10．1.1 复数的概念（教师版）
文档属性
| 名称 | 10．1.1 复数的概念（教师版） |
|
|
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 412.0KB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教B版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2026-02-27 00:00:00 | ||
图片预览
文档简介
INCLUDEPICTURE "数学RJBBX4第十章LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "数学RJBBX4第十章LLL.TIF" \* MERGEFORMAT
10．1 复数及其几何意义
10．1.1 复数的概念
1.了解引进虚数单位i的必要性，了解数系的扩充过程． 2.理解在数系的扩充中由实数集扩展到复数集出现的一些基本概念． 3.掌握复数的表示方法，理解复数相等的充要条件．
INCLUDEPICTURE "新知学习探究LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "新知学习探究LLL.TIF" \* MERGEFORMAT
INCLUDEPICTURE "新课导学1LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "新课导学1LLL.TIF" \* MERGEFORMAT
数系的扩充过程，也可以从方程是否有解的角度来理解：
因为类似x＋4＝3的方程在自然数范围内无解，所以人们引入了负数并将自然数扩充成整数，使得类似x＋4＝3的方程在整数范围内有解；
因为类似2x＝5的方程在整数范围内无解，所以人们引入了分数并将整数扩充成有理数，使得类似2x＝5的方程在有理数范围内有解；
因为类似x2＝7的方程在有理数范围内无解，所以人们引入了无理数并将有理数扩充成实数，使得类似x2＝7的方程在实数范围内有解．
思考 我们已经知道，类似x2＝－1的方程在实数范围内无解．那么，能否像前面一样，引入一种新的数，使得这个方程有解并将实数进行扩充呢？
提示：能．引入虚数单位i，使i2＝－1，则方程x2＝－1的解为x＝±i.
1．定义：一般地，当a与b都是实数时，称a＋bi为复数．其中称i为________，满足i2＝________．
2．表示方法：复数一般用小写字母z表示，即________________，其中________称为z的实部，________称为z的虚部，分别记作Re(z)＝a，Im(z)＝b.
3．复数集：所有复数组成的集合称为复数集，复数集通常用大写字母C表示，因此C＝{z|z＝a＋bi，a，b∈R}．
[答案自填] 虚数单位 －1 z＝a＋bi(a，b∈R) a b
【即时练】
1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)复数z＝1－i的实部是1，虚部是－i.( )
(2)方程x2＋1＝0的解为x＝±i.( )
答案：(1)× (2)√
2．复数z＝1－2i的虚部是( )
A．2 B．－2 C．2i D．－2i
解析：选B.虚部不带i，z＝1－2i的虚部是－2.
3．若复数z＝(2a－1)＋(3＋a)i(a∈R)的实部与虚部相等，则a＝________．
解析：由题意知2a－1＝3＋a，解得a＝4.
答案：4
eq \a\vs4\al( INCLUDEPICTURE "解题技法LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "解题技法LLL.TIF" \* MERGEFORMAT )
在复数a＋bi(a，b∈R)中，实数a和b分别叫做复数的实部和虚部，特别注意，b连同它的符号叫做复数的虚部．
1．复数z＝a＋bi(a，b∈R)可以分类如下：
2．复数集、实数集、虚数集、纯虚数集之间的关系
[答案自填] 实数 虚数 a＝0 a≠0
INCLUDEPICTURE "例1LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "例1LLL.TIF" \* MERGEFORMAT (对接教材例1)当实数m取何值时，复数z＝＋(m2－2m－15)i是下列数？
(1)虚数；(2)纯虚数．
【解】 (1)当即m≠5且m≠－3时，复数z是虚数．
(2)当即m＝3或m＝－2时，复数z是纯虚数．
【变式探究】
(设问变式)本例条件不变，则当z＞0时，m的值为( )
A．1 B．5 C．－2 D．3
解析：选B.因为z＞0，所以z为实数，需满足解得m＝5.
eq \a\vs4\al( INCLUDEPICTURE "解题技法LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "解题技法LLL.TIF" \* MERGEFORMAT )
利用复数的分类求参数的方法及注意事项
(1)利用复数的分类求参数时，首先应将复数化为标准的代数形式z＝a＋bi(a，b∈R)，得到实部与虚部，再求解．
(2)要注意确定使实部、虚部的式子有意义的条件，再结合实部与虚部的取值求解．
[跟踪训练1] (1)已知i是虚数单位，复数z＝(x2－4)＋(x＋2)i是纯虚数，则实数x的值为( )
A．2 B．－2 C．±2 D．4
解析：选A.由z＝(x2－4)＋(x＋2)i是纯虚数，得解得x＝2.故选A.
