培优3 空间角的求法（教师版）
文档属性
| 名称 | 培优3 空间角的求法（教师版） |
|
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| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 375.6KB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教B版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2026-02-27 00:00:00 | ||
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文档简介
INCLUDEPICTURE "培优3LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "培优3LLL.TIF" \* MERGEFORMAT 空间角的求法
类型一 异面直线所成的角
求异面直线所成的角，可通过多种方法平移产生三角形，主要有三种方法：(1)直接平移法(可利用图中已有的平行线)；(2)中位线平移法；(3)补形平移法(在已知图形中，补作一个相同的几何体，以便找到平行线).
INCLUDEPICTURE "典例1LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "典例1LLL.TIF" \* MERGEFORMAT 如图，在每个面都为等边三角形的四面体S ABC中，若点E，F分别为SC，AB的中点，试求异面直线EF与SA所成的角．
INCLUDEPICTURE "25SX-113.TIF" INCLUDEPICTURE "25SX-113.TIF" \* MERGEFORMAT
【解】 如图，连接CF，SF，
INCLUDEPICTURE "25SX-114.TIF" INCLUDEPICTURE "25SX-114.TIF" \* MERGEFORMAT
设四面体S ABC的棱长为a，
则SF＝CF＝a.
因为E为SC的中点，
所以EF⊥SC.
在Rt△SEF中，SE＝SC＝a，
所以EF＝＝a.
取SB的中点为D，连接ED，FD，则FD∥SA，所以∠DFE(或其补角)为异面直线EF与SA所成的角．因为BC＝SA＝a，
而FD∥SA，且FD＝SA，ED∥CB，
且ED＝CB，
所以FD＝ED＝a，
所以FD2＋ED2＝EF2.
故△DEF是等腰直角三角形，可得∠DFE＝45°，
即异面直线EF与SA所成的角是45°.
类型二 直线与平面所成的角
求斜线和平面所成的角的步骤：
(1)作(或找)：作(或找)出斜线在平面上的射影，作射影要过斜线上斜足以外的一点作平面的垂线，再过垂足和斜足作直线，注意斜线上点的选取以及垂足的位置要与题目中已知量有关，这样才能便于计算．
(2)证：证明某平面角就是斜线和平面所成的角．
(3)算：通常在垂线段、斜线和射影所组成的直角三角形中计算．
INCLUDEPICTURE "典例2LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "典例2LLL.TIF" \* MERGEFORMAT (1)《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称为阳马．已知在阳马P ABCD中，侧棱PA⊥底面ABCD，且PA＝AB＝AD＝1，则直线PD与平面PAC所成的角的正弦值为( )
A． B．
C． D．
(2)(多选)已知正方体ABCD A1B1C1D1，则下列说法正确的是( )
A．直线BC1与DA1所成的角为90°
B．直线BC1与CA1所成的角为90°
C．直线BC1与平面BB1D1D所成的角为45°
D．直线BC1与平面ABCD所成的角为45°
INCLUDEPICTURE "25SX-115.TIF" INCLUDEPICTURE "25SX-115.TIF" \* MERGEFORMAT
【解析】 (1)如图，连接BD，AC交于点O，由题知，四边形ABCD为正方形，则DO⊥AC.连接PO，因为PA⊥平面ABCD，DO 平面ABCD，所以PA⊥DO，而PA∩AC＝A，PA，AC 平面PAC，则DO⊥平面PAC，于是∠DPO即为直线PD与平面PAC所成的角．因为PA＝AD＝1，PA⊥AD，所以PD＝＝.易得DO＝DB＝×＝，所以sin ∠DPO＝＝，即直线PD与平面PAC所成的角的正弦值为.
