10．2.2 复数的乘法与除法（教师版）
文档属性
| 名称 | 10．2.2 复数的乘法与除法（教师版） |
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| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 161.5KB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教B版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2026-02-27 00:00:00 | ||
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文档简介
10．2.2 复数的乘法与除法
1.掌握复数代数形式的乘、除运算． 2.理解复数乘法的交换律、结合律和乘法对加法的分配律．
INCLUDEPICTURE "新知学习探究LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "新知学习探究LLL.TIF" \* MERGEFORMAT
INCLUDEPICTURE "新课导学1LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "新课导学1LLL.TIF" \* MERGEFORMAT
我们知道，两个一次式相乘，有(ax＋b)·(cx＋d)＝acx2＋(bc＋ad)x＋bd，复数的加、减法也可以看作多项式相加、减，类比多项式的乘法，能否得到复数的乘法法则？
思考1 怎样定义复数的乘法？
提示：设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)是任意两个复数，那么它们的积(a＋bi)(c＋di)＝ac＋bci＋adi＋bdi2＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i.
思考2 猜想复数的乘法满足哪些运算律？
提示：猜想，对于任意z1，z2，z3∈C，有：
(1)交换律：z1z2＝z2z1；
(2)结合律：(z1z2)z3＝z1(z2z3)；
(3)分配律：z1(z2＋z3)＝z1z2＋z1z3.
1．运算法则：一般地，设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，称z1z2(或z1×z2)为z1与z2的积，并规定z1z2＝(a＋bi)(c＋di)＝______________．
2．运算律：对于任意复数z1，z2，z3，有
交换律 z1z2＝__________
结合律 (z1z2)z3＝__________
乘法对加法的分配律 z1(z2＋z3)＝__________
[答案自填] (ac－bd)＋(ad＋bc)i z2z1
z1(z2z3) z1z2＋z1z3
INCLUDEPICTURE "例1LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "例1LLL.TIF" \* MERGEFORMAT 计算：
(1)(1－i)2－(2－3i)(2＋3i)；
(2)(2－i)(－1＋5i)(3－4i)＋2i；
(3)(a＋bi)(a－bi)(－a＋bi)(－a－bi)，其中a，b∈R.
【解】 (1)(1－i)2－(2－3i)(2＋3i)＝1－2i＋i2－(4－9i2)＝－13－2i.
(2)(2－i)(－1＋5i)(3－4i)＋2i＝(－2＋10i＋i－5i2)(3－4i)＋2i＝(3＋11i)(3－4i)＋2i＝(9－12i＋33i－44i2)＋2i＝53＋21i＋2i＝53＋23i.
(3)(a＋bi)(a－bi)(－a＋bi)(－a－bi)
＝(a2＋b2)(a2＋b2)＝a4＋2a2b2＋b4.
eq \a\vs4\al( INCLUDEPICTURE "解题技法LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "解题技法LLL.TIF" \* MERGEFORMAT )
(1)两个复数代数形式乘法运算的一般方法
首先按多项式的乘法展开，再将i2换成－1，然后再进行复数的加、减运算，化简为复数的代数形式．
(2)常用公式
①(a＋bi)2＝a2＋2abi－b2(a，b∈R).
②(a＋bi)(a－bi)＝a2＋b2(a，b∈R).
③(1±i)2＝±2i.
[跟踪训练1] (1)复数z＝(－1＋3i)(1－i)在复平面内对应的点位于( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
解析：选A.z＝(－1＋3i)(1－i)＝2＋4i，所以复数z在复平面内对应的点位于第一象限．
(2)(1－i)(－＋i)(1＋i)＝________________.
解析：原式＝(1－i)(1＋i)(－＋i)＝(1－i2)(－＋i)＝2(－＋i)＝－1＋i.
答案：－1＋i
1．一般地，给定复数z≠0，称为z的倒数．
2．设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R，且c＋di≠0)，
则＝＝＋i.
INCLUDEPICTURE "例2LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "例2LLL.TIF" \* MERGEFORMAT (1)(对接教材例3)已知z＝，i为虚数单位，则|z|＝( )
A． B． C． D．
(2)(多选)(2024·德州阶段考)若复数z满足(1－i)z＝i2 024，为z的共轭复数，则( )
A．z在复平面内对应的点位于第二象限
B．|z|＝
C.z·z＝
D． eq \f(,z) 是纯虚数
【解析】 (1)z＝＝＝＝＋i，|z|＝＝.故选C.
