章末复习提升（教师版）
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章末复习提升
INCLUDEPICTURE "知识体系构建LLL.TIF"
INCLUDEPICTURE "核心要点整合LLL.TIF" [学生用书P37]
要点一 复数的概念
1．复数的概念是掌握复数的基础，如虚数、纯虚数、复数相等、复数的模等．有关复数的题目不同于实数，应注意根据复数的相关概念解答．
2．掌握复数的相关概念，培养数学抽象素养．
训练1 已知i是虚数单位，若复数a＋(a∈R)是纯虚数，则a＝( )
A．4 B．3 C．2 D．1
解析：选C.因为a＋＝a＋＝a＋＝a－2－4i是纯虚数，所以a－2＝0，即a＝2.故选C.
训练2 已知i是虚数单位，复数z＝a＋i(a∈R)满足z2＋z＝1－3i，则|z|＝( )
A．或 B．2或5 C． D．5
解析：选C.因为z2＋z＝(a＋i)2＋a＋i＝a2－1＋a＋(2a＋1)i＝1－3i，
所以解得a＝－2. 所以z＝－2＋i，
故|z|＝ ＝.故选C.
训练3 若复数z＝1＋i(i为虚数单位)，是z的共轭复数，则z2＋2的虚部为( )
A．0 B．－1
C．1 D．－2
解析：选A.因为z＝1＋i，所以＝1－i，所以z2＋2＝(1＋i)2＋(1－i)2＝2i＋(－2i)＝0.故选A.
训练4 已知z1＝m2－3m＋m2i，z2＝4＋(5m＋6)i，其中m为实数，i为虚数单位，若z1－z2＝0，则m＝ ________．
解析：由z1－z2＝0，可得解得m＝－1.
答案：－1
要点二 复数的运算
1．进行复数代数运算的策略
(1)复数的运算的基本思路就是应用运算法则进行计算．
(2)复数的运算中含有虚数单位i的看作一类同类项，不含i的看作另一类同类项，分别合并即可，但要注意把i的幂写成最简单的形式．
2．通过复数的运算，可以提升数学运算和逻辑推理的数学素养．
训练5 (2024·辽阳期末)设(1＋2i)(a＋i)的实部与虚部相等，其中a为实数，则a＝( )
A．－3 B．－2 C．2 D．3
解析：选A.因为(1＋2i)(a＋i)＝(a－2)＋(2a＋1)i，所以a－2＝2a＋1，解得a＝－3.故选A.
训练6 已知a∈R，i是虚数单位．若z＝a＋i，z＝4，则a＝( )
A．1或－1 B．或－ C．－ D．
解析：选A.因为z＝a＋i，所以＝a－i，又因为z＝4，所以(a＋i)(a－i)＝4，所以a2＋3＝4，所以a2＝1，所以a＝±1.故选A.
训练7 设z＝＋2i，则|z|＝( )
A．0 B．
C．1 D．
解析：选C.因为z＝＋2i＝＋2i＝i，所以|z|＝1.故选C.
训练8 若＝ci(a，b，c∈R)，则当a2－2b取得最小值时，(a＋bi)10＝________．
解析：由题意得a＋bi＝ci(1－i)＝c＋ci，
所以a＝c，b＝c，a2－2b＝c2－2c＝(c－1)2－1，
当c＝1时，a2－2b取得最小值－1.
此时a＝b＝1，
所以(1＋i)10＝[(1＋i)2]5＝(2i)5＝25·i5＝32i.
答案：32i
要点三 复数的几何意义
1．由复数确定有序实数对，即z＝a＋bi(a，b∈R)确定有序实数对(a，b)，由有序实数对(a，b)确定复平面内的点Z(a，b)与向量＝(a，b).
2．复数的加减运算与复数的模有明确的几何意义，利用几何意义，借助几何直观解题，体现数形结合思想．
训练9 若m∈Z，且复数z＝(m－1)＋(m－3)i表示的点Z在第四象限，则|z|＝( )
A．1 B．
C． D．2
解析：选B.由题意得
所以1＜m＜3，
又m∈Z，所以m＝2，此时z＝1－i，
所以|z|＝＝.故选B.
训练10 (多选)已知非零复数z1，z2分别对应复平面内的向量，，且|z1＋z2|＝|z1－z2|，线段AB的中点M对应的复数为4＋3i，则( )
A．⊥
B．＝
C．|z1|2＋|z2|2＝10
D．|z1|2＋|z2|2＝100
解析：选AD.
如图，由向量的加法及减法法则可知，＝＋，＝－.
由复数加法及减法的几何意义可知，|z1＋z2|对应的模，|z1－z2|对应的模．
又|z1＋z2|＝|z1－z2|，所以四边形OACB是矩形，
则⊥.
又因为线段AB的中点M对应的复数为4＋3i，所以||＝2||＝10，所以|z1|2＋|z2|2＝||2＋||2＝||2＝100.
训练11 若复数z满足|z|≤，则z在复平面内所对应的图形的面积为________．
解析：满足|z|≤的点Z的集合是以原点O为圆心，以为半径的圆及其内部所有的点构成的集合，所以所求图形的面积为S＝2π.
答案：2π
训练12 若复数z满足|z＋3－i|＝，则|z|的最大值是____________，|z|的最小值是 __________．
解析：
|z＋3－i|＝表示以点P(－3，)为圆心，以为半径的圆，如图所示，
则|OP|＝＝＝2，
显然|z|max＝|OA|＝|OP|＋＝3，
|z|min＝|OB|＝|OP|－＝.
答案：3
要点四 复数的综合应用
1．复数具有代数形式，且复数z＝a＋bi(a，b∈R)与复平面内的点Z(a，b)之间建立了一一对应关系，复数又是数形结合的桥梁，要注意复数与向量、方程、函数等知识的交汇．
2．复数的综合应用培养学生的数学应用意识和变通能力，提升逻辑推理，数学建模等素养．
训练13 (2024·北京市东城区期中)若复数z满足2z＋＝3－2i，其中i为虚数单位，则z＝( )
A．1＋2i B．1－2i C．－1＋2i D．－1－2i
解析：选B.方法一：设z＝a＋bi(a，b∈R)，
则＝a－bi.
故2z＋＝2(a＋bi)＋a－bi＝3a＋bi＝3－2i，
所以解得
所以z＝1－2i.
方法二：设z＝a＋bi(a，b∈R)，
由复数的性质可得z＋z＝2a，
则2z＋＝(z＋)＋z＝3a＋bi＝3－2i，
所以解得
所以z＝1－2i.
训练14 设函数f(z)(z为复数)满足f(f(z))＝(z－z－)2.若f(1)＝0，则|f(i)－1|＝____________．
解析：因为f(f(i))＝(i－i－)2＝1，
所以f(f(f(i)))＝f(1)＝0.
又f(f(f(i)))＝(f(i)－f(i)－)2，
所以f(i)－f(i)－＝0，
即(f(i)－1)(－1)＝1，
即|f(i)－1|＝1.
答案：1
训练15 已知关于x的一元二次方程x2＋ax＋4＋3i＝0有实根，a为复数．求|a|的最小值．
解：设x0为方程的实根，则x＋ax0＋4＋3i＝0，显然x0＝0时方程不成立，所以x0≠0，则a＝－x0－－i |a|2＝(x0＋)2＋()2＝x＋ eq \f(25,x) ＋8≥18，当且仅当x＝ eq \f(25,x) ，即x0＝±时，等号成立，所以|a|min＝3.
INCLUDEPICTURE "知识体系构建LLL.TIF"
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要点一 复数的概念
1．复数的概念是掌握复数的基础，如虚数、纯虚数、复数相等、复数的模等．有关复数的题目不同于实数，应注意根据复数的相关概念解答．
2．掌握复数的相关概念，培养数学抽象素养．
训练1 已知i是虚数单位，若复数a＋(a∈R)是纯虚数，则a＝( )
A．4 B．3 C．2 D．1
解析：选C.因为a＋＝a＋＝a＋＝a－2－4i是纯虚数，所以a－2＝0，即a＝2.故选C.
训练2 已知i是虚数单位，复数z＝a＋i(a∈R)满足z2＋z＝1－3i，则|z|＝( )
A．或 B．2或5 C． D．5
解析：选C.因为z2＋z＝(a＋i)2＋a＋i＝a2－1＋a＋(2a＋1)i＝1－3i，
所以解得a＝－2. 所以z＝－2＋i，
故|z|＝ ＝.故选C.
训练3 若复数z＝1＋i(i为虚数单位)，是z的共轭复数，则z2＋2的虚部为( )
A．0 B．－1
C．1 D．－2
解析：选A.因为z＝1＋i，所以＝1－i，所以z2＋2＝(1＋i)2＋(1－i)2＝2i＋(－2i)＝0.故选A.
训练4 已知z1＝m2－3m＋m2i，z2＝4＋(5m＋6)i，其中m为实数，i为虚数单位，若z1－z2＝0，则m＝ ________．
解析：由z1－z2＝0，可得解得m＝－1.
答案：－1
要点二 复数的运算
1．进行复数代数运算的策略
(1)复数的运算的基本思路就是应用运算法则进行计算．
(2)复数的运算中含有虚数单位i的看作一类同类项，不含i的看作另一类同类项，分别合并即可，但要注意把i的幂写成最简单的形式．
2．通过复数的运算，可以提升数学运算和逻辑推理的数学素养．
训练5 (2024·辽阳期末)设(1＋2i)(a＋i)的实部与虚部相等，其中a为实数，则a＝( )
A．－3 B．－2 C．2 D．3
解析：选A.因为(1＋2i)(a＋i)＝(a－2)＋(2a＋1)i，所以a－2＝2a＋1，解得a＝－3.故选A.