INCLUDEPICTURE "25SX-116.TIF" INCLUDEPICTURE "25SX-116.TIF" \* MERGEFORMAT
(2)如图，连接AD1，在正方形A1ADD1中，AD1⊥DA1，因为AD1∥BC1，所以BC1⊥DA1，所以直线BC1与DA1所成的角为90°，故A正确；
在正方体ABCD A1B1C1D1中，CD⊥平面BCC1B1，又BC1 平面BCC1B1，所以CD⊥BC1.连接B1C，则B1C⊥BC1.因为CD∩B1C＝C，CD，B1C 平面DCB1A1，所以BC1⊥平面DCB1A1，又CA1 平面DCB1A1，所以BC1⊥CA1，所以直线BC1与CA1所成的角为90°，故B正确；
连接A1C1，与B1D1交于点O，则易得OC1⊥平面BB1D1D，连接OB.因为OB 平面BB1D1D，所以OC1⊥OB，∠OBC1为直线BC1与平面BB1D1D所成的角．设正方体的棱长为a，则易得BC1＝a，OC1＝，所以在Rt△BOC1中，OC1＝BC1，所以∠OBC1＝30°，故C错误；
因为C1C⊥平面ABCD，所以∠CBC1为直线BC1与平面ABCD所成的角，易得∠CBC1＝45°，故D正确．
【答案】 (1)A (2)ABD
类型三 二面角
角度1 定义法
在二面角的棱上找一个特殊点，在两个半平面内分别作垂直于棱的射线．如图，∠AOB为二面角α l β的平面角．
INCLUDEPICTURE "M24-1.TIF" INCLUDEPICTURE "M24-1.TIF" \* MERGEFORMAT
INCLUDEPICTURE "典例3lll.TIF" INCLUDEPICTURE "典例3lll.TIF" \* MERGEFORMAT 如图，在三棱锥V ABC中，VA＝AB＝VB＝AC＝BC＝2，VC＝，求二面角V AB C的大小．
INCLUDEPICTURE "25SX-118.TIF" INCLUDEPICTURE "25SX-118.TIF" \* MERGEFORMAT
【解】 取AB的中点D，连接VD，CD，
INCLUDEPICTURE "25SX-119.TIF" INCLUDEPICTURE "25SX-119.TIF" \* MERGEFORMAT
因为在△VAB中，
VA＝VB＝AB＝2，
所以△VAB为等边三角形，
所以VD⊥AB且VD＝，
同理CD⊥AB，CD＝，
所以∠VDC为二面角V AB C的平面角，且VD＝CD＝VC＝，
所以△VDC是等边三角形，∠VDC＝60°，
所以二面角V AB C的大小为60°.
角度2 垂面法
过二面角的棱上一点作二面角的棱的垂直平面，该平面与二面角的两个半平面各有一条交线，这两条交线所成的角即二面角的平面角．如图，∠AOB为二面角α l β的平面角．
INCLUDEPICTURE "25SX-120.TIF" INCLUDEPICTURE "25SX-120.TIF" \* MERGEFORMAT
INCLUDEPICTURE "典例4LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "典例4LLL.TIF" \* MERGEFORMAT 如图，将正方形A1BCD折成直二面角A BD C，则二面角A CD B的余弦值为( )
INCLUDEPICTURE "25SX-121.TIF" INCLUDEPICTURE "25SX-121.TIF" \* MERGEFORMAT
A． B． C． D．
【解析】 由题知平面ABD⊥平面BCD.如图，连接A1C交BD于点O，连接AO，则AO⊥BD，
INCLUDEPICTURE "25SX-122.TIF" INCLUDEPICTURE "25SX-122.TIF" \* MERGEFORMAT
因为平面ABD∩平面BCD＝BD，AO 平面ABD，
所以AO⊥平面BCD，CD 平面BCD，
所以AO⊥CD.
取CD的中点M，连接OM，AM，
则OM∥BC，
所以OM⊥CD，OM，AO 平面AOM，
OM∩AO＝O，
所以CD⊥平面AOM，
所以∠AMO即为二面角A CD B的平面角．
不妨设正方形A1BCD的边长为2，
则AO＝，OM＝1，
所以AM＝＝.
所以cos ∠AMO＝＝.
【答案】 B
角度3 垂线法
过二面角的一个面内异于棱上的点A向另一个平面作垂线，垂足为B，由点B向二面角的棱作垂线，垂足为O，连接AO，则∠AOB为二面角的平面角或其补角．如图，∠AOB为二面角α l β的平面角．
INCLUDEPICTURE "M24-6.TIF" INCLUDEPICTURE "M24-6.TIF" \* MERGEFORMAT
INCLUDEPICTURE "典例5LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "典例5LLL.TIF" \* MERGEFORMAT 如图，平面β内一条直线AC与平面α所成的角为30°，AC与棱BD所成的角为45°，求二面角α BD β的大小．
INCLUDEPICTURE "M24-7.TIF" INCLUDEPICTURE "M24-7.TIF" \* MERGEFORMAT
【解】 如图，过点A作AE⊥平面α，E为垂足，作EF⊥BD，F为垂足，连接AF，CE，因为BD 平面α，所以AE⊥BD，
INCLUDEPICTURE "M24-8.TIF" INCLUDEPICTURE "M24-8.TIF" \* MERGEFORMAT
因为EF∩AE＝E，EF，AE 平面AEF，
所以BD⊥平面AEF，AF 平面AEF，
所以BD⊥AF，
所以∠AFE为二面角α BD β的平面角．
依题意知∠ACF＝45°，∠ACE＝30°，
设AC＝2，所以AF＝CF＝，AE＝1，
所以sin ∠AFE＝＝＝，
易知∠AFE∈(0，)，所以∠AFE＝45°.
