10．2.1　课后达标检测（教师版）

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1．计算：(5－6i)＋(－2－i)－(3＋4i)＝(　　)
A．3　　　　 B．4
C．－11i D．－i
解析：选C.原式＝(5－2－3)＋(－6－1－4)i＝－11i.故选C.
2．i为虚数单位，若1＋z＝2＋3i，则复数z的虚部为(　　)
A．1 B．3
C．i D．3i
解析：选B.因为1＋z＝2＋3i，所以z＝2－1＋3i＝1＋3i，故复数z的虚部为3.故选B.
3．已知复数z1＝m2－3m＋m2i，z2＝4＋(5m＋6)i，m为实数．若z1－z2＝0，则m的值为(　　)
A．4 B．－1
C．6 D．0
解析：选B.z1－z2＝(m2－3m－4)＋[m2－(5m＋6)]i＝0，则解得m＝－1.故选B.
4．在复平面内，O为原点，四边形OABC是复平面内的平行四边形，且A，B，C三点对应的复数分别为z1，z2，z3，若z1＝1，z3＝－2＋i，则z2＝(　　)
A．1＋i B．1－i
C．－1＋i D．－1－i
解析：选C.由题意及复数加法的几何意义可得z2＝z1＋z3＝1－2＋i＝－1＋i.故选C.
5．在平行四边形ABCD中，若点A，C对应的复数分别为－1＋i和－4－3i，则该平行四边形的对角线AC的长度为(　　)
A． B．5
C．2 D．10
解析：选B.依题意得对应的复数为(－4－3i)－(－1＋i)＝－3－4i，因此AC的长度为|－3－4i|＝＝5.故选B.
6．(多选)(2024·北京市西城区期末)若z－＝－14i，||＝5，则z可能为(　　)
A．1－7i B．1＋7i
C．－1－7i D．－1＋7i
解析：选AC.设z＝a＋bi(a，b∈R)，则＝a－bi，由题意可得
eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(z－＝2bi＝－14i，,||＝\r(a2＋（－b）2)＝5\r(2)，))
解得或
所以z＝1－7i或z＝－1－7i.故选AC.
7．－i－(－1＋5i)＋(－2－3i)－(i－1)＝__________．
解析：原式＝－i＋1－5i－2－3i－i＋1＝－10i.
答案：－10i
8．在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，若向量，对应的复数分别是3＋i，－1＋3i，则对应的复数为________________________________________________________________________．
解析：依题意有＝＝－，
而(3＋i)－(－1＋3i)＝4－2i，
故对应的复数为4－2i.
答案：4－2i
9．若复数z＝a＋bi(a，b∈R，i为虚数单位)满足|z－2i|＝|z|，写出一个满足条件的复数：z＝__________．
解析：z＝a＋bi，故z－2i＝a＋(b－2)i.由|z－2i|＝|z|知，＝，化简得b＝1，故只要b＝1，即z＝a＋i(a可为任意实数)均满足题意，可取z＝1＋i.
答案：1＋i(答案不唯一)
10．已知四边形OACB是复平面内的平行四边形，O是原点，点A，B分别对应复数3＋i，2＋4i，M是OC，AB的交点，如图所示，求点C，M对应的复数，及点C，M间的距离|CM|.
解：因为，分别对应复数3＋i，2＋4i，
所以＝＋对应的复数为(3＋i)＋(2＋4i)＝5＋5i，即点C对应的复数为5＋5i.
又＝，所以对应的复数为＋i，
即点M对应的复数为＋i.
所以|CM|＝＝.
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11．(2024·东营月考)设z为复数，若|z＋2i|＝1，则|z|的最小值为(　　)
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：选A.设z＝a＋bi，a，b∈R，
由|z＋2i|＝1，得 ＝1，
所以a2＝1－(b＋2)2＝－b2－4b－3，
由a2＝1－(b＋2)2≥0，解得－3≤b≤－1，
则|z|＝＝＝，
所以当b＝－1时，|z|min＝1.
