＝＋i.
答案：＋i
三 复数三角形式乘、除法运算的几何意义
INCLUDEPICTURE "例4LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "例4LLL.TIF" \* MERGEFORMAT 已知复数z＝(m＋3)－(m＋1)i在复平面内对应的点在第一象限，i是虚数单位．
(1)求实数m的取值范围；
(2)当m＝－2时，求复数z的三角形式；
(3)若在复平面内，向量对应(2)中的复数z，把绕点O按顺时针方向旋转60°得到，求向量对应的复数z1(结果用代数形式表示).
【解】 (1)因为复数z＝(m＋3)－(m＋1)i在复平面内对应的点在第一象限，
所以解得－3
(2)当m＝－2时，z＝1＋i，
所以r＝＝，
cos θ＝sin θ＝＝，
所以θ＝45°，所以z＝(cos 45°＋isin 45°).
(3)方法一(代数运算)：根据题意得z＝1＋i在复平面内对应的向量＝(1，1)，将其顺时针旋转60°后得到向量，则对应的复数z1＝＝＝＋i.
方法二(三角运算)：根据题意得z＝1＋i在复平面内对应的向量＝(1，1)，将其顺时针旋转60°后得到向量，则z1＝＝[cos (45°－60°)＋isin (45°－60°)]＝(cos 15°－isin 15°).
又因为cos 15°＝，sin 15°＝，
所以z1＝(－i)＝＋i.
eq \a\vs4\al( INCLUDEPICTURE "解题技法LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "解题技法LLL.TIF" \* MERGEFORMAT )
两个复数z1＝r1(cos θ1＋isin θ1)，z2＝r2(cos θ2＋isin θ2)相乘时，如图，先分别画出与z1，z2对应的向量，，然后把向量绕点O按逆时针方向旋转角θ2(如果θ2<0，就要把绕点O按顺时针方向旋转角|θ2|)，再把它的模变为原来的r2倍，得到向量，表示的复数就是积z1z2，即z1z2＝r1r2[cos (θ1＋θ2)＋isin (θ1＋θ2)]，当z1，z2相除时，＝[cos (θ1－θ2)＋isin (θ1－θ2)].
[跟踪训练3] 已知＝(1，1)，将绕原点O按逆时针方向旋转得到，则点Z对应的复数为____________．
解析：由题意得点P对应的复数为1＋i.由复数乘法的几何意义得
z＝(1＋i)(cos ＋isin )＝＋i.
答案：＋i
INCLUDEPICTURE "课堂巩固自测LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "课堂巩固自测LLL.TIF" \* MERGEFORMAT [学生用书P35]
1．(教材P48T3(2)改编)复数z＝1－i(i为虚数单位)的三角形式为( )
A．z＝(sin 45°－icos 45°)
B．z＝(cos 45°－isin 45°)
C．z＝[cos (－45°)－isin (－45°)]
D．z＝[cos (－45°)＋isin (－45°)]
解析：选D.依题意得r＝＝，复数z＝1－i在复平面内对应的点在第四象限，且cos θ＝，因此arg z＝315°，结合选项知D正确．故选D.
2．[(cos ＋isin )]×[(cos －isin )]＝( )
A．－i B．＋i
C．＋i D．－i
解析：选C.原式＝(cos ＋isin )×[cos (－)＋isin (－)]＝(cos ＋isin )＝＋i.
3．若|z|＝2，arg z＝，则复数z＝________．(用代数形式表示)
解析：因为|z|＝2，arg z＝，
所以z＝2(cos ＋isin )＝1＋i.
答案：1＋i
4．把复数z1与z2对应的向量，分别绕原点O按逆时针方向旋转和后，与向量重合且模相等，已知z2＝－1－i，求复数z1的代数形式和它的辐角的主值．
解：由复数乘法的几何意义得
z1(cos ＋isin )＝z2(cos ＋isin ).
又z2＝－1－i＝2(cos ＋isin )，
所以z1＝
＝2[cos (3π－)＋isin (3π－)]
＝2(cos ＋isin )＝－＋i，
因此复数z1的辐角的主值为.
eq \a\vs4\al( INCLUDEPICTURE "课堂小结.TIF" INCLUDEPICTURE "课堂小结.TIF" \* MERGEFORMAT )
1．已学习：复数三角形式、复数三角形式乘、除运算及其几何意义．
2．须贯通：复数的代数形式与三角形式的相互转化；运用复数乘、除法的几何意义时，关键要明确模与辐角的变化，抓住向量与复数间的对应关系．
3．应注意：(1)复数的三角形式的结构特征：模非负，角相同，余弦前，加号连；
(2)利用复数三角形式乘、除时，复数必须是三角形式的标准形式．