所以二面角α BD β的大小为45°.
【尝试训练】
1．在三棱柱ABC A1B1C1中，AA1⊥AB，AA1⊥AC.若AB＝AC＝AA1＝1，BC＝，则异面直线A1C与B1C1所成的角为( )
INCLUDEPICTURE "25SX-123.TIF" INCLUDEPICTURE "25SX-123.TIF" \* MERGEFORMAT
A．60° B．30° C．90° D．45°
解析：选A.因为几何体是棱柱，BC∥B1C1，则异面直线A1C与BC所成的角就是异面直线A1C与B1C1所成的角．
在三棱柱ABC A1B1C1中，AA1⊥AB，AA1⊥AC，连接BA1(图略)，因为AB＝AC＝AA1＝1，
所以BA1＝，CA1＝，又BC＝.
所以△BCA1是等边三角形，
所以异面直线A1C与B1C1所成的角为60°.
2．在正方体ABCD A1B1C1D1中，BB1和平面ACD1所成角的余弦值为( )
A． B． C． D．
INCLUDEPICTURE "25SX-124.TIF" INCLUDEPICTURE "25SX-124.TIF" \* MERGEFORMAT
解析：选D.如图，不妨设正方体的棱长为1，上、下底面的中心分别为O1，O，连接OD1，OO1，O1D1，则OO1∥BB1，O1O和平面ACD1所成的角就是BB1和平面ACD1所成的角，即∠O1OD1，在Rt△OO1D1中，cos ∠O1OD1＝＝＝.
3．(2023·全国乙卷)已知△ABC为等腰直角三角形，AB为斜边，△ABD为等边三角形．若二面角C AB D为150°，则直线CD与平面ABC所成角的正切值为( )
A． B． C． D．
INCLUDEPICTURE "25SX-125.TIF" INCLUDEPICTURE "25SX-125.TIF" \* MERGEFORMAT
解析：选C.如图，取AB的中点O，连接OC，OD，则AB⊥OC，AB⊥OD，∠DOC＝150°，过D作DE⊥OC，交CO的延长线于点E，易知DE⊥平面ABC，设OA＝2，则OC＝2，OD＝2，OE＝3，DE＝，所以tan ∠DCE＝＝.所以直线CD与平面ABC所成角的正切值为.故选C.
4．如图1所示，∠ABC＝∠ACD＝90°，AB＝BC＝，∠CAD＝30°，如图2所示，把△ABC沿AC折起，使平面ABC⊥平面ACD，E为AD的中点，连接BD，BE，EC.
(1)求证：平面ABD⊥平面BCD；
(2)求二面角E BC D的正弦值．
INCLUDEPICTURE "25SX-126.TIF" INCLUDEPICTURE "25SX-126.TIF" \* MERGEFORMAT
解：(1)证明：因为平面ABC⊥平面ACD，平面ABC∩平面ACD＝AC, CD⊥AC，CD 平面ACD，
所以CD⊥平面ABC，又AB 平面ABC，
所以AB⊥CD.
又AB⊥BC，BC∩CD＝C，BC，CD 平面BCD，
所以AB⊥平面BCD，又AB 平面ABD，
所以平面ABD⊥平面BCD.
INCLUDEPICTURE "25SX-127.TIF" INCLUDEPICTURE "25SX-127.TIF" \* MERGEFORMAT
(2)如图，分别取BD，BC的中点F，G，连接EF，FG，EG.
因为E为AD的中点，
所以EF∥AB.
因为AB⊥平面BCD，
所以EF⊥平面BCD，
又BC 平面BCD，所以EF⊥BC.
易知FG∥CD，又CD⊥平面ABC，
所以FG⊥平面ABC，
又BC 平面ABC，所以FG⊥BC.
