10．2.1 复数的加法与减法（教师版）
文档属性
| 名称 | 10．2.1 复数的加法与减法（教师版） |
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| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 268.8KB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教B版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2026-02-27 00:00:00 | ||
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文档简介
10．2 复数的运算
10．2.1 复数的加法与减法
1.通过实例，结合实数的加、减运算法则理解复数的加、减运算法则． 2.结合向量的加、减运算明确复数代数形式的加、减运算的几何意义．
INCLUDEPICTURE "新课导学1LLL.TIF"
任意两个实数可以相加，实数中的加法运算满足交换律和结合律．复数集是从实数扩充而来的，复数Z和复平面内的向量一一对应，向量也有加减法．
思考1 怎么定义复数的加减法？
提示：若z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R).
则z1＋z2＝(a＋c)＋(b＋d)i，z1－z2＝(a－c)＋(b－d)i.
思考2 复数加法满足交换律和结合律吗？
提示：满足．
1．复数的加、减运算法则
一般地，设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，称z1＋z2为z1与z2的和，并规定z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝______________，z1－z2＝(a＋bi)－(c＋di)＝_______________________________.
2．复数加法的运算律
对任意z1，z2，z3∈C，有
(1)交换律：z1＋z2＝__________；
(2)结合律：(z1＋z2)＋z3＝____________．
[答案自填] (a＋c)＋(b＋d)i (a－c)＋(b－d)i z2＋z1 z1＋(z2＋z3)
INCLUDEPICTURE "例1LLL.TIF" (1)(对接教材例1)计算：
(1＋3i)＋(－2＋i)＋(2－3i)＝________．
(2)已知z1＝(3x－4y)＋(y－2x)i，z2＝(－2x＋y)＋(x－3y)i，x，y为实数，若z1－z2＝5－3i，则|z1＋z2|＝________．
【解析】 (1)原式＝(1－2＋2)＋(3＋1－3)i＝1＋i.
(2)因为z1－z2＝[(3x－4y)＋(y－2x)i]－[(－2x＋y)＋(x－3y)i]＝[(3x－4y)－(－2x＋y)]＋[(y－2x)－(x－3y)]i＝(5x－5y)＋(－3x＋4y)i＝5－3i，
所以解得
所以z1＝3－2i，z2＝－2＋i，则z1＋z2＝1－i，
所以|z1＋z2|＝＝.
【答案】 (1)1＋i (2)
eq \a\vs4\al()
(1)复数的加、减运算类似于多项式的合并同类项．
①复数的实部与实部相加减，虚部与虚部相加减．
②把i看作一个字母，类比多项式加减中的合并同类项．
(2)对应复数的加法(或减法)可以推广到多个复数相加(或相减)的混合运算，运算的结果仍然是一个复数．
[跟踪训练1] (1)计算＋(2－i)－＝________．
解析：原式＝＋i＝1＋i.
答案：1＋i
(2)已知复数z满足z＋1－3i＝5－2i，则z＝________．
解析：方法一：设z＝x＋yi(x，y∈R)，因为z＋1－3i＝5－2i，所以x＋yi＋1－3i＝5－2i，
即解得
所以z＝4＋i.
方法二：因为z＋1－3i＝5－2i，
所以z＝(5－2i)－(1－3i)＝4＋i.
答案：4＋i
z1，z2∈C，设，分别与复数z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)相对应．
运算名称 加法 减法
几何意义 复数的和z1＋z2与向量＋＝对应 复数的差z1－z2与向量－＝对应
推论 ||z1|－|z2||≤|z1＋z2|≤|z1|＋|z2| ||z1|－|z2||≤|z1－z2|≤|z1|＋|z2|
INCLUDEPICTURE "例2LLL.TIF" 如图所示，在平行四边形OABC中，顶点O，A，C分别表示0，3＋2i，－2＋4i.求：
(1)所对应的复数，所对应的复数；
(2)对角线所对应的复数；
(3)对角线所对应的复数及的长度．
【解】 (1)因为0－(3＋2i)＝－3－2i，所以所对应的复数为－3－2i.因为＝，所以所对应的复数为－3－2i.
(2)因为＝－，所以所对应的复数为(3＋2i)－(－2＋4i)＝5－2i.
(3)因为对角线＝＋，
所以所对应的复数为(3＋2i)＋(－2＋4i)＝1＋6i，所以||＝＝.
