章末综合检测(二)（教师版）

章末综合检测(二)
(时间：120分钟，满分：150分)
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1.的虚部为(　　)
A．－i　　　B．i C． D．－
解析：选C.＝＝＝＝－1＋i，故其虚部为.
2．已知复数(1＋xi)i＝2－yi，x，y∈R，则x－y＝(　　)
A．3 B．1 C．－1 D．－3
解析：选C.因为(1＋xi)i＝2－yi，所以－x＋i＝2－yi，所以所以x－y＝－1.
3．复数z＝1－i(i为虚数单位)，则在复平面内对应的点位于(　　)
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
解析：选A. ＝1＋i，它在复平面内对应的点为(1，1)，该点在第一象限．故选A.
4．已知a为正实数，i为虚数单位，||＝2，则a＝(　　)
A．2 B． C． D．1
解析：选B.因为＝＝1－ai，则||＝|1－ai|＝＝2，所以a2＝3.又a为正实数，所以a＝.
5．已知点A(2，－1)，B(1，2)，O(0，0)，复数z1，z2在复平面内对应的向量分别是，，O为坐标原点，则复数z1z2＝(　　)
A．3i B．3＋4i C．4＋3i D．4－3i
解析：选C.由题意可知，z1＝2－i，z2＝1＋2i，所以z1z2＝(2－i)(1＋2i)＝2＋4i－i＋2＝4＋3i.
6．在复平面内，O为坐标原点，复数z1＝i(－4＋3i)，z2＝7＋i对应的点分别为Z1，Z2，则∠Z1OZ2的大小为(　　)
A． B． C． D．
解析：选C.因为z1＝i(－4＋3i)＝－3－4i，z2＝7＋i，所以＝(－3，－4)，＝(7，1)，所以·＝－21－4＝－25，所以cos ∠Z1OZ2＝ eq \f(·,||||) ＝－＝－.又∠Z1OZ2∈[0，π]，所以∠Z1OZ2＝.
7．已知i是虚数单位，1＋i是关于x的方程x2－2x－m＝0(m∈R)的一个根，则m＝(　　)
A．4 B．－4 C．2 D．－2
解析：选D.因为1＋i是方程x2－2x－m＝0(m∈R)的一个根，所以1－i是方程的另一个根，所以－m＝(1＋i)(1－i)＝2，解得m＝－2.故选D.
8．已知复平面内复数z1对应向量＝(1，－)，复数z2满足|z2|＝2，z1是z1的共轭复数，则下列选项中错误的是(　　)
A．|z1|＝|| B．＝(1)2 C．＝4 D．|z1z2|＝4
解析：选C.依题意知，z1＝1－i，则|z1|＝|OZ1|＝2，故A正确；
又1＝1＋i，(1)2＝－2＋2i，z＝－2－2i，＝－2＋2i，即＝(1)2，故B正确；
设z2＝a＋bi(a，b∈R)，由|z2|＝2得，a2＋b2＝4，则＝＝＝，
＝
＝
＝
＝＝＝1，故C错误；
z1z2＝(1－i)(a＋bi)
＝(a＋b)＋(b－a)i，
|z1z2|＝|(a＋b)＋(b－a)i|
＝
＝
＝＝＝4，
故D正确．故选C.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．已知复数z1＝2－i，z2＝1＋ai(a∈R)，若z1z2是纯虚数，则(　　)
A．a＝2
B．|z1|＝|z2|
C．z的实部是－3
D．z1＋z2的实部与虚部互为相反数
解析：选BCD.z1z2＝(2－i)(1＋ai)＝(2＋a)＋(2a－1)i，因为z1z2是纯虚数，
所以解得a＝－2，故A错误；
z1＝2－i，z2＝1－2i，|z1|＝|z2|＝，故B正确；
z＝(1－2i)2＝－3－4i，故z的实部是－3，故C正确；
z1＋z2＝2－i＋1－2i＝3－3i，故z1＋z2的实部与虚部互为相反数，故D正确．故选BCD.
10．已知复数z1，z2是关于x的方程x2＋bx＋1＝0(－2A．1＝z2 B．∈R
C．|z1|＝|z2|＝1 D.若b＝1，则z＝z＝1
解析：选ACD.由题易知b2－4<0，所以方程的根为x＝，不妨设z1＝－＋i，z2＝－－i，易知1＝z2，A正确；
|z1|＝|z2|＝＝1，C正确；
因为z1z2＝1，所以＝ eq \f(z,z1z2) ＝z＝－i，当b≠0时， R，B错误；
当b＝1时，z1＝－＋i，z2＝－－i，计算得z＝－－i＝z2，所以z＝z1z2＝1，同理得z＝1，D正确．故选ACD.
11．设z1，z2为复数，则下列命题正确的是(　　)
A．若|z1－z2|＝0，则z1＝z2
B．若|z1|＝|z2|，则z＝z
C．若z1＋z2>0，则z2＝1
D．若z1z2＝0，则z1＝0或z2＝0
解析：选AD.对于A，设z1＝a＋bi，z2＝c＋di，a，b，c，d∈R，则|z1－z2|＝＝0，
所以即所以z1＝z2，A正确；
对于B，令z1＝1，z2＝i，则|z1|＝|z2|＝1，
此时z≠z，B错误；
对于C，令z1＝1＋i，z2＝－i，则z1＋z2＝1>0，此时z2≠z1，C错误；
对于D，设z1＝a＋bi，z2＝c＋di，a，b，c，d∈R，则z1z2＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i＝0，
所以即则a2cd＝－b2cd，
若c＝d＝0，则a2cd＝－b2cd成立，此时z2＝0；
若c＝0，d≠0，由ac＝bd知b＝0，由ad＝－bc 知a＝0，此时z1＝0；
同理可知，当c≠0，d＝0时，z1＝0；
若c≠0，d≠0，由a2cd＝－b2cd得a2＝－b2，所以a＝b＝0，此时z1＝0.