(2)i2 024＝i506×4＝(i4)506＝1，
则z＝＝＝＝＋i，则z在复平面内对应的点为(，)，位于第一象限，A错误；
|z|＝＝，B正确；
＝－i，z·＝()2－(i)2＝，C正确；
eq \f(,z) ＝＝＝－i，D正确．
【答案】 (1)C (2)BCD
eq \a\vs4\al( INCLUDEPICTURE "解题技法LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "解题技法LLL.TIF" \* MERGEFORMAT )
(1)两个复数代数形式的除法运算步骤
①首先将除式写为分式；
②再将分子、分母同乘以分母的共轭复数；
③然后将分子、分母分别进行乘法运算，并将其化为复数的代数形式．
(2)常用公式
＝－i，＝i，
in＋in＋1＋in＋2＋in＋3＝0(n∈N).
[跟踪训练2] (1)在复平面内，复数z1，z2对应的点分别是(2，－1)，(0，5)，则复数的虚部为( )
A．2 B．－2 C．－2i D．2i
解析：选A.由题可知z1＝2－i，z2＝5i，则＝＝＝－1＋2i，所以复数的虚部为2.故选A.
(2)(2024·新课标Ⅰ卷)若＝1＋i，则z＝( )
A．－1－i B．－1＋i
C．1－i D．1＋i
解析：选C.方法一(解方程法)：因为＝1＋i，所以z＝(z－1)(1＋i)，即z＝z－1＋zi－i，即zi＝1＋i，所以z＝＝＝1－i，故选C.
方法二(取倒数法)：因为＝1＋i，所以＝，即1－＝＝－i，即＝＋i＝，所以z＝＝1－i，故选C.
INCLUDEPICTURE "例3lll.TIF" INCLUDEPICTURE "例3lll.TIF" \* MERGEFORMAT (对接教材例4)(1)设z1，z2是方程x2＋x＋1＝0在复数范围内的两个解，则( )
A．|z1－z2|＝ B．|z1|＝
C．z1＋z2＝1 D．z1z2＝1
(2)已知x＝－1＋i是方程x2＋ax＋b＝0(a，b∈R)的一个根，则ab＝________．
【解析】 (1)由方程x2＋x＋1＝0
得Δ＝1－4＝－3＜0，
由求根公式得x＝，
不妨设z1＝－＋i，z2＝－－i.
|z1－z2|＝|i|＝，A错误；
|z1|＝
＝＝1，B错误；
z1＋z2＝－1，C错误；
z1z2＝1，D正确．
(2)方法一：把x＝－1＋i代入方程x2＋ax＋b＝0，
得(－a＋b)＋(a－2)i＝0，
所以
解得所以ab＝4.
方法二：由一个根是－1＋i，可知另一个根是－1－i，
则
所以ab＝4.
【答案】 (1)D (2)4
eq \a\vs4\al( INCLUDEPICTURE "解题技法LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "解题技法LLL.TIF" \* MERGEFORMAT )
(1)复数范围内解方程的方法
①配方法求根：将方程左边配成完全平方的形式，再开方求根；
②公式法求根：当Δ≥0时，x＝；当Δ<0时，x＝(此时，两根互为共轭复数).
③利用复数相等的定义求解
设方程的根为x＝m＋ni(m，n∈R)，将此根代入方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，化简后利用复数相等的定义求解．
(2)注意在复数范围内，一元二次方程中根与系数的关系仍然成立．
[跟踪训练3] (1)已知2i－3是关于x的方程x2＋6x＋q＝0(q∈R)的一个根，则该方程的另一个根为( )
A．2i＋3 B．－2i－3
C．2i－3 D．－2i＋3
解析：选B.根据题意，方程的另一个根为－6－(2i－3)＝－3－2i.故选B.
(2)若关于x的方程x2－kx＋3＝0有虚数根，则实数k的取值范围是_______________________________________________．
解析：因为一元二次方程x2－kx＋3＝0有虚数根，
则Δ＝k2－4×1×3<0，解得－2答案：(－2，2)
INCLUDEPICTURE "课堂巩固自测LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "课堂巩固自测LLL.TIF" \* MERGEFORMAT [学生用书P32]
1．(1＋i)(2－4i)＝( )
A．4＋4i
B．2＋4＋(2－4)i
C．2－4i
D．4－2＋(4－2)i
解析：选B.(1＋i)(2－4i)＝2＋4＋(2－4)i.
2．若z＝－1＋i，则 eq \f(z,z－1) ＝( )
A．－1＋i B．－1－i
C．－＋i D．－－i
解析：选C. ＝－1－i，z＝(－1＋i)(－1－i)＝1＋3＝4. eq \f(z,z－1) ＝＝－＋i.故选C.
3．(多选)(教材P41练习AT4改编)已知－3＋4i是关于x的方程x2＋px＋q＝0(p，q∈R)的一个根，则( )
A．方程的另一个根为－3－4i
B．pq＝120
C．p－q＝－19
D．方程x2＋q－p＝0的根为±3i
解析：选AC.易知两个虚数根的实部相等，虚部互为相反数，所以另一个根为－3－4i，A正确；又(－3＋4i)(－3－4i)＝25＝q，即q＝25，又－6＝－p，解得p＝6，所以pq＝150，p－q＝－19，B错误，C正确；x2＋25－6＝0，即x2＝－19，故x2＋q－p＝0的根为±i，D错误．
4．若z＝为纯虚数，则复数z的虚部为__________．
解析：z＝＝
＝，
因为复数z为纯虚数，
所以2－2m＝0，且4＋m≠0，
解得m＝1，
得z＝＝＝i，
所以虚部为1.
答案：1
5．已知2i＋a(a∈R)是方程2x2－12x＋b＝0的一个虚数根，则实数b＝________．
解析：2i＋a(a∈R)是方程2x2－12x＋b＝0的一个虚数根，则另一个虚数根是a－2i，由根与系数的关系，
得
解得
答案：26
eq \a\vs4\al( INCLUDEPICTURE "课堂小结.TIF" INCLUDEPICTURE "课堂小结.TIF" \* MERGEFORMAT )
1．已学习：复数代数形式的乘、除运算及复数范围内解方程．
2．须贯通：复数的乘法运算类似于多项式的乘法运算；复数的除法运算要“分母实数化”，类似于实数运算的“分母有理化”；与复数方程有关的问题，一般是利用复数相等把复数问题转化为实数问题求解，根与系数的关系仍然成立．
3．应注意：(1)在复数的运算中忽视i2＝－1造成运算失误；
(2)实系数一元二次方程的虚数根成对出现，且互为共轭复数．
1.掌握复数代数形式的乘、除运算． 2.理解复数乘法的交换律、结合律和乘法对加法的分配律．
INCLUDEPICTURE "新知学习探究LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "新知学习探究LLL.TIF" \* MERGEFORMAT
INCLUDEPICTURE "新课导学1LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "新课导学1LLL.TIF" \* MERGEFORMAT
我们知道，两个一次式相乘，有(ax＋b)·(cx＋d)＝acx2＋(bc＋ad)x＋bd，复数的加、减法也可以看作多项式相加、减，类比多项式的乘法，能否得到复数的乘法法则？
思考1 怎样定义复数的乘法？
提示：设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)是任意两个复数，那么它们的积(a＋bi)(c＋di)＝ac＋bci＋adi＋bdi2＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i.
思考2 猜想复数的乘法满足哪些运算律？
提示：猜想，对于任意z1，z2，z3∈C，有：
(1)交换律：z1z2＝z2z1；
(2)结合律：(z1z2)z3＝z1(z2z3)；
(3)分配律：z1(z2＋z3)＝z1z2＋z1z3.
1．运算法则：一般地，设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，称z1z2(或z1×z2)为z1与z2的积，并规定z1z2＝(a＋bi)(c＋di)＝______________．
2．运算律：对于任意复数z1，z2，z3，有
交换律 z1z2＝__________
结合律 (z1z2)z3＝__________
乘法对加法的分配律 z1(z2＋z3)＝__________
[答案自填] (ac－bd)＋(ad＋bc)i z2z1
z1(z2z3) z1z2＋z1z3
INCLUDEPICTURE "例1LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "例1LLL.TIF" \* MERGEFORMAT 计算：
(1)(1－i)2－(2－3i)(2＋3i)；
(2)(2－i)(－1＋5i)(3－4i)＋2i；
(3)(a＋bi)(a－bi)(－a＋bi)(－a－bi)，其中a，b∈R.
【解】 (1)(1－i)2－(2－3i)(2＋3i)＝1－2i＋i2－(4－9i2)＝－13－2i.