【变式探究】
1．(设问变式)若本例条件不变，试求点B所对应的复数．
解：因为＝＋，所以所对应的复数为(3＋2i)＋(－2＋4i)＝1＋6i.所以点B所对应的复数为1＋6i.
2．(设问变式)若本例条件不变，求对角线AC，BO的交点M对应的复数．
解：由题意知，点M为OB的中点，
则＝.由上题知点B的坐标为(1，6)，得点M的坐标为，所以点M对应的复数为＋3i.
eq \a\vs4\al()
用复数加、减运算的几何意义解题的技巧
(1)形转化为数：利用几何意义可以把几何图形的变换转化成复数运算去处理．
(2)数转化为形：复数的加减运算可以借助图形，利用平行四边形法则、三角形法则进行运算；利用复数对应向量的关系得到复数间的关系．
[跟踪训练2] (1)已知复数z1＝1＋3i，z2＝3＋i(i为虚数单位)，在复平面内，z1－z2对应的点在( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
解析：选B.因为z1＝1＋3i，z2＝3＋i，
所以z1－z2＝1＋3i－(3＋i)＝(1－3)＋(3－1)i＝－2＋2i，
故z1－z2在复平面内对应的点(－2，2)在第二象限．
(2)(2024·日照月考)已知四边形ABCD是复平面内的平行四边形，点A，B，C对应的复数分别为i，1，4＋2i，则|BD|＝( )
A．5 B．
C． D．
解析：选B.由题意得A(0，1)，B(1，0)，C(4，2)，则＝(－1，1)，＝(3，2)，所以＝＋＝(2，3)，所以|BD|＝||＝＝.
INCLUDEPICTURE "例3lll.TIF" 已知复数z满足|z＋2－2i|＝2，且复数z在复平面内的对应点为M.
(1)确定点M的集合构成图形的形状；
(2)求|z－1＋2i|的最大值和最小值．
【解】 (1)
设复数－2＋2i在复平面内的对应点为P(－2，2)，
则|z＋2－2i|＝|z－(－2＋2i)|＝|MP|＝2，故点M的集合是以点P为圆心，2为半径的圆，如图所示．
(2)设复数1－2i在复平面内的对应点为Q(1，－2)，
则|z－1＋2i|＝|MQ|，如图所示，
|PQ|＝＝5，
则|z－1＋2i|的最大值，即|MQ|的最大值是|PQ|＋2＝7；|z－1＋2i|的最小值，即|MQ|的最小值是|PQ|－2＝3.
【变式探究】
(设问变式)若本例条件不变，则|z|min＝__________，|z|max＝__________．
解析：因为|z＋2－2i|＝2，
所以||z|－|2－2i||≤|z＋2－2i|≤|z|＋|2－2i|，
即
解得2－2≤|z|≤2＋2.
所以|z|min＝2－2，|z|max＝2＋2.
答案：2－2 2＋2
eq \a\vs4\al()
(1)|z－z0|表示复数z，z0的对应点之间的距离，在应用时，要把绝对值号内变为两复数差的形式．
(2)|z－z0|＝r表示以z0对应的点为圆心，r为半径的圆.
(3)涉及复数模的最值问题以及点的轨迹问题，均可从两点间距离公式的复数表达形式入手进行分析判断，然后通过几何方法进行求解．
(4)利用不等式||z1|－|z2||≤|z1±z2|≤|z1|＋|z2|，求复数模的最值．
[跟踪训练3] (1)已知复数z满足|z＋i|＝|z－i|，则|z＋1＋2i|的最小值为( )
A．1 B．2
C． D．
解析：选B.设复数z在复平面内对应的点为Z，因为复数z满足|z＋i|＝|z－i|，所以由复数的几何意义可知，点Z到点(0，－1)和(0，1)的距离相等，所以在复平面内点Z的轨迹为实轴，又|z＋1＋2i|表示点Z到点(－1，－2)的距离，所以问题转化为实轴上的动点Z到定点(－1，－2)距离的最小值，所以|z＋1＋2i|的最小值为2.故选B.
(2)已知|z|＝1，且z∈C，则|z－2－2i|(i为虚数单位)的最小值为__________．
解析：因为|z|＝1且z∈C，所以|z－2－2i|的几何意义为以原点为圆心的单位圆上的点与点(2，2)之间的距离，易知|z－2－2i|的最小值为2－1.
答案：2－1
INCLUDEPICTURE "课堂巩固自测LLL.TIF" [学生用书P29]
1．若z－3＋5i＝8－2i，则z＝( )
A．8－7i B．5－3i
C．11－7i D．8＋7i
解析：选C.z＝(8－2i)－(－3＋5i)＝11－7i.故选C.
2．设复数z1＝2－i，z2＝－3＋5i，则z1＋z2在复平面内对应的点位于( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
解析：选B.因为z1＋z2＝(2－i)＋(－3＋5i)＝－1＋4i，所以z1＋z2在复平面内对应的点的坐标为(－1，4)，位于第二象限．
3．(多选)已知m，n∈R，复数z1＝m＋3i，z2＝z1＋4－2i，且z2为纯虚数，复数z1的共轭复数为1，则( )
A．m＝－4
B．|z2|＝2
C．1＝－4－3i
D．复数1的虚部为－3i
解析：选AC.由题可知z2＝m＋3i＋4－2i＝(4＋m)＋i，对于A，因为z2为纯虚数，所以m＝－4，故A正确；对于B，|z2|＝1，故B错误；对于C，1＝－4－3i，故C正确；对于D，复数1的虚部为－3，故D错误．故选AC.
4．(教材P36练习BT4改编)如图，在复平面内，复数z1，z2对应的向量分别是，，则复数z1－z2＝________．
解析：方法一：z1－z2对应的向量为－，由题图知－＝(－2，－2)，所以z1－z2＝－2－2i.
方法二：由题意，知z1＝－2－i，z2＝i，所以z1－z2＝－2－2i.
答案：－2－2i
5．复数z1＝2＋2i与z2＝3－5i在复平面内对应的点之间的距离为__________．
解析：由题意可知，z1，z2在复平面内对应的点之间的距离为|z1－z2|＝|－1＋7i|＝5.
答案：5
eq \a\vs4\al()
1．已学习：复数的加、减运算法则及其几何意义．
2．须贯通：设复数z＝x＋yi(x，y∈R)，利用复数相等或模的概念，把条件转化为x，y满足的关系式，这是“复数问题实数化”思想的应用；d＝|z1－z2|表示复平面上两复数对应点间的距离，利用其直观性可求相关问题的最值．
3．应注意：(1)复数的差对应向量的方向；
(2)两个复数差的模的几何意义．
10．2.1 复数的加法与减法
1.通过实例，结合实数的加、减运算法则理解复数的加、减运算法则． 2.结合向量的加、减运算明确复数代数形式的加、减运算的几何意义．
INCLUDEPICTURE "新课导学1LLL.TIF"
任意两个实数可以相加，实数中的加法运算满足交换律和结合律．复数集是从实数扩充而来的，复数Z和复平面内的向量一一对应，向量也有加减法．
思考1 怎么定义复数的加减法？
提示：若z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R).
则z1＋z2＝(a＋c)＋(b＋d)i，z1－z2＝(a－c)＋(b－d)i.
思考2 复数加法满足交换律和结合律吗？
提示：满足．
1．复数的加、减运算法则
一般地，设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，称z1＋z2为z1与z2的和，并规定z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝______________，z1－z2＝(a＋bi)－(c＋di)＝_______________________________.
2．复数加法的运算律
对任意z1，z2，z3∈C，有
(1)交换律：z1＋z2＝__________；
(2)结合律：(z1＋z2)＋z3＝____________．
[答案自填] (a＋c)＋(b＋d)i (a－c)＋(b－d)i z2＋z1 z1＋(z2＋z3)
INCLUDEPICTURE "例1LLL.TIF" (1)(对接教材例1)计算：
(1＋3i)＋(－2＋i)＋(2－3i)＝________．
(2)已知z1＝(3x－4y)＋(y－2x)i，z2＝(－2x＋y)＋(x－3y)i，x，y为实数，若z1－z2＝5－3i，则|z1＋z2|＝________．
【解析】 (1)原式＝(1－2＋2)＋(3＋1－3)i＝1＋i.
(2)因为z1－z2＝[(3x－4y)＋(y－2x)i]－[(－2x＋y)＋(x－3y)i]＝[(3x－4y)－(－2x＋y)]＋[(y－2x)－(x－3y)]i＝(5x－5y)＋(－3x＋4y)i＝5－3i，
所以解得
所以z1＝3－2i，z2＝－2＋i，则z1＋z2＝1－i，
所以|z1＋z2|＝＝.
