培优2 与球相关的“切”“接”问题（教师版）
文档属性
| 名称 | 培优2 与球相关的“切”“接”问题（教师版） |
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| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 383.9KB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教B版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2026-02-27 00:00:00 | ||
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文档简介
与球相关的“切”“接”问题
空间几何体与球有关的“切”“接”问题是立体几何中的重点，也是难点．所谓几何体的外接球，是指几何体的各顶点（或旋转体的顶点、底面圆周）都在一个球面上，此球称为该几何体的外接球；内切球是指与几何体内各面（平面、曲面）都相切的球．求解此类问题的关键是作出合适的截面圆，确定球心，再由球的半径R、截面圆的半径r及各几何量之间建立关系．
类型一 球与长方体的“切”“接”
(1)球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径．
(2)球外接于正方体(长方体)，正方体(长方体)的顶点均在球面上，正方体(长方体)的体对角线长等于球的直径．
(3)有些三棱锥(如三条侧棱两两垂直、四个面均为直角三角形、对棱两两相等)的外接球问题可转化为长方体的外接球问题．
(1)设球的内接长方体的长、宽、高分别为2，2，3，则球的表面积为( )
A．100π B．25π
C． D．
(2)正方体的内切球、与各棱相切的球、外接球的体积之比为( )
A．1∶2∶3 B．1∶∶
C．1∶2∶3 D．1∶∶
(3)若四面体A BCD中，AB，AC，AD两两互相垂直，且AB＝AC＝AD＝3，则该四面体的外接球O1的表面积为__________；若四面体A BCD为正四面体，且各棱长均为2，则该四面体的外接球O2的表面积为________．
【解析】 (1)设球的半径为R.由题意，长方体的体对角线长等于其外接球的直径，即2R＝＝5，所以R＝，所以球的表面积为S＝4πR2＝4π×()2＝25π.
(2)设正方体的棱长为a，则正方体的内切球的直径为a，半径为；与正方体各棱相切的球直径为a，半径为a；正方体的外接球直径为a，半径为a，故正方体的内切球、与各棱相切的球、外接球的体积之比为：π×()3∶π×(a)3∶π×(a)3＝1∶2∶3.
(3)当AB，AC，AD两两互相垂直，且AB＝AC＝AD＝3时，将四面体A BCD补成正方体ABEC DHFG，如图1所示，则正方体ABEC DHFG的体对角线长为＝3，故四面体A BCD的外接球的半径R1＝，所以球O1的表面积S＝4πR＝4π×()2＝27π.当四面体A BCD为正四面体时，将正四面体A BCD补成正方体AECF GBHD，如图2所示，因为AC＝2，所以AE＝AF＝AG＝，所以正方体AECF GBHD的体对角线长为＝，所以正四面体A BCD的外接球的半径R2＝，所以球O2的表面积为S＝4πR＝6π.
【答案】 (1)B (2)C (3)27π 6π
类型二 几何体的外接球
解决外接球问题常利用球的截面性质“球心O与截面圆圆心O1的连线垂直于截面圆”．
(1)求圆锥的外接球半径R.
解题时，关键是画出轴截面(如图1，图2)，建立圆锥的高h，底面圆的半径r，外接球的半径R三者之间的关系，即(h－R)2＋r2＝R2.
注：求棱锥的外接球半径的方法与求圆锥的外接球半径的方法类似．
(2)求圆柱的外接球半径R.
解题时，关键是画出轴截面(如图3)，找到圆柱的底面圆半径r、高h及其外接球的半径R三者之间的关系，即()2＋r2＝R2.
注：求棱柱的外接球半径的方法与求圆柱的外接球半径的方法类似．
(3)圆台的外接球：设r1，r2，h分别为圆台的上、下底面的半径和高，R为外接球的半径．
(1)设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱长都为a，顶点在一个球面上，则该球的表面积为( )
A．πa2 B．πa2
C．πa2 D．5πa2
(2)已知圆柱的底面半径为1，母线长为2，则该圆柱的外接球的体积为( )
A． B．
C． D．π
(3)在三棱锥P ABC中，∠ABC＝60°，∠PBA＝∠PCA＝90°，点P到底面ABC的距离为.若三棱锥P ABC的外接球的表面积为6π，则AC的长为( )
A． B．
C．1 D．2
【解析】 (1)如图所示，设O1，O分别为上、下底面的中心，连接OO1，则球心O2为OO1的中点，连接AO并延长交BC于D点，连接AO2.