综上，若z1z2＝0，则z1＝0或z2＝0，D正确．故选AD.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．若z1＝1－i，z2＝3－5i，在复平面内，z1，z2对应的点分别为Z1，Z2，则Z1，Z2间的距离为__________．
解析：由z1＝1－i，z2＝3－5i知Z1(1，－1)，Z2(3，－5)，由两点间的距离公式得Z1Z2＝＝2.
答案：2
13．已知i为虚数单位，若复数z＝<1，则实数a的值为________．
解析：z＝＝＝
＝，
由z<1，所以复数z为实数，则a＋2＝0，a＝－2，此时z＝，满足z<1.
答案：－2
14．已知复数ω满足ω－4＝(3－2ω)i(i为虚数单位)，z＝＋|ω－2|.写出一个以z为根的实系数一元二次方程为______________．
解析：由题知ω(1＋2i)＝4＋3i，即ω＝＝2－i，故z＝＋|－i|＝3＋i.若实系数一元二次方程有虚根z＝3＋i，则必有共轭虚根＝3－i，因为z＋＝6，z＝10，所以所求的一个一元二次方程可以是x2－6x＋10＝0.
答案：x2－6x＋10＝0(答案不唯一)
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．(本小题满分13分)已知复数z1＝－2＋i，z1z2＝－5＋5i(i为虚数单位).
(1)求复数z2；
(2)若复数z3＝(3－z2)[(m2－2m－3)＋(m－1)i]在复平面内所对应的点在第四象限，求实数m的取值范围．
解：(1)因为z1z2＝－5＋5i，
所以z2＝＝＝3－i.
(2)z3＝(3－z2)[(m2－2m－3)＋(m－1)i]
＝i[(m2－2m－3)＋(m－1)i]
＝－(m－1)＋(m2－2m－3)i，
因为z3在复平面内所对应的点在第四象限，
所以解得－1故实数m的取值范围是(－1，1).
16．(本小题满分15分)已知复数z的实部为正数，|z|＝，z2的虚部为2.
(1)求复数z；
(2)若－z2在复平面内对应的向量为，求向量的模．
解：(1)设z＝a＋bi(a，b∈R)，则由|z|＝，
可得a2＋b2＝2.①
因为z2＝a2－b2＋2abi，所以2ab＝2.②
联立①②，解得a＝b＝1或a＝b＝－1.
又复数z的实部为正数，所以a>0，
所以a＝b＝1，于是z＝1＋i.
(2)由(1)可知z＝1＋i，则－z2＝－(1＋i)2＝1－3i，则＝(1，－3)，所以向量的模为＝.
17．(本小题满分15分)已知复数z1＝a＋i，z2＝1－i，a∈R.
(1)当a＝1时，求z12的值；
(2)若z1－z2是纯虚数，求a的值；
(3)若在复平面上对应的点在第二象限，求实数a的取值范围．
解：(1)当a＝1时，z12＝(1＋i)(1＋i)＝1＋2i＋i2＝2i.
(2)由题意z1－z2＝a－1＋2i为纯虚数，
则a－1＝0，所以a＝1.
(3)＝＝＝＝＋i，该复数在复平面上对应的点在第二象限，
则解得－1故实数a的取值范围是(－1，1).
18．(本小题满分17分)关于x的方程x2＋mx＋13＝0(m∈R)的两个根为x1，x2.
(1)若x1＝－3＋2i，求实数m的值；
(2)若|x1－x2|＝3，求实数m的值．
解：(1)由题意知，方程有一对共轭复数根，
所以x2＝－3－2i，
所以x1＋x2＝－3＋2i＋(－3－2i)＝－6＝－m，所以m＝6.
(2)①当Δ＝m2－4×1×13≥0，即m2≥52时，方程有两个实数根，
所以x1＋x2＝－m，x1x2＝13，
则|x1－x2|＝＝＝3，解得m＝±；
②当Δ＝m2－4×1×13<0，
即m2<52时，方程有两个虚数根，
即x＝，
不妨设x1＝，
x2＝，
则|x1－x2|＝
＝|i|＝3，
解得m＝±.
综上，实数m的值为±或±.
19．(本小题满分17分)设z是虚数，μ＝，ω＝z＋是实数，且－1<ω<2.
(1)求|z|的值及z的实部的取值范围；
(2)求证：μ为纯虚数；
(3)求ω－μ2的最小值．
解：因为z是虚数，
所以可设z＝x＋yi，x，y∈R，且y≠0，
(1)ω＝z＋＝x＋yi＋
＝x＋yi＋
＝x＋＋(y－)i，
可得 x2＋y2＝1 |z|＝1，此时，ω＝2x，又－1<ω<2，所以－即z的实部的取值范围为(－，1).
(2)证明：μ＝＝＝＝i，
因为y≠0，所以μ为纯虚数．
(3)ω－μ2＝2x－(－i)2，又－当且仅当x＋1＝，即x＝0时，ω－μ2取得最小值，最小值为1.