10．1.2　复数的几何意义（教师版）

10．1.2　复数的几何意义
1.理解复数表示的几何意义．　2.掌握用向量的模来表示复数的模的方法．　3.理解共轭复数的概念．
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我们知道，实数与数轴上的点一一对应，也就是说，数轴可以看成实数的一个几何模型．
思考　怎样建立一个几何模型，使复数与这个几何模型有一一对应关系？
提示：可以利用坐标平面内的点和复数的对应关系，复数z＝a＋bi(a，b∈R)和点(a，b)一一对应．
1．建立了直角坐标系来表示复数的平面也称为________．在复平面内，x轴上的点对应的都是实数，因此x轴称为________；y轴上的点除了原点外，对应的都是纯虚数，为了方便起见，称y轴为________．
2．复数集C和复平面内所有的点组成的集合是一一对应的，即复数z＝a＋bi对应复平面内的点Z(a，b).如图：
3．复数的几何意义
[答案自填] 复平面　实轴　虚轴
INCLUDEPICTURE "例1LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "例1LLL.TIF" \* MERGEFORMAT 　(1)已知复数z1＝2－ai(a∈R，i为虚数单位)对应的点在直线y＝x＋上，则复数z2＝a＋2i对应的点在(　　)
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
(2)已知在复平面内，O是原点，向量，对应的复数分别为2－3i，－3＋2i，那么向量对应的复数是(　　)
A．－5＋5i B．5－5i
C．5＋5i D．－5－5i
【解析】　(1)复数z1＝2－ai(a∈R)对应的点的坐标为(2，－a)，该点在直线y＝x＋上，故－a＝＋，解得a＝－2，所以复数z2＝－2＋2i，它对应的点的坐标为(－2，2)，在第二象限．
(2)向量，对应的复数分别记作z1＝2－3i，z2＝－3＋2i，根据复数与复平面内的点一一对应，可得向量＝(2，－3)，＝(－3，2).由向量减法的坐标运算可得向量＝－＝(5，－5)，根据复数与复平面内的点一一对应，可得向量对应的复数是5－5i.
【答案】　(1)B　(2)B
eq \a\vs4\al( INCLUDEPICTURE "解题技法LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "解题技法LLL.TIF" \* MERGEFORMAT )
复数与复平面内的点、平面向量的对应关系
(1)复数z＝a＋bi(a，b∈R)对应复平面内的点Z(a，b)、复平面内的向量；
(2)解决复数与平面向量一一对应的问题时，一般以复数与复平面内的点一一对应为依据，实现复数、复平面内的点、向量之间的转化．
[跟踪训练1] (1)在复平面内，复数6＋5i，－2＋3i对应的点分别为A，B.若C为线段AB的中点，则点C对应的复数是(　　)
A．4＋8i B．8＋2i
C．2＋4i D．4＋i
解析：选C.由题意知A(6，5)，B(－2，3)，则AB的中点C(2，4)对应的复数为2＋4i.
(2)(2024·沈阳月考)在正方形OMNP中，若对应的复数为1＋2i，则对应的复数为____________．
解析：因为对应的复数为1＋2i，
所以＝(1，2)，在正方形OMNP中，
＝－＝(－1，－2)，
则对应的复数为－1－2i.
答案：－1－2i
1．共轭复数
(1)定义：一般地，如果两个复数的实部________，而虚部__________，则称这两个复数互为共轭复数．复数z的共轭复数用 ________表示，因此，当z＝a＋bi(a，b∈R)时，有＝a－bi.
(2)在复平面内，表示两个共轭复数的点关于________对称；反之，如果表示两个复数的点在复平面内关于实轴对称，则这两个复数互为共轭复数．
2．复数的模
(1)定义：一般地，向量＝(a，b)的长度称为复数z＝a＋bi的模(或绝对值).
(2)表示：复数z＝a＋bi的模用________表示．
(3)公式：|z|＝|a＋bi|＝.
当b＝0时，|z|＝＝________．
[答案自填] 相等　互为相反数　　实轴
|z|　|a|
INCLUDEPICTURE "例2LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "例2LLL.TIF" \* MERGEFORMAT 　(1)在复平面内，复数z对应的点在第四象限，对应向量的模为3，且实部为，则复数z＝(　　)
A．＋3i B．－3i
C．＋2i D．－2i
(2)若复数z1＝3＋ai，z2＝b＋4i(a，b∈R)，且z1与z2互为共轭复数，则z＝a＋bi的模为__________．
【解析】　(1)设z＝＋bi(b＜0)，则|z|2＝()2＋b2＝32，解得b＝－2(正值已舍去)，所以z＝－2i.
(2)因为z1＝3＋ai，z2＝b＋4i互为共轭复数，所以所以z＝－4＋3i，所以|z|＝＝5.