(2)(2024·北京市东城区期中)复数z＝(a＋1)＋(a2－3)i，若z＜0，则实数a的值是( )
A． B．－ C．－1 D．1
解析：选B.能比较大小的两个数一定都是实数，故a2－3＝0，解得a＝±，又z＜0，即a＋1＜0，所以a＜－1，故a＝－.
两个复数z1与z2，如果实部与虚部都对应相等，我们就说这两个复数相等，记作z1＝z2.
这就是说，如果a，b，c，d都是实数，那么a＋bi＝c＋di ____________．
特别地，当a，b都是实数时，a＋bi＝0的充要条件是____________．
[答案自填] a＝c且b＝d a＝0且b＝0
INCLUDEPICTURE "例2LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "例2LLL.TIF" \* MERGEFORMAT (1)若xi－2i2＝y＋2yi，x，y∈R，则复数x＋yi＝( )
A．－2＋i B．4＋2i
C．1－2i D．1＋2i
(2)(2024·丹东月考)若a，b∈R，i是虚数单位，且b＋(a－2)i＝1＋i，则a＋b的值为( )
A．1 B．2 C．3 D．4
【解析】 (1)由i2＝－1，得xi－2i2＝2＋xi，
则2＋xi＝y＋2yi，
根据复数相等的充要条件得
解得故x＋yi＝4＋2i.
(2)因为b＋(a－2)i＝1＋i，
所以
所以a＝3，b＝1.所以a＋b＝4.
【答案】 (1)B (2)D
eq \a\vs4\al( INCLUDEPICTURE "解题技法LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "解题技法LLL.TIF" \* MERGEFORMAT )
复数相等问题的解题技巧
(1)必须是复数的代数形式才可以根据实部与实部相等，虚部与虚部相等列方程组求解；
(2)根据复数相等的条件，将复数问题转化为实数问题，为应用方程思想提供了条件，同时这也是复数问题实数化思想的体现．
[跟踪训练2] (1)(多选)下列说法正确的是( )
A.如果两个复数的实部的差和虚部的差都等于0，那么这两个复数相等
B．ai是纯虚数(a∈R)
C．如果复数x＋yi(x，y∈R)是实数，那么x＝0，y＝0
D．复数a＋bi(a，b∈R)可能是实数
解析：选AD.若两个复数的实部的差和虚部的差都等于0，则它们的实部、虚部分别相等，即这两个复数相等，故A正确；
当a＝0时，ai＝0是实数，故B错误；
要使复数x＋yi(x，y∈R)是实数，只需y＝0，所以C错误；当b＝0时，复数a＋bi是实数，故D正确．
(2)已知x－2y＋3＋(x＋y)i＝0，x，y∈R，则x＝________，y＝________．
解析：因为x－2y＋3＋(x＋y)i＝0，
所以所以
答案：－1 1
eq \o(\s\up7( INCLUDEPICTURE "课堂巩固自测LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "课堂巩固自测LLL.TIF" \* MERGEFORMAT ),\s\do5( [学生用书P23]))
1．设i是虚数单位，若复数z＝3＋2a＋(2－3a)i的实部与虚部互为相反数，则实数a＝( )
A．5 B．－5 C．3 D．－3
解析：选A.因为复数z＝3＋2a＋(2－3a)i的实部与虚部互为相反数，所以3＋2a＝－(2－3a)，解得a＝5.
2．(教材P28练习AT4改编)若实数x，y满足x＋y＋(x－y)i＝2，则xy的值是( )
A．－2 B．2 C．1 D．－3
解析：选C.依题意得得x＝y＝1，则xy＝1.
3．若4－3a－a2i＝a2＋4ai，则实数a＝____________．
解析：由题意得解得a＝－4.
答案：－4
4．(教材P28练习BT2改编)当实数m取什么值时，复数z＝(m2＋m－6)＋(m2－m－2)i(m∈R)是下列数？
(1)实数；(2)虚数；(3)纯虚数．
解：(1)若z是实数，则m2－m－2＝0，
解得m＝2或m＝－1.
(2)若z是虚数，则m2－m－2≠0，
解得m≠2且m≠－1.
(3)若z是纯虚数，则解得m＝－3.
eq \a\vs4\al( INCLUDEPICTURE "课堂小结.TIF" INCLUDEPICTURE "课堂小结.TIF" \* MERGEFORMAT )
1．已学习：数系的扩充、复数的概念及分类、复数相等的充要条件．
2．须贯通：两个复数一般不能比较大小，如有大小关系，则它们一定是实数；两个复数相等的充要条件是实部与虚部分别相等；复数问题实数化是求解复数的基本方法，体现了转化与化归的数学思想．
3．应注意：(1)复数代数形式z＝a＋bi(a，b∈R)是否规范；
(2)复数z＝a＋bi(a，b∈R)是纯虚数的充要条件是b≠0且a＝0.
10．1 复数及其几何意义
10．1.1 复数的概念
1.了解引进虚数单位i的必要性，了解数系的扩充过程． 2.理解在数系的扩充中由实数集扩展到复数集出现的一些基本概念． 3.掌握复数的表示方法，理解复数相等的充要条件．
INCLUDEPICTURE "新知学习探究LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "新知学习探究LLL.TIF" \* MERGEFORMAT
INCLUDEPICTURE "新课导学1LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "新课导学1LLL.TIF" \* MERGEFORMAT
数系的扩充过程，也可以从方程是否有解的角度来理解：
因为类似x＋4＝3的方程在自然数范围内无解，所以人们引入了负数并将自然数扩充成整数，使得类似x＋4＝3的方程在整数范围内有解；
因为类似2x＝5的方程在整数范围内无解，所以人们引入了分数并将整数扩充成有理数，使得类似2x＝5的方程在有理数范围内有解；
因为类似x2＝7的方程在有理数范围内无解，所以人们引入了无理数并将有理数扩充成实数，使得类似x2＝7的方程在实数范围内有解．
思考 我们已经知道，类似x2＝－1的方程在实数范围内无解．那么，能否像前面一样，引入一种新的数，使得这个方程有解并将实数进行扩充呢？
提示：能．引入虚数单位i，使i2＝－1，则方程x2＝－1的解为x＝±i.
1．定义：一般地，当a与b都是实数时，称a＋bi为复数．其中称i为________，满足i2＝________．
2．表示方法：复数一般用小写字母z表示，即________________，其中________称为z的实部，________称为z的虚部，分别记作Re(z)＝a，Im(z)＝b.
3．复数集：所有复数组成的集合称为复数集，复数集通常用大写字母C表示，因此C＝{z|z＝a＋bi，a，b∈R}．
[答案自填] 虚数单位 －1 z＝a＋bi(a，b∈R) a b
【即时练】
1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)复数z＝1－i的实部是1，虚部是－i.( )
(2)方程x2＋1＝0的解为x＝±i.( )
答案：(1)× (2)√
2．复数z＝1－2i的虚部是( )
A．2 B．－2 C．2i D．－2i
解析：选B.虚部不带i，z＝1－2i的虚部是－2.
3．若复数z＝(2a－1)＋(3＋a)i(a∈R)的实部与虚部相等，则a＝________．
解析：由题意知2a－1＝3＋a，解得a＝4.
答案：4
eq \a\vs4\al( INCLUDEPICTURE "解题技法LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "解题技法LLL.TIF" \* MERGEFORMAT )
在复数a＋bi(a，b∈R)中，实数a和b分别叫做复数的实部和虚部，特别注意，b连同它的符号叫做复数的虚部．
1．复数z＝a＋bi(a，b∈R)可以分类如下：
2．复数集、实数集、虚数集、纯虚数集之间的关系
[答案自填] 实数 虚数 a＝0 a≠0
INCLUDEPICTURE "例1LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "例1LLL.TIF" \* MERGEFORMAT (对接教材例1)当实数m取何值时，复数z＝＋(m2－2m－15)i是下列数？
(1)虚数；(2)纯虚数．
【解】 (1)当即m≠5且m≠－3时，复数z是虚数．
(2)当即m＝3或m＝－2时，复数z是纯虚数．
【变式探究】
(设问变式)本例条件不变，则当z＞0时，m的值为( )
A．1 B．5 C．－2 D．3
解析：选B.因为z＞0，所以z为实数，需满足解得m＝5.
eq \a\vs4\al( INCLUDEPICTURE "解题技法LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "解题技法LLL.TIF" \* MERGEFORMAT )
利用复数的分类求参数的方法及注意事项
(1)利用复数的分类求参数时，首先应将复数化为标准的代数形式z＝a＋bi(a，b∈R)，得到实部与虚部，再求解．
(2)要注意确定使实部、虚部的式子有意义的条件，再结合实部与虚部的取值求解．
[跟踪训练1] (1)已知i是虚数单位，复数z＝(x2－4)＋(x＋2)i是纯虚数，则实数x的值为( )
A．2 B．－2 C．±2 D．4
解析：选A.由z＝(x2－4)＋(x＋2)i是纯虚数，得解得x＝2.故选A.
(2)(2024·北京市东城区期中)复数z＝(a＋1)＋(a2－3)i，若z＜0，则实数a的值是( )
A． B．－ C．－1 D．1
解析：选B.能比较大小的两个数一定都是实数，故a2－3＝0，解得a＝±，又z＜0，即a＋1＜0，所以a＜－1，故a＝－.