【答案】 (1)1＋i (2)
eq \a\vs4\al()
(1)复数的加、减运算类似于多项式的合并同类项．
①复数的实部与实部相加减，虚部与虚部相加减．
②把i看作一个字母，类比多项式加减中的合并同类项．
(2)对应复数的加法(或减法)可以推广到多个复数相加(或相减)的混合运算，运算的结果仍然是一个复数．
[跟踪训练1] (1)计算＋(2－i)－＝________．
解析：原式＝＋i＝1＋i.
答案：1＋i
(2)已知复数z满足z＋1－3i＝5－2i，则z＝________．
解析：方法一：设z＝x＋yi(x，y∈R)，因为z＋1－3i＝5－2i，所以x＋yi＋1－3i＝5－2i，
即解得
所以z＝4＋i.
方法二：因为z＋1－3i＝5－2i，
所以z＝(5－2i)－(1－3i)＝4＋i.
答案：4＋i
z1，z2∈C，设，分别与复数z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)相对应．
运算名称 加法 减法
几何意义 复数的和z1＋z2与向量＋＝对应 复数的差z1－z2与向量－＝对应
推论 ||z1|－|z2||≤|z1＋z2|≤|z1|＋|z2| ||z1|－|z2||≤|z1－z2|≤|z1|＋|z2|
INCLUDEPICTURE "例2LLL.TIF" 如图所示，在平行四边形OABC中，顶点O，A，C分别表示0，3＋2i，－2＋4i.求：
(1)所对应的复数，所对应的复数；
(2)对角线所对应的复数；
(3)对角线所对应的复数及的长度．
【解】 (1)因为0－(3＋2i)＝－3－2i，所以所对应的复数为－3－2i.因为＝，所以所对应的复数为－3－2i.
(2)因为＝－，所以所对应的复数为(3＋2i)－(－2＋4i)＝5－2i.
(3)因为对角线＝＋，
所以所对应的复数为(3＋2i)＋(－2＋4i)＝1＋6i，所以||＝＝.
【变式探究】
1．(设问变式)若本例条件不变，试求点B所对应的复数．
解：因为＝＋，所以所对应的复数为(3＋2i)＋(－2＋4i)＝1＋6i.所以点B所对应的复数为1＋6i.
2．(设问变式)若本例条件不变，求对角线AC，BO的交点M对应的复数．
解：由题意知，点M为OB的中点，
则＝.由上题知点B的坐标为(1，6)，得点M的坐标为，所以点M对应的复数为＋3i.
eq \a\vs4\al()
用复数加、减运算的几何意义解题的技巧
(1)形转化为数：利用几何意义可以把几何图形的变换转化成复数运算去处理．
(2)数转化为形：复数的加减运算可以借助图形，利用平行四边形法则、三角形法则进行运算；利用复数对应向量的关系得到复数间的关系．
[跟踪训练2] (1)已知复数z1＝1＋3i，z2＝3＋i(i为虚数单位)，在复平面内，z1－z2对应的点在( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
解析：选B.因为z1＝1＋3i，z2＝3＋i，
所以z1－z2＝1＋3i－(3＋i)＝(1－3)＋(3－1)i＝－2＋2i，
故z1－z2在复平面内对应的点(－2，2)在第二象限．
(2)(2024·日照月考)已知四边形ABCD是复平面内的平行四边形，点A，B，C对应的复数分别为i，1，4＋2i，则|BD|＝( )
A．5 B．
C． D．
解析：选B.由题意得A(0，1)，B(1，0)，C(4，2)，则＝(－1，1)，＝(3，2)，所以＝＋＝(2，3)，所以|BD|＝||＝＝.
INCLUDEPICTURE "例3lll.TIF" 已知复数z满足|z＋2－2i|＝2，且复数z在复平面内的对应点为M.
(1)确定点M的集合构成图形的形状；
(2)求|z－1＋2i|的最大值和最小值．
【解】 (1)
设复数－2＋2i在复平面内的对应点为P(－2，2)，
则|z＋2－2i|＝|z－(－2＋2i)|＝|MP|＝2，故点M的集合是以点P为圆心，2为半径的圆，如图所示．
(2)设复数1－2i在复平面内的对应点为Q(1，－2)，
则|z－1＋2i|＝|MQ|，如图所示，
|PQ|＝＝5，
则|z－1＋2i|的最大值，即|MQ|的最大值是|PQ|＋2＝7；|z－1＋2i|的最小值，即|MQ|的最小值是|PQ|－2＝3.