【答案】　(1)D　(2)5
eq \a\vs4\al( INCLUDEPICTURE "解题技法LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "解题技法LLL.TIF" \* MERGEFORMAT )
复数的模、共轭复数计算技巧
(1)计算复数的模、共轭复数，要去确定复数的实部和虚部．
(2)两个共轭复数的模相等；利用定义可将复数模的问题转化为实数问题求解．
[跟踪训练2] (1)已知复数z＝8＋6i，则||＝(　　)
A．4 B．6 C．8 D．10
解析：选D.由z＝8＋6i，得＝8－6i，
所以||＝＝10.
(2)已知0＜a＜2，复数z的实部为a，虚部为1，则|z|的取值范围是______________．
解析：依题意，可知z＝a＋i，
则|z|2＝a2＋1.因为0＜a＜2，所以a2＋1∈(1，5)，
即|z|∈(1，).
答案：(1，)
INCLUDEPICTURE "例3lll.TIF" INCLUDEPICTURE "例3lll.TIF" \* MERGEFORMAT 　(对接教材例1，例2)已知复数z1＝－＋i，z2＝－－i.
(1)求|1|与|2|的值，并比较它们的大小；
(2)设复平面内，复数z满足|2|≤|z|≤|1|，复数z对应的点Z的集合是什么图形？
【解】　(1)|z1|＝＝2.
|z2|＝＝1.
所以|1|＝|z1|＝2，|2|＝|z2|＝1，|1|>|2|.
(2)由(1)知1≤|z|≤2，此不等式可化为
因为不等式|z|≥1的解集是圆|z|＝1上和该圆的外部所有的点组成的集合，不等式|z|≤2的解集是圆|z|＝2上和该圆的内部所有的点组成的集合，所以满足条件1≤|z|≤2的点Z的集合是以原点O圆心，以1和2为半径的两圆所夹的圆环，且包括圆环的边界．
eq \a\vs4\al( INCLUDEPICTURE "解题技法LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "解题技法LLL.TIF" \* MERGEFORMAT )
解决复数的模的几何意义的问题，应把握两个关键点：一是|z|表示点Z到原点的距离，可依据|z|满足的条件判断点Z的集合表示的图形；二是利用复数的模的概念，把模的问题转化为几何问题来解决．
[跟踪训练3] 设复数z＝(x＋1)＋(x－3)i，x∈R，则|z|的最小值为(　　)
A．1 B．2 C．2 D．4
解析：选C.因为z＝(x＋1)＋(x－3)i，x∈R，
所以|z|＝＝
＝≥ ＝2(当且仅当x＝1时取等号)，所以|z|的最小值为2.
INCLUDEPICTURE "课堂巩固自测LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "课堂巩固自测LLL.TIF" \* MERGEFORMAT [学生用书P26]
1．(教材P31练习AT1(2)改编)设z＝－3＋2i，则在复平面内对应的点位于(　　)
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
解析：选C.依题意得＝－3－2i，故在复平面内对应的点(－3，－2)位于第三象限．
2．(教材P31练习AT3改编)已知复数z满足z＝1－i，则|z|＝(　　)
A．－1 B．1
C． D．2
解析：选C.|z|＝＝.
3．已知z＝m－1＋(m＋2)i在复平面内对应的点在第二象限，则实数m的取值范围是(　　)
A．(－1，2) B．(－2，1)
C．(1，＋∞) D．(－∞，－2)
解析：选B.因为z＝m－1＋(m＋2)i在复平面内对应的点在第二象限，所以m－1＜0，m＋2＞0，解得－2＜m＜1，故实数m的取值范围是(－2，1).
4．若复数z＝a＋2i(i为虚数单位，a∈R)，满足|z|＝3，则a的值为____________．
解析：由|z|＝3得|z|＝＝3，
解得a＝±.
答案：±
5．在复平面内，O是原点，向量对应的复数是3＋i，点A关于虚轴的对称点为B，则向量对应的复数是________．
解析：向量对应的复数是3＋i，即A(3，1)，则点A关于虚轴的对称点为B(－3，1)，
则向量对应的复数是－3＋i.
答案：－3＋i
eq \a\vs4\al( INCLUDEPICTURE "课堂小结.TIF" INCLUDEPICTURE "课堂小结.TIF" \* MERGEFORMAT )
1．已学习：复数的几何意义、复数的模、共轭复数．
2．须贯通：复数z＝a＋bi(a，b∈R)与点Z(a，b)、向量一一对应，研究三者的关系应用了数形结合的思想方法；复数的模及共轭复数都是把复数问题实数化，体现了转化与化归的思想方法．
3．应注意：平面坐标系中的x，y轴与复平面内的实轴、虚轴的区别．