12．(多选)已知复数z1＝－1＋2i，z2满足|z2－i|＝1，且在复平面内z1所对应的点为A，z2所对应的点为B，则下列结论正确的是(　　)
A．z1的虚部为2i
B．点A在第二象限
C．点B的轨迹是圆
D．点A与点B距离的最大值为
解析：选BC.z1＝－1＋2i的虚部为2，故A错误；点A的坐标为(－1，2)，所以点A在第二象限，故B正确；由|z2－i|＝1，可知点B的轨迹是以M(0，1)为圆心，1为半径的圆，故C正确；|AB|max＝|AM|＋1＝＋1＝＋1，故D错误．故选BC.
13．已知复数z1＝(a2－2)－3ai，z2＝a＋(a2＋2)i，若z1＋z2是纯虚数，则实数a的值为________．
解析：由题意可得z1＋z2＝(a2＋a－2)＋(a2－3a＋2)i，因为z1＋z2是纯虚数，
则
解得a＝－2.
答案：－2
14．已知复数z满足|z＋＋i|≤1，求：
(1)|z|的最大值和最小值；
(2)|z－1|2＋|z＋1|2的最大值和最小值．
解：(1)设在复平面内复数z对应的点为Z，则满足|z＋＋i|≤1的点Z的集合是圆心为M(－，－1)，半径为1的圆内区域(包括边界)，|z|表示点Z到原点O的距离．
如图所示，对应的复数的模为|z|的最大值，对应的复数的模为|z|的最小值．
因为||＝＝2，
所以|z|max＝2＋1＝3，
|z|min＝2－1＝1.
即|z|的最大值为3，最小值为1.
(2)设z＝a＋bi(a，b∈R)，则|z|2＝a2＋b2，
|z－1|2＋|z＋1|2＝|a－1＋bi|2＋|a＋1＋bi|2＝(a－1)2＋b2＋(a＋1)2＋b2＝2(a2＋b2)＋2＝2|z|2＋2.
由(1)知1≤|z|≤3，
所以|z－1|2＋|z＋1|2的最大值为2×32＋2＝20，最小值为2×12＋2＝4.
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15．著名的费马问题是法国数学家皮埃尔·德·费马于1643年提出的平面几何极值问题：“已知一个三角形，求作一点，使其与这个三角形的三个顶点的距离之和最小．”费马问题中所求的点称为费马点．已知对于每个给定的三角形，都存在唯一的费马点，当△ABC的三个内角均小于120°时，使得∠APB＝∠BPC＝∠CPA＝120°的点P即费马点．根据以上材料，若z∈C，则|z－2|＋|z＋2|＋|z＋2i|的最小值为(　　)
A．2－2 B．2＋2
C．－1 D．＋1
解析：选B.设z＝x＋yi(x，y∈R)，则|z－2|＋|z＋2|＋|z＋2i|表示点(x，y)到△ABC三个顶点A(2，0)，B(－2，0)，C(0，－2)的距离之和．依题意结合对称性可知△ABC的费马点P位于虚轴的负半轴上，且∠APB＝120°，则∠PAO＝∠PBO＝30°，此时|PA|＋|PB|＋|PC|＝×2＋(2－2tan 30°)＝2＋2.故选B.
16．已知复数z＝a＋bi(a，b∈R)，存在实数t，使＝－3ati成立．
(1)求证：2a＋b为定值；
(2)若|z－2|≤a，求实数a的取值范围．
解：(1)证明：因为＝－3ati＝＋(－3at)i，
则a－bi＝＋(－3at)i，
由复数相等得
消去t得2a＋b＝6，故2a＋b为定值．
(2)因为z－2＝a－2＋bi，且|z－2|≤a，
所以
又因为2a＋b＝6，即b＝6－2a，
则(a－2)2＋(6－2a)2≤a2，
整理得a2－7a＋10≤0，
所以原不等式组即为
解得2≤a≤5，
故实数a的取值范围为[2，5].