【变式探究】
(设问变式)若本例条件不变，则|z|min＝__________，|z|max＝__________．
解析：因为|z＋2－2i|＝2，
所以||z|－|2－2i||≤|z＋2－2i|≤|z|＋|2－2i|，
即
解得2－2≤|z|≤2＋2.
所以|z|min＝2－2，|z|max＝2＋2.
答案：2－2 2＋2
eq \a\vs4\al()
(1)|z－z0|表示复数z，z0的对应点之间的距离，在应用时，要把绝对值号内变为两复数差的形式．
(2)|z－z0|＝r表示以z0对应的点为圆心，r为半径的圆.
(3)涉及复数模的最值问题以及点的轨迹问题，均可从两点间距离公式的复数表达形式入手进行分析判断，然后通过几何方法进行求解．
(4)利用不等式||z1|－|z2||≤|z1±z2|≤|z1|＋|z2|，求复数模的最值．
[跟踪训练3] (1)已知复数z满足|z＋i|＝|z－i|，则|z＋1＋2i|的最小值为( )
A．1 B．2
C． D．
解析：选B.设复数z在复平面内对应的点为Z，因为复数z满足|z＋i|＝|z－i|，所以由复数的几何意义可知，点Z到点(0，－1)和(0，1)的距离相等，所以在复平面内点Z的轨迹为实轴，又|z＋1＋2i|表示点Z到点(－1，－2)的距离，所以问题转化为实轴上的动点Z到定点(－1，－2)距离的最小值，所以|z＋1＋2i|的最小值为2.故选B.
(2)已知|z|＝1，且z∈C，则|z－2－2i|(i为虚数单位)的最小值为__________．
解析：因为|z|＝1且z∈C，所以|z－2－2i|的几何意义为以原点为圆心的单位圆上的点与点(2，2)之间的距离，易知|z－2－2i|的最小值为2－1.
答案：2－1
INCLUDEPICTURE "课堂巩固自测LLL.TIF" [学生用书P29]
1．若z－3＋5i＝8－2i，则z＝( )
A．8－7i B．5－3i
C．11－7i D．8＋7i
解析：选C.z＝(8－2i)－(－3＋5i)＝11－7i.故选C.
2．设复数z1＝2－i，z2＝－3＋5i，则z1＋z2在复平面内对应的点位于( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
解析：选B.因为z1＋z2＝(2－i)＋(－3＋5i)＝－1＋4i，所以z1＋z2在复平面内对应的点的坐标为(－1，4)，位于第二象限．
3．(多选)已知m，n∈R，复数z1＝m＋3i，z2＝z1＋4－2i，且z2为纯虚数，复数z1的共轭复数为1，则( )
A．m＝－4
B．|z2|＝2
C．1＝－4－3i
D．复数1的虚部为－3i
解析：选AC.由题可知z2＝m＋3i＋4－2i＝(4＋m)＋i，对于A，因为z2为纯虚数，所以m＝－4，故A正确；对于B，|z2|＝1，故B错误；对于C，1＝－4－3i，故C正确；对于D，复数1的虚部为－3，故D错误．故选AC.
4．(教材P36练习BT4改编)如图，在复平面内，复数z1，z2对应的向量分别是，，则复数z1－z2＝________．
解析：方法一：z1－z2对应的向量为－，由题图知－＝(－2，－2)，所以z1－z2＝－2－2i.
方法二：由题意，知z1＝－2－i，z2＝i，所以z1－z2＝－2－2i.
答案：－2－2i
5．复数z1＝2＋2i与z2＝3－5i在复平面内对应的点之间的距离为__________．
解析：由题意可知，z1，z2在复平面内对应的点之间的距离为|z1－z2|＝|－1＋7i|＝5.
答案：5
eq \a\vs4\al()
1．已学习：复数的加、减运算法则及其几何意义．
2．须贯通：设复数z＝x＋yi(x，y∈R)，利用复数相等或模的概念，把条件转化为x，y满足的关系式，这是“复数问题实数化”思想的应用；d＝|z1－z2|表示复平面上两复数对应点间的距离，利用其直观性可求相关问题的最值．
3．应注意：(1)复数的差对应向量的方向；
(2)两个复数差的模的几何意义．