又EF∩FG＝F，EF，FG 平面EFG，所以BC⊥平面EFG，
又EG 平面EFG，所以BC⊥EG，
所以∠EGF是二面角E BC D的平面角．
因为∠ABC＝90°，AB＝BC＝，
所以AC＝＝2，
又因为∠ACD＝90°，∠CAD＝30°，
所以tan ∠CAD＝＝，所以CD＝2.
在Rt△EFG中，EF＝AB＝，FG＝CD＝1，
则EG＝＝，
所以sin ∠EGF＝＝，
即二面角E BC D的正弦值为.
类型一 异面直线所成的角
求异面直线所成的角，可通过多种方法平移产生三角形，主要有三种方法：(1)直接平移法(可利用图中已有的平行线)；(2)中位线平移法；(3)补形平移法(在已知图形中，补作一个相同的几何体，以便找到平行线).
INCLUDEPICTURE "典例1LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "典例1LLL.TIF" \* MERGEFORMAT 如图，在每个面都为等边三角形的四面体S ABC中，若点E，F分别为SC，AB的中点，试求异面直线EF与SA所成的角．
INCLUDEPICTURE "25SX-113.TIF" INCLUDEPICTURE "25SX-113.TIF" \* MERGEFORMAT
【解】 如图，连接CF，SF，
INCLUDEPICTURE "25SX-114.TIF" INCLUDEPICTURE "25SX-114.TIF" \* MERGEFORMAT
设四面体S ABC的棱长为a，
则SF＝CF＝a.
因为E为SC的中点，
所以EF⊥SC.
在Rt△SEF中，SE＝SC＝a，
所以EF＝＝a.
取SB的中点为D，连接ED，FD，则FD∥SA，所以∠DFE(或其补角)为异面直线EF与SA所成的角．因为BC＝SA＝a，
而FD∥SA，且FD＝SA，ED∥CB，
且ED＝CB，
所以FD＝ED＝a，
所以FD2＋ED2＝EF2.
故△DEF是等腰直角三角形，可得∠DFE＝45°，
即异面直线EF与SA所成的角是45°.
类型二 直线与平面所成的角
求斜线和平面所成的角的步骤：
(1)作(或找)：作(或找)出斜线在平面上的射影，作射影要过斜线上斜足以外的一点作平面的垂线，再过垂足和斜足作直线，注意斜线上点的选取以及垂足的位置要与题目中已知量有关，这样才能便于计算．
(2)证：证明某平面角就是斜线和平面所成的角．
(3)算：通常在垂线段、斜线和射影所组成的直角三角形中计算．
INCLUDEPICTURE "典例2LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "典例2LLL.TIF" \* MERGEFORMAT (1)《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称为阳马．已知在阳马P ABCD中，侧棱PA⊥底面ABCD，且PA＝AB＝AD＝1，则直线PD与平面PAC所成的角的正弦值为( )
A． B．
C． D．
(2)(多选)已知正方体ABCD A1B1C1D1，则下列说法正确的是( )
A．直线BC1与DA1所成的角为90°
B．直线BC1与CA1所成的角为90°
C．直线BC1与平面BB1D1D所成的角为45°
D．直线BC1与平面ABCD所成的角为45°
INCLUDEPICTURE "25SX-115.TIF" INCLUDEPICTURE "25SX-115.TIF" \* MERGEFORMAT
【解析】 (1)如图，连接BD，AC交于点O，由题知，四边形ABCD为正方形，则DO⊥AC.连接PO，因为PA⊥平面ABCD，DO 平面ABCD，所以PA⊥DO，而PA∩AC＝A，PA，AC 平面PAC，则DO⊥平面PAC，于是∠DPO即为直线PD与平面PAC所成的角．因为PA＝AD＝1，PA⊥AD，所以PD＝＝.易得DO＝DB＝×＝，所以sin ∠DPO＝＝，即直线PD与平面PAC所成的角的正弦值为.