训练6 已知a∈R，i是虚数单位．若z＝a＋i，z＝4，则a＝( )
A．1或－1 B．或－ C．－ D．
解析：选A.因为z＝a＋i，所以＝a－i，又因为z＝4，所以(a＋i)(a－i)＝4，所以a2＋3＝4，所以a2＝1，所以a＝±1.故选A.
训练7 设z＝＋2i，则|z|＝( )
A．0 B．
C．1 D．
解析：选C.因为z＝＋2i＝＋2i＝i，所以|z|＝1.故选C.
训练8 若＝ci(a，b，c∈R)，则当a2－2b取得最小值时，(a＋bi)10＝________．
解析：由题意得a＋bi＝ci(1－i)＝c＋ci，
所以a＝c，b＝c，a2－2b＝c2－2c＝(c－1)2－1，
当c＝1时，a2－2b取得最小值－1.
此时a＝b＝1，
所以(1＋i)10＝[(1＋i)2]5＝(2i)5＝25·i5＝32i.
答案：32i
要点三 复数的几何意义
1．由复数确定有序实数对，即z＝a＋bi(a，b∈R)确定有序实数对(a，b)，由有序实数对(a，b)确定复平面内的点Z(a，b)与向量＝(a，b).
2．复数的加减运算与复数的模有明确的几何意义，利用几何意义，借助几何直观解题，体现数形结合思想．
训练9 若m∈Z，且复数z＝(m－1)＋(m－3)i表示的点Z在第四象限，则|z|＝( )
A．1 B．
C． D．2
解析：选B.由题意得
所以1＜m＜3，
又m∈Z，所以m＝2，此时z＝1－i，
所以|z|＝＝.故选B.
训练10 (多选)已知非零复数z1，z2分别对应复平面内的向量，，且|z1＋z2|＝|z1－z2|，线段AB的中点M对应的复数为4＋3i，则( )
A．⊥
B．＝
C．|z1|2＋|z2|2＝10
D．|z1|2＋|z2|2＝100
解析：选AD.
如图，由向量的加法及减法法则可知，＝＋，＝－.
由复数加法及减法的几何意义可知，|z1＋z2|对应的模，|z1－z2|对应的模．
又|z1＋z2|＝|z1－z2|，所以四边形OACB是矩形，
则⊥.
又因为线段AB的中点M对应的复数为4＋3i，所以||＝2||＝10，所以|z1|2＋|z2|2＝||2＋||2＝||2＝100.
训练11 若复数z满足|z|≤，则z在复平面内所对应的图形的面积为________．
解析：满足|z|≤的点Z的集合是以原点O为圆心，以为半径的圆及其内部所有的点构成的集合，所以所求图形的面积为S＝2π.
答案：2π
训练12 若复数z满足|z＋3－i|＝，则|z|的最大值是____________，|z|的最小值是 __________．
解析：
|z＋3－i|＝表示以点P(－3，)为圆心，以为半径的圆，如图所示，
则|OP|＝＝＝2，
显然|z|max＝|OA|＝|OP|＋＝3，
|z|min＝|OB|＝|OP|－＝.
答案：3
要点四 复数的综合应用
1．复数具有代数形式，且复数z＝a＋bi(a，b∈R)与复平面内的点Z(a，b)之间建立了一一对应关系，复数又是数形结合的桥梁，要注意复数与向量、方程、函数等知识的交汇．
2．复数的综合应用培养学生的数学应用意识和变通能力，提升逻辑推理，数学建模等素养．
训练13 (2024·北京市东城区期中)若复数z满足2z＋＝3－2i，其中i为虚数单位，则z＝( )
A．1＋2i B．1－2i C．－1＋2i D．－1－2i
解析：选B.方法一：设z＝a＋bi(a，b∈R)，
则＝a－bi.
故2z＋＝2(a＋bi)＋a－bi＝3a＋bi＝3－2i，
所以解得
所以z＝1－2i.
方法二：设z＝a＋bi(a，b∈R)，
由复数的性质可得z＋z＝2a，
则2z＋＝(z＋)＋z＝3a＋bi＝3－2i，
所以解得
所以z＝1－2i.
训练14 设函数f(z)(z为复数)满足f(f(z))＝(z－z－)2.若f(1)＝0，则|f(i)－1|＝____________．
解析：因为f(f(i))＝(i－i－)2＝1，
所以f(f(f(i)))＝f(1)＝0.
又f(f(f(i)))＝(f(i)－f(i)－)2，
所以f(i)－f(i)－＝0，
即(f(i)－1)(－1)＝1，
即|f(i)－1|＝1.
答案：1
训练15 已知关于x的一元二次方程x2＋ax＋4＋3i＝0有实根，a为复数．求|a|的最小值．
解：设x0为方程的实根，则x＋ax0＋4＋3i＝0，显然x0＝0时方程不成立，所以x0≠0，则a＝－x0－－i |a|2＝(x0＋)2＋()2＝x＋ eq \f(25,x) ＋8≥18，当且仅当x＝ eq \f(25,x) ，即x0＝±时，等号成立，所以|a|min＝3.