因为AD＝a，AO＝AD＝a，OO2＝，
所以AO＝a2＋a2＝a2，
故该球的表面积S球＝4π×a2＝πa2.
(2)圆柱的轴截面ABB1A1如图所示，记圆柱上、下底面圆的圆心分别为O1，O2，连接O1O2，取O1O2的中点为O，连接OB，则点O为外接球球心，OB为外接球半径．因为圆柱的母线BB1长度为2，底面半径r＝O2B＝1，所以外接球半径R＝OB＝ eq \r(O O＋O2B2) ＝，所以外接球的体积V＝π×()3＝.
(3)取棱AP的中点为O，连接OB，OC，如图所示．因为∠PBA＝∠PCA＝90°，所以OA＝OP＝OB＝OC，所以O为三棱锥P ABC的外接球的球心．过点O作OO′⊥平面ABC于点O′，由球的几何性质可知点O′为底面三角形ABC的外心．设三棱锥P ABC的外接球半径为R，则由题意得4πR2＝6π，所以R＝，即OA＝.因为点P到底面ABC的距离为，且点O为棱AP的中点，所以OO′＝，所以O′A＝＝1.在△ABC中，由正弦定理，可知2O′A＝，所以AC＝.
【答案】 (1)B (2)B (3)A
类型三 几何体的内切球
常见内切球问题的求解策略：
(1)多面体的内切球，可用体积分割法(等积法)求内切球的半径．
(2)圆锥的内切球：圆锥的轴截面为等腰三角形，等腰三角形的内切圆的半径即为内切球的半径，设圆锥底面半径为r，高为h，R＝.
(3)内切球到切点的距离相等且为半径，也可作过球心的截面求半径．
(1)一个球与一个正三棱柱的三个侧面和两个底面都相切，已知这个球的体积为，那么这个正三棱柱的体积是( )
A．96 B．16
C．24 D．48
(2)如图，已知在四棱锥P ABCD 中，底面ABCD是正方形，PA，AB，AD两两相互垂直，AB＝BC＝4，PA＝3，则此四棱锥外接球与内切球的表面积之比为( )
A．∶2 B．41∶4
C．∶1 D．41∶1
(3)已知圆台的内切球O与圆台侧面相切的切点位于圆台高的处，若圆台的上底面半径为，则球的体积为________．
【解析】 (1)设正三棱柱的底面边长为a，则球的半径R＝×a＝a，正三棱柱的高为a.又V球＝πR3＝×a3＝.
所以a＝4.所以V柱＝×(4)2××4＝48.
(2)如图，可将四棱锥P ABCD放入长方体中，设外接球的半径为R，则(2R)2＝32＋42＋42＝41，故R2＝，所以外接球的表面积为4πR2＝41π.设内切球的半径为r，由长方体的性质可知△PAB，△PBC，△PDC，△PAD均为直角三角形，且S△PAB＝S△PAD＝×4×3＝6，S△PBC＝S△PDC＝×4×5＝10，则VP ABCD＝×4×4×3＝(S正方形ABCD＋S△PAB＋S△PBC＋S△PDC＋S△PAD)r＝×(4×4＋2×6＋2×10)r，解得r＝1，所以内切球的表面积为4πr2＝4π，故外接球与内切球的表面积之比为41∶4.
(3)圆台的上底面半径为，由于圆台的内切球O与圆台侧面相切的切点位于圆台高的处，根据切线长定理可知：圆台的下底面半径为×3＝3，母线长为＋3＝4，所以圆台的高为＝6，即球的直径为6，半径为3，所以球的体积为×33＝36π.
【答案】 (1)D (2)B (3)36π
【尝试训练】
1．在直三棱柱ABC A1B1C1中，AB⊥BC，AB＝6，BC＝8，若此三棱柱外接球的半径为13，则该三棱柱的表面积为( )
A．624 B．576
C．672 D．720
解析：选A．方法一：由题意，得该直三棱柱底面的外接圆半径r＝5，所以AA1＝2＝24，所以直三棱柱ABC A1B1C1的表面积为S＝2S△ABC＋S矩形BCC1B1＋S矩形ABB1A1＋S矩形ACC1A1＝2××6×8＋8×24＋6×24＋10×24＝624.