INCLUDEPICTURE "25SX-116.TIF" INCLUDEPICTURE "25SX-116.TIF" \* MERGEFORMAT
(2)如图，连接AD1，在正方形A1ADD1中，AD1⊥DA1，因为AD1∥BC1，所以BC1⊥DA1，所以直线BC1与DA1所成的角为90°，故A正确；
在正方体ABCD A1B1C1D1中，CD⊥平面BCC1B1，又BC1 平面BCC1B1，所以CD⊥BC1.连接B1C，则B1C⊥BC1.因为CD∩B1C＝C，CD，B1C 平面DCB1A1，所以BC1⊥平面DCB1A1，又CA1 平面DCB1A1，所以BC1⊥CA1，所以直线BC1与CA1所成的角为90°，故B正确；
连接A1C1，与B1D1交于点O，则易得OC1⊥平面BB1D1D，连接OB.因为OB 平面BB1D1D，所以OC1⊥OB，∠OBC1为直线BC1与平面BB1D1D所成的角．设正方体的棱长为a，则易得BC1＝a，OC1＝，所以在Rt△BOC1中，OC1＝BC1，所以∠OBC1＝30°，故C错误；
因为C1C⊥平面ABCD，所以∠CBC1为直线BC1与平面ABCD所成的角，易得∠CBC1＝45°，故D正确．
【答案】 (1)A (2)ABD
类型三 二面角
角度1 定义法
在二面角的棱上找一个特殊点，在两个半平面内分别作垂直于棱的射线．如图，∠AOB为二面角α l β的平面角．
INCLUDEPICTURE "M24-1.TIF" INCLUDEPICTURE "M24-1.TIF" \* MERGEFORMAT
INCLUDEPICTURE "典例3lll.TIF" INCLUDEPICTURE "典例3lll.TIF" \* MERGEFORMAT 如图，在三棱锥V ABC中，VA＝AB＝VB＝AC＝BC＝2，VC＝，求二面角V AB C的大小．
INCLUDEPICTURE "25SX-118.TIF" INCLUDEPICTURE "25SX-118.TIF" \* MERGEFORMAT
【解】 取AB的中点D，连接VD，CD，
INCLUDEPICTURE "25SX-119.TIF" INCLUDEPICTURE "25SX-119.TIF" \* MERGEFORMAT
因为在△VAB中，
VA＝VB＝AB＝2，
所以△VAB为等边三角形，
所以VD⊥AB且VD＝，
同理CD⊥AB，CD＝，
所以∠VDC为二面角V AB C的平面角，且VD＝CD＝VC＝，
所以△VDC是等边三角形，∠VDC＝60°，
所以二面角V AB C的大小为60°.
角度2 垂面法
过二面角的棱上一点作二面角的棱的垂直平面，该平面与二面角的两个半平面各有一条交线，这两条交线所成的角即二面角的平面角．如图，∠AOB为二面角α l β的平面角．
INCLUDEPICTURE "25SX-120.TIF" INCLUDEPICTURE "25SX-120.TIF" \* MERGEFORMAT
INCLUDEPICTURE "典例4LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "典例4LLL.TIF" \* MERGEFORMAT 如图，将正方形A1BCD折成直二面角A BD C，则二面角A CD B的余弦值为( )
INCLUDEPICTURE "25SX-121.TIF" INCLUDEPICTURE "25SX-121.TIF" \* MERGEFORMAT
A． B． C． D．
【解析】 由题知平面ABD⊥平面BCD.如图，连接A1C交BD于点O，连接AO，则AO⊥BD，
INCLUDEPICTURE "25SX-122.TIF" INCLUDEPICTURE "25SX-122.TIF" \* MERGEFORMAT
因为平面ABD∩平面BCD＝BD，AO 平面ABD，
所以AO⊥平面BCD，CD 平面BCD，
所以AO⊥CD.
取CD的中点M，连接OM，AM，
则OM∥BC，
所以OM⊥CD，OM，AO 平面AOM，
OM∩AO＝O，
所以CD⊥平面AOM，
所以∠AMO即为二面角A CD B的平面角．
不妨设正方形A1BCD的边长为2，
则AO＝，OM＝1，
所以AM＝＝.
所以cos ∠AMO＝＝.