(2)(2－i)(－1＋5i)(3－4i)＋2i＝(－2＋10i＋i－5i2)(3－4i)＋2i＝(3＋11i)(3－4i)＋2i＝(9－12i＋33i－44i2)＋2i＝53＋21i＋2i＝53＋23i.
(3)(a＋bi)(a－bi)(－a＋bi)(－a－bi)
＝(a2＋b2)(a2＋b2)＝a4＋2a2b2＋b4.
eq \a\vs4\al( INCLUDEPICTURE "解题技法LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "解题技法LLL.TIF" \* MERGEFORMAT )
(1)两个复数代数形式乘法运算的一般方法
首先按多项式的乘法展开，再将i2换成－1，然后再进行复数的加、减运算，化简为复数的代数形式．
(2)常用公式
①(a＋bi)2＝a2＋2abi－b2(a，b∈R).
②(a＋bi)(a－bi)＝a2＋b2(a，b∈R).
③(1±i)2＝±2i.
[跟踪训练1] (1)复数z＝(－1＋3i)(1－i)在复平面内对应的点位于( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
解析：选A.z＝(－1＋3i)(1－i)＝2＋4i，所以复数z在复平面内对应的点位于第一象限．
(2)(1－i)(－＋i)(1＋i)＝________________.
解析：原式＝(1－i)(1＋i)(－＋i)＝(1－i2)(－＋i)＝2(－＋i)＝－1＋i.
答案：－1＋i
1．一般地，给定复数z≠0，称为z的倒数．
2．设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R，且c＋di≠0)，
则＝＝＋i.
INCLUDEPICTURE "例2LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "例2LLL.TIF" \* MERGEFORMAT (1)(对接教材例3)已知z＝，i为虚数单位，则|z|＝( )
A． B． C． D．
(2)(多选)(2024·德州阶段考)若复数z满足(1－i)z＝i2 024，为z的共轭复数，则( )
A．z在复平面内对应的点位于第二象限
B．|z|＝
C.z·z＝
D． eq \f(,z) 是纯虚数
【解析】 (1)z＝＝＝＝＋i，|z|＝＝.故选C.
(2)i2 024＝i506×4＝(i4)506＝1，
则z＝＝＝＝＋i，则z在复平面内对应的点为(，)，位于第一象限，A错误；
|z|＝＝，B正确；
＝－i，z·＝()2－(i)2＝，C正确；
eq \f(,z) ＝＝＝－i，D正确．
【答案】 (1)C (2)BCD
eq \a\vs4\al( INCLUDEPICTURE "解题技法LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "解题技法LLL.TIF" \* MERGEFORMAT )
(1)两个复数代数形式的除法运算步骤
①首先将除式写为分式；
②再将分子、分母同乘以分母的共轭复数；
③然后将分子、分母分别进行乘法运算，并将其化为复数的代数形式．
(2)常用公式
＝－i，＝i，
in＋in＋1＋in＋2＋in＋3＝0(n∈N).
[跟踪训练2] (1)在复平面内，复数z1，z2对应的点分别是(2，－1)，(0，5)，则复数的虚部为( )
A．2 B．－2 C．－2i D．2i
解析：选A.由题可知z1＝2－i，z2＝5i，则＝＝＝－1＋2i，所以复数的虚部为2.故选A.
(2)(2024·新课标Ⅰ卷)若＝1＋i，则z＝( )
A．－1－i B．－1＋i
C．1－i D．1＋i
解析：选C.方法一(解方程法)：因为＝1＋i，所以z＝(z－1)(1＋i)，即z＝z－1＋zi－i，即zi＝1＋i，所以z＝＝＝1－i，故选C.
方法二(取倒数法)：因为＝1＋i，所以＝，即1－＝＝－i，即＝＋i＝，所以z＝＝1－i，故选C.
INCLUDEPICTURE "例3lll.TIF" INCLUDEPICTURE "例3lll.TIF" \* MERGEFORMAT (对接教材例4)(1)设z1，z2是方程x2＋x＋1＝0在复数范围内的两个解，则( )
A．|z1－z2|＝ B．|z1|＝
C．z1＋z2＝1 D．z1z2＝1
(2)已知x＝－1＋i是方程x2＋ax＋b＝0(a，b∈R)的一个根，则ab＝________．
【解析】 (1)由方程x2＋x＋1＝0
得Δ＝1－4＝－3＜0，
由求根公式得x＝，
不妨设z1＝－＋i，z2＝－－i.
|z1－z2|＝|i|＝，A错误；
|z1|＝
＝＝1，B错误；
z1＋z2＝－1，C错误；
z1z2＝1，D正确．
(2)方法一：把x＝－1＋i代入方程x2＋ax＋b＝0，
得(－a＋b)＋(a－2)i＝0，
所以
解得所以ab＝4.
方法二：由一个根是－1＋i，可知另一个根是－1－i，
则
所以ab＝4.
【答案】 (1)D (2)4
eq \a\vs4\al( INCLUDEPICTURE "解题技法LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "解题技法LLL.TIF" \* MERGEFORMAT )
(1)复数范围内解方程的方法
①配方法求根：将方程左边配成完全平方的形式，再开方求根；
②公式法求根：当Δ≥0时，x＝；当Δ<0时，x＝(此时，两根互为共轭复数).
③利用复数相等的定义求解
设方程的根为x＝m＋ni(m，n∈R)，将此根代入方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，化简后利用复数相等的定义求解．
(2)注意在复数范围内，一元二次方程中根与系数的关系仍然成立．
[跟踪训练3] (1)已知2i－3是关于x的方程x2＋6x＋q＝0(q∈R)的一个根，则该方程的另一个根为( )
A．2i＋3 B．－2i－3
C．2i－3 D．－2i＋3
解析：选B.根据题意，方程的另一个根为－6－(2i－3)＝－3－2i.故选B.
(2)若关于x的方程x2－kx＋3＝0有虚数根，则实数k的取值范围是_______________________________________________．
解析：因为一元二次方程x2－kx＋3＝0有虚数根，
则Δ＝k2－4×1×3<0，解得－2
INCLUDEPICTURE "课堂巩固自测LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "课堂巩固自测LLL.TIF" \* MERGEFORMAT [学生用书P32]
1．(1＋i)(2－4i)＝( )
A．4＋4i
B．2＋4＋(2－4)i
C．2－4i
D．4－2＋(4－2)i
解析：选B.(1＋i)(2－4i)＝2＋4＋(2－4)i.
2．若z＝－1＋i，则 eq \f(z,z－1) ＝( )
A．－1＋i B．－1－i
C．－＋i D．－－i
解析：选C. ＝－1－i，z＝(－1＋i)(－1－i)＝1＋3＝4. eq \f(z,z－1) ＝＝－＋i.故选C.
3．(多选)(教材P41练习AT4改编)已知－3＋4i是关于x的方程x2＋px＋q＝0(p，q∈R)的一个根，则( )
A．方程的另一个根为－3－4i
B．pq＝120
C．p－q＝－19
D．方程x2＋q－p＝0的根为±3i
解析：选AC.易知两个虚数根的实部相等，虚部互为相反数，所以另一个根为－3－4i，A正确；又(－3＋4i)(－3－4i)＝25＝q，即q＝25，又－6＝－p，解得p＝6，所以pq＝150，p－q＝－19，B错误，C正确；x2＋25－6＝0，即x2＝－19，故x2＋q－p＝0的根为±i，D错误．
4．若z＝为纯虚数，则复数z的虚部为__________．
解析：z＝＝
＝，
因为复数z为纯虚数，
所以2－2m＝0，且4＋m≠0，
解得m＝1，
得z＝＝＝i，
所以虚部为1.
答案：1
5．已知2i＋a(a∈R)是方程2x2－12x＋b＝0的一个虚数根，则实数b＝________．
解析：2i＋a(a∈R)是方程2x2－12x＋b＝0的一个虚数根，则另一个虚数根是a－2i，由根与系数的关系，
得
解得
答案：26
eq \a\vs4\al( INCLUDEPICTURE "课堂小结.TIF" INCLUDEPICTURE "课堂小结.TIF" \* MERGEFORMAT )
1．已学习：复数代数形式的乘、除运算及复数范围内解方程．
2．须贯通：复数的乘法运算类似于多项式的乘法运算；复数的除法运算要“分母实数化”，类似于实数运算的“分母有理化”；与复数方程有关的问题，一般是利用复数相等把复数问题转化为实数问题求解，根与系数的关系仍然成立．
3．应注意：(1)在复数的运算中忽视i2＝－1造成运算失误；
(2)实系数一元二次方程的虚数根成对出现，且互为共轭复数．