两个复数z1与z2，如果实部与虚部都对应相等，我们就说这两个复数相等，记作z1＝z2.
这就是说，如果a，b，c，d都是实数，那么a＋bi＝c＋di ____________．
特别地，当a，b都是实数时，a＋bi＝0的充要条件是____________．
[答案自填] a＝c且b＝d a＝0且b＝0
INCLUDEPICTURE "例2LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "例2LLL.TIF" \* MERGEFORMAT (1)若xi－2i2＝y＋2yi，x，y∈R，则复数x＋yi＝( )
A．－2＋i B．4＋2i
C．1－2i D．1＋2i
(2)(2024·丹东月考)若a，b∈R，i是虚数单位，且b＋(a－2)i＝1＋i，则a＋b的值为( )
A．1 B．2 C．3 D．4
【解析】 (1)由i2＝－1，得xi－2i2＝2＋xi，
则2＋xi＝y＋2yi，
根据复数相等的充要条件得
解得故x＋yi＝4＋2i.
(2)因为b＋(a－2)i＝1＋i，
所以
所以a＝3，b＝1.所以a＋b＝4.
【答案】 (1)B (2)D
eq \a\vs4\al( INCLUDEPICTURE "解题技法LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "解题技法LLL.TIF" \* MERGEFORMAT )
复数相等问题的解题技巧
(1)必须是复数的代数形式才可以根据实部与实部相等，虚部与虚部相等列方程组求解；
(2)根据复数相等的条件，将复数问题转化为实数问题，为应用方程思想提供了条件，同时这也是复数问题实数化思想的体现．
[跟踪训练2] (1)(多选)下列说法正确的是( )
A.如果两个复数的实部的差和虚部的差都等于0，那么这两个复数相等
B．ai是纯虚数(a∈R)
C．如果复数x＋yi(x，y∈R)是实数，那么x＝0，y＝0
D．复数a＋bi(a，b∈R)可能是实数
解析：选AD.若两个复数的实部的差和虚部的差都等于0，则它们的实部、虚部分别相等，即这两个复数相等，故A正确；
当a＝0时，ai＝0是实数，故B错误；
要使复数x＋yi(x，y∈R)是实数，只需y＝0，所以C错误；当b＝0时，复数a＋bi是实数，故D正确．
(2)已知x－2y＋3＋(x＋y)i＝0，x，y∈R，则x＝________，y＝________．
解析：因为x－2y＋3＋(x＋y)i＝0，
所以所以
答案：－1 1
eq \o(\s\up7( INCLUDEPICTURE "课堂巩固自测LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "课堂巩固自测LLL.TIF" \* MERGEFORMAT ),\s\do5( [学生用书P23]))
1．设i是虚数单位，若复数z＝3＋2a＋(2－3a)i的实部与虚部互为相反数，则实数a＝( )
A．5 B．－5 C．3 D．－3
解析：选A.因为复数z＝3＋2a＋(2－3a)i的实部与虚部互为相反数，所以3＋2a＝－(2－3a)，解得a＝5.
2．(教材P28练习AT4改编)若实数x，y满足x＋y＋(x－y)i＝2，则xy的值是( )
A．－2 B．2 C．1 D．－3
解析：选C.依题意得得x＝y＝1，则xy＝1.
3．若4－3a－a2i＝a2＋4ai，则实数a＝____________．
解析：由题意得解得a＝－4.
答案：－4
4．(教材P28练习BT2改编)当实数m取什么值时，复数z＝(m2＋m－6)＋(m2－m－2)i(m∈R)是下列数？
(1)实数；(2)虚数；(3)纯虚数．
解：(1)若z是实数，则m2－m－2＝0，
解得m＝2或m＝－1.
(2)若z是虚数，则m2－m－2≠0，
解得m≠2且m≠－1.
(3)若z是纯虚数，则解得m＝－3.
eq \a\vs4\al( INCLUDEPICTURE "课堂小结.TIF" INCLUDEPICTURE "课堂小结.TIF" \* MERGEFORMAT )
1．已学习：数系的扩充、复数的概念及分类、复数相等的充要条件．
2．须贯通：两个复数一般不能比较大小，如有大小关系，则它们一定是实数；两个复数相等的充要条件是实部与虚部分别相等；复数问题实数化是求解复数的基本方法，体现了转化与化归的数学思想．
3．应注意：(1)复数代数形式z＝a＋bi(a，b∈R)是否规范；
(2)复数z＝a＋bi(a，b∈R)是纯虚数的充要条件是b≠0且a＝0.