【答案】 B
角度3 垂线法
过二面角的一个面内异于棱上的点A向另一个平面作垂线，垂足为B，由点B向二面角的棱作垂线，垂足为O，连接AO，则∠AOB为二面角的平面角或其补角．如图，∠AOB为二面角α l β的平面角．
INCLUDEPICTURE "M24-6.TIF" INCLUDEPICTURE "M24-6.TIF" \* MERGEFORMAT
INCLUDEPICTURE "典例5LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "典例5LLL.TIF" \* MERGEFORMAT 如图，平面β内一条直线AC与平面α所成的角为30°，AC与棱BD所成的角为45°，求二面角α BD β的大小．
INCLUDEPICTURE "M24-7.TIF" INCLUDEPICTURE "M24-7.TIF" \* MERGEFORMAT
【解】 如图，过点A作AE⊥平面α，E为垂足，作EF⊥BD，F为垂足，连接AF，CE，因为BD 平面α，所以AE⊥BD，
INCLUDEPICTURE "M24-8.TIF" INCLUDEPICTURE "M24-8.TIF" \* MERGEFORMAT
因为EF∩AE＝E，EF，AE 平面AEF，
所以BD⊥平面AEF，AF 平面AEF，
所以BD⊥AF，
所以∠AFE为二面角α BD β的平面角．
依题意知∠ACF＝45°，∠ACE＝30°，
设AC＝2，所以AF＝CF＝，AE＝1，
所以sin ∠AFE＝＝＝，
易知∠AFE∈(0，)，所以∠AFE＝45°.
所以二面角α BD β的大小为45°.
【尝试训练】
1．在三棱柱ABC A1B1C1中，AA1⊥AB，AA1⊥AC.若AB＝AC＝AA1＝1，BC＝，则异面直线A1C与B1C1所成的角为( )
INCLUDEPICTURE "25SX-123.TIF" INCLUDEPICTURE "25SX-123.TIF" \* MERGEFORMAT
A．60° B．30° C．90° D．45°
解析：选A.因为几何体是棱柱，BC∥B1C1，则异面直线A1C与BC所成的角就是异面直线A1C与B1C1所成的角．
在三棱柱ABC A1B1C1中，AA1⊥AB，AA1⊥AC，连接BA1(图略)，因为AB＝AC＝AA1＝1，
所以BA1＝，CA1＝，又BC＝.
所以△BCA1是等边三角形，
所以异面直线A1C与B1C1所成的角为60°.
2．在正方体ABCD A1B1C1D1中，BB1和平面ACD1所成角的余弦值为( )
A． B． C． D．
INCLUDEPICTURE "25SX-124.TIF" INCLUDEPICTURE "25SX-124.TIF" \* MERGEFORMAT
解析：选D.如图，不妨设正方体的棱长为1，上、下底面的中心分别为O1，O，连接OD1，OO1，O1D1，则OO1∥BB1，O1O和平面ACD1所成的角就是BB1和平面ACD1所成的角，即∠O1OD1，在Rt△OO1D1中，cos ∠O1OD1＝＝＝.
3．(2023·全国乙卷)已知△ABC为等腰直角三角形，AB为斜边，△ABD为等边三角形．若二面角C AB D为150°，则直线CD与平面ABC所成角的正切值为( )
A． B． C． D．
INCLUDEPICTURE "25SX-125.TIF" INCLUDEPICTURE "25SX-125.TIF" \* MERGEFORMAT
解析：选C.如图，取AB的中点O，连接OC，OD，则AB⊥OC，AB⊥OD，∠DOC＝150°，过D作DE⊥OC，交CO的延长线于点E，易知DE⊥平面ABC，设OA＝2，则OC＝2，OD＝2，OE＝3，DE＝，所以tan ∠DCE＝＝.所以直线CD与平面ABC所成角的正切值为.故选C.
4．如图1所示，∠ABC＝∠ACD＝90°，AB＝BC＝，∠CAD＝30°，如图2所示，把△ABC沿AC折起，使平面ABC⊥平面ACD，E为AD的中点，连接BD，BE，EC.
(1)求证：平面ABD⊥平面BCD；
(2)求二面角E BC D的正弦值．
INCLUDEPICTURE "25SX-126.TIF" INCLUDEPICTURE "25SX-126.TIF" \* MERGEFORMAT
解：(1)证明：因为平面ABC⊥平面ACD，平面ABC∩平面ACD＝AC, CD⊥AC，CD 平面ACD，
所以CD⊥平面ABC，又AB 平面ABC，
所以AB⊥CD.
又AB⊥BC，BC∩CD＝C，BC，CD 平面BCD，
所以AB⊥平面BCD，又AB 平面ABD，
所以平面ABD⊥平面BCD.
INCLUDEPICTURE "25SX-127.TIF" INCLUDEPICTURE "25SX-127.TIF" \* MERGEFORMAT
(2)如图，分别取BD，BC的中点F，G，连接EF，FG，EG.
因为E为AD的中点，
所以EF∥AB.
因为AB⊥平面BCD，
所以EF⊥平面BCD，
又BC 平面BCD，所以EF⊥BC.
易知FG∥CD，又CD⊥平面ABