10．1.1　课后达标检测（教师版）

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1．已知i为虚数单位，那么下列n的取值中，能使in＝1成立的是(　　)
A．3 B．4
C．5 D．6
解析：选B.由i2＝－1，得i4＝i2×i2＝1.
2．下列各数－2－i，i，i2，0，(1－)i中，虚数共有(　　)
A．5个 B．4个
C．3个 D．2个
解析：选C.复数z＝a＋bi(a，b∈R)，当b≠0时为虚数，故有3个虚数．
3．以－3＋i的虚部为实部，以3i＋i2的实部为虚部的复数是(　　)
A．1－i B．1＋i
C．－3＋3i D．3＋3i
解析：选A.因为－3＋i的虚部是1，3i＋i2＝－1＋3i，其实部为－1，所以所求复数是1－i.
4．已知a，b∈R，且a－1＋ai＝3＋2bi，则b＝(　　)
A．1 B．
C．2 D．4
解析：选C.由于a－1＋ai＝3＋2bi，所以解得 故选C.
5．(多选)(2024·威海月考)下列命题正确的是　(　　)
A．(a2＋1)i(a∈R)是纯虚数
B．－i2＝1
C．1＋4i＞3i
D．若z∈C，则z2≥0
解析：选AB.对于A，因为a2＋1≥1，所以(a2＋1)i(a∈R)是纯虚数，故正确；对于B，i2＝－1，所以－i2＝1，故正确；对于C，虚数不能比较大小，故错误；对于D，当z＝i时，z2＝i2＝－1＜0，故错误．故选AB.
6．(多选)下列命题为真命题的是(　　)
A．复数集是实数集与纯虚数集的并集
B．x＝i是方程x2＋2＝0的解
C．已知复数z1，z2，若z1＞z2，则z1－z2＞0
D．i是－1的一个平方根
解析：选BCD.复数集是实数集和虚数集的并集，A为假命题；当x＝i时，x2＋2＝0，B为真命题；两个复数z1，z2满足z1＞z2，说明z1，z2都是实数，显然有z1－z2＞0，C为真命题；根据虚数单位i的定义，D为真命题．故选BCD.
7．若复数z＝(m2－16)＋(m2－3m－4)i为实数零，则实数m的值为__________．
解析：由题意得解得m＝4.
答案：4
8．若复数z＝m＋(m2－1)i(m∈R)满足z＜0，则m＝__________．
解析：由复数z＝m＋(m2－1)i＜0，
得解得m＝－1.
答案：－1
9．若复数z＝sin 2α－(1－cos 2α)i是纯虚数，则α＝__________．
解析：由题意知sin 2α＝0，1－cos 2α≠0，
所以2α＝2kπ＋π(k∈Z)，所以α＝kπ＋(k∈Z).
答案：kπ＋(k∈Z)
10．已知复数z＝a2－a－2＋(a2－3a－4)i(其中i为虚数单位，a∈R).
(1)若复数z为纯虚数，求a的值；
(2)若复数z>0，求a的值．
解：(1)由于z为纯虚数，
所以解得a＝2.
(2)由于z与0可以比较大小，所以z为实数，且z>0，所以解得a＝4.
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11．若复数a2－a－2＋(|a－1|－1)i(a∈R)不是纯虚数，则(　　)
A．a＝－1 B．a≠－1且a≠2
C．a≠－1 D．a≠2
解析：选C.根据题意，则有a2－a－2≠0或|a－1|－1＝0，解得a≠－1.
12．(2024·抚顺月考)已知复数z＝a2＋(2a＋3)i(a∈R)的实部大于虚部，则实数a的取值范围是(　　)
A．(－1，3)
B．(－∞，－1)∪(3，＋∞)
C．(－3，1)
D．(－∞，－3)∪(1，＋∞)
解析：选B.由已知可得a2＞2a＋3，
即a2－2a－3＞0，
解得a＞3或a＜－1，因此，实数a的取值范围是(－∞，－1)∪(3，＋∞).
13．已知z1＝m－3＋(m2＋m－2)i，z2＝2m－4＋(m2＋m－2)i，且z1>z2，则实数m＝__________．
解析：由题意知z1，z2均为实数，则m2＋m－2＝0，即m＝1或m＝－2.又z1>z2，则m－3>2m－4，则m<1，故m＝－2.
答案：－2
14．已知集合M＝{(a＋3)＋(b2－1)i，8}，集合N＝{3i，(a2－1)＋(b＋2)i}满足M∩N≠ ，求整数a，b.
解：依题意得(a＋3)＋(b2－1)i＝3i，①
或8＝(a2－1)＋(b＋2)i，②
或(a＋3)＋(b2－1)i＝(a2－1)＋(b＋2)i.③
由①得a＝－3，b＝±2，
由②得a＝±3，b＝－2.
③中，a，b无整数解不符合题意．
综上所述得a＝－3，b＝2或a＝3，b＝－2或a＝－3，b＝－2.
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15．已知复数z1＝m＋(1－m2)i(m∈R)，z2＝cos θ＋(λ＋sin θ)i(λ，θ∈R)，若z1＝z2，则λ的取值范围为________．
解析：因为z1＝z2，
所以消去m，得1－cos2θ＝λ＋sinθ，即λ＝sin2θ－sinθ＝(sin θ－)2－.又－1≤sin θ≤1，所以当sin θ＝时，λ取得最小值－，当sin θ＝－1时，λ取得最大值2，即－≤λ≤2.
答案：
16．(1)设x，y，a∈R，z1＝(x2－ax)＋5i，z2＝(x－4)－(ay2＋4y－1)i，若对所有x，y，都有z1≠z2，求实数a的取值范围；
(2)若关于x的方程3x2－x－1＝(10－x－2x2)i有实根，求实数a的值．
解：(1)若存在x，y，使得z1＝z2，则
即
故解得a≤－5，
故若对所有x，y，都有z1≠z2，则实数a的取值范围为(－5，＋∞).
(2)设方程的实根为x＝m，则原方程可变为
3m2－m－1＝(10－m－2m2)i，
所以解得
或所以a＝11或a＝－.