方法二：在直三棱柱ABC A1B1C1中，AB⊥BC，AB＝6，BC＝8，所以AC＝＝10.构造长方体ABCD A1B1C1D1，如图所示，则长方体ABCD A1B1C1D1的外接球就是直三棱柱ABC A1B1C1的外接球．因为直三棱柱ABC A1B1C1外接球的半径为13，所以A1C＝2×13＝26，所以AA1＝＝24，所以直三棱柱ABC A1B1C1的表面积为S＝2S△ABC＋S矩形BCC1B1＋S矩形ABB1A1＋S矩形ACC1A1＝2××6×8＋8×24＋6×24＋10×24＝624.
2．(2024·安阳模拟)如图，在三棱锥P ABC中，PA＝BC＝，PB＝AC＝2，PC＝AB＝，则三棱锥P ABC外接球的体积为( )
A．π B．π
C．π D．6π
解析：选C．如图，将三棱锥P ABC放到长、宽、高分别为1，，的长方体中，则三棱锥P ABC的外接球，即长方体的外接球，其半径R＝×＝，所以三棱锥P ABC 的外接球的体积V＝πR3＝π.
3．若圆台的上、下底面半径分别为r，R，则其内切球的表面积为( )
A．4π(r＋R)2 B．4πr2R2
C．4πRr D．π(R＋r)2
解析：选C．如图，BE＝BO2＝r，AE＝AO1＝R，又OE⊥AB且BO⊥OA，所以△AEO∽△OEB，所以OE2＝AE·BE＝Rr，所以球的表面积为4πOE2＝4πRr.
4．如图，菱形十二面体是由12个全等的菱形构成的，其有24条棱，14个顶点，它每个面的两条对角线长度之比均为1∶.已知一个菱形十二面体的棱长为，体积为16，则该菱形十二面体的内切球的体积为( )
A． B．
C． D．4π
解析：选C．根据菱形十二面体的性质，可将菱形十二面体分割为十二个四棱锥，这十二个四棱锥共顶点，顶点为菱形十二面体的内切球的球心．设菱形十二面体的体积为V，每个面的面积为S，内切球半径为r，则V＝12××S×r.因为每个面的两条对角线长度之比为1∶，且棱长为，所以两对角线长分别为2，2，所以S＝×2×2＝2，则16＝12××2×r，则r＝，所以内切球的体积为＝.
空间几何体与球有关的“切”“接”问题是立体几何中的重点，也是难点．所谓几何体的外接球，是指几何体的各顶点（或旋转体的顶点、底面圆周）都在一个球面上，此球称为该几何体的外接球；内切球是指与几何体内各面（平面、曲面）都相切的球．求解此类问题的关键是作出合适的截面圆，确定球心，再由球的半径R、截面圆的半径r及各几何量之间建立关系．
类型一 球与长方体的“切”“接”
(1)球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径．
(2)球外接于正方体(长方体)，正方体(长方体)的顶点均在球面上，正方体(长方体)的体对角线长等于球的直径．
(3)有些三棱锥(如三条侧棱两两垂直、四个面均为直角三角形、对棱两两相等)的外接球问题可转化为长方体的外接球问题．
(1)设球的内接长方体的长、宽、高分别为2，2，3，则球的表面积为( )
A．100π B．25π
C． D．
(2)正方体的内切球、与各棱相切的球、外接球的体积之比为( )
A．1∶2∶3 B．1∶∶
C．1∶2∶3 D．1∶∶
(3)若四面体A BCD中，AB，AC，AD两两互相垂直，且AB＝AC＝AD＝3，则该四面体的外接球O1的表面积为__________；若四面体A BCD为正四面体，且各棱长均为2，则该四面体的外接球O2的表面积为________．
【解析】 (1)设球的半径为R.由题意，长方体的体对角线长等于其外接球的直径，即2R＝＝5，所以R＝，所以球的表面积为S＝4πR2＝4π×()2＝25π.
(2)设正方体的棱长为a，则正方体的内切球的直径为a，半径为；与正方体各棱相切的球直径为a，半径为a；正方体的外接球直径为a，半径为a，故正方体的内切球、与各棱相切的球、外接球的体积之比为：π×()3∶π×(a)3∶π×(a)3＝1∶2∶3.
(3)当AB，AC，AD两两互相垂直，且AB＝AC＝AD＝3时，将四面体A BCD补成正方体ABEC DHFG，如图1所示，则正方体ABEC DHFG的体对角线长为＝3，故四面体A BCD的外接球的半径R1＝，所以球O1的表面积S＝4πR＝4π×()2＝27π.当四面体A BCD为正四面体时，将正四面体A BCD补成正方体AECF GBHD，如图2所示，因为AC＝2，所以AE＝AF＝AG＝，所以正方体AECF GBHD的体对角线长为＝，所以正四面体A BCD的外接球的半径R2＝，所以球O2的表面积为S＝4πR＝6π.
【答案】 (1)B (2)C (3)27π 6π
类型二 几何体的外接球
解决外接球问题常利用球的截面性质“球心O与截面圆圆心O1的连线垂直于截面圆”．
(1)求圆锥的外接球半径R.
解题时，关键是画出轴截面(如图1，图2)，建立圆锥的高h，底面圆的半径r，外接球的半径R三者之间的关系，即(h－R)2＋r2＝R2.
注：求棱锥的外接球半径的方法与求圆锥的外接球半径的方法类似．
(2)求圆柱的外接球半径R.
解题时，关键是画出轴截面(如图3)，找到圆柱的底面圆半径r、高h及其外接球的半径R三者之间的关系，即()2＋r2＝R2.
注：求棱柱的外接球半径的方法与求圆柱的外接球半径的方法类似．
(3)圆台的外接球：设r1，r2，h分别为圆台的上、下底面的半径和高，R为外接球的半径．
(1)设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱长都为a，顶点在一个球面上，则该球的表面积为( )
A．πa2 B．πa2
C．πa2 D．5πa2
(2)已知圆柱的底面半径为1，母线长为2，则该圆柱的外接球的体积为( )
A． B．
C． D．π
(3)在三棱锥P ABC中，∠ABC＝60°，∠PBA＝∠PCA＝90°，点P到底面ABC的距离为.若三棱锥P ABC的外接球的表面积为6π，则AC的长为( )
A． B．
C．1 D．2
【解析】 (1)如图所示，设O1，O分别为上、下底面的中心，连接OO1，则球心O2为OO1的中点，连接AO并延长交BC于D点，连接AO2.
因为AD＝a，AO＝AD＝a，OO2＝，
所以AO＝a2＋a2＝a2，
故该球的表面积S球＝4π×a2＝πa2.
(2)圆柱的轴截面ABB1A1如图所示，记圆柱上、下底面圆的圆心分别为O1，O2，连接O1O2，取O1O2的中点为O，连接OB，则点O为外接球球心，OB为外接球半径．因为圆柱的母线BB1长度为2，底面半径r＝O2B＝1，所以外接球半径R＝OB＝ eq \r(O O＋O2B2) ＝，所以外接球的体积V＝π×()3＝.
(3)取棱AP的中点为O，连接OB，OC，如图所示．因为∠PBA＝∠PCA＝90°，所以OA＝OP＝OB＝OC，所以O为三棱锥P ABC的外接球的球心．过点O作OO′⊥平面ABC于点O′，由球的几何性质可知点O′为底面三角形ABC的外心．设三棱锥P ABC的外接球半径为R，则由题意得4πR2＝6π，所以R＝，即OA＝.因为点P到底面ABC的距离为，且点O为棱AP的中点，所以OO′＝，所以O′A＝＝1.在△ABC中，由正弦定理，可知2O′A＝，所以AC＝.
【答案】 (1)B (2)B (3)A
类型三 几何体的内切球
常见内切球问题的求解策略：
(1)多面体的内切球，可用体积分割法(等积法)求内切球的半径．
(2)圆锥的内切球：圆锥的轴截面为等腰三角形，等腰三角形的内切圆的半径即为内切球的半径，设圆锥底面半径为r，高为h，R＝.
(3)内切球到切点的距离相等且为半径，也可作过球心的截面求半径．
(1)一个球与一个正三棱柱的三个侧面和两个底面都相切，已知这个球的体积为，那么这个正三棱柱的体积是( )
A．96 B．16
C．24 D．48
(2)如图，已知在四棱锥P ABCD 中，底面ABCD是正方形，PA，AB，AD两两相互垂直，AB＝BC＝4，PA＝3，则此四棱锥外接球与内切球的表面积之比为( )
A．∶2 B．41∶4
C．∶1 D．41∶1
(3)已知圆台的内切球O与圆台侧面相切的切点位于圆台高的处，若圆台的上底面半径为，则球的体积为________．
【解析】 (1)设正三棱柱的底面边长为a，则球的半径R＝×a＝a，正三棱柱的高为a.又V球＝πR3＝×a3＝.
所以a＝4.所以V柱＝×(4)2××4＝48.
(2)如图，可将四棱锥P ABCD放入长方体中，设外接球的半径为R，则(2R)2＝32＋42＋42＝41，故R2＝，所以外接球的表面积为4πR2＝41π.设内切球的半径为r，由长方体的性质可知△PAB，△PBC，△PDC，△PAD均为直角三角形，且S△PAB＝S△PAD＝×4×3＝6，S△PBC＝S△PDC＝×4×5＝10，则VP ABCD＝×4×4×3＝(S正方形ABCD＋S△PAB＋S△PBC＋S△PDC＋S△PAD)r＝×(4×4＋2×6＋2×10)r，解得r＝1，所以内切球的表面积为4πr2＝4π，故外接球与内切球的表面积之比为41∶4.
(3)圆台的上底面半径为，由于圆台的内切球O与圆台侧面相切的切点位于圆台高的处，根据切线长定理可知：圆台的下底面半径为×3＝3，母线长为＋3＝4，所以圆台的高为＝6，即球的直径为6，半径为3，所以球的体积为×33＝36π.
【答案】 (1)D (2)B (3)36π
【尝试训练】
1．在直三棱柱ABC A1B1C1中，AB⊥BC，AB＝6，BC＝8，若此三棱柱外接球的半径为13，则该三棱柱的表面积为( )
A．624 B．576
C．672 D．720
解析：选A．方法一：由题意，得该直三棱柱底面的外接圆半径r＝5，所以AA1＝2＝24，所以直三棱柱ABC A1B1C1的表面积为S＝2S△ABC＋S矩形BCC1B1＋S矩形ABB1A1＋S矩形ACC1A1＝2××6×8＋8×24＋6×24＋10×24＝624.
方法二：在直三棱柱ABC A1B1C1中，AB⊥BC，AB＝6，BC＝8，所以AC＝＝10.构造长方体ABCD A1B1C1D1，如图所示，则长方体ABCD A1B1C1D1的外接球就是直三棱柱ABC A1B1C1的外接球．因为直三棱柱ABC A1B1C1外接球的半径为13，所以A1C＝2×13＝26，所以AA1＝＝24，所以直三棱柱ABC A1B1C1的表面积为S＝2S△ABC＋S矩形BCC1B1＋S矩形ABB1A1＋S矩形ACC1A1＝2××6×8＋8×24＋6×24＋10×24＝624.
2．(2024·安阳模拟)如图，在三棱锥P ABC中，PA＝BC＝，PB＝AC＝2，PC＝AB＝，则三棱锥P ABC外接球的体积为( )
A．π B．π
C．π D．6π
解析：选C．如图，将三棱锥P ABC放到长、宽、高分别为1，，的长方体中，则三棱锥P ABC的外接球，即长方体的外接球，其半径R＝×＝，所以三棱锥P ABC 的外接球的体积V＝πR3＝π.
3．若圆台的上、下底面半径分别为r，R，则其内切球的表面积为( )
A．4π(r＋R)2 B．4πr2R2
C．4πRr D．π(R＋r)2
解析：选C．如图，BE＝BO2＝r，AE＝AO1＝R，又OE⊥AB且BO⊥OA，所以△AEO∽△OEB，所以OE2＝AE·BE＝Rr，所以球的表面积为4πOE2＝4πRr.
4．如图，菱形十二面体是由12个全等的菱形构成的，其有24条棱，14个顶点，它每个面的两条对角线长度之比均为1∶.已知一个菱形十二面体的棱长为，体积为16，则该菱形十二面体的内切球的体积为( )
A． B．
C． D．4π
解析：选C．根据菱形十二面体的性质，可将菱形十二面体分割为十二个四棱锥，这十二个四棱锥共顶点，顶点为菱形十二面体的内切球的球心．设菱形十二面体的体积为V，每个面的面积为S，内切球半径为r，则V＝12××S×r.因为每个面的两条对角线长度之比为1∶，且棱长为，所以两对角线长分别为2，2，所以S＝×2×2＝2，则16＝12××2×r，则r＝，所以内切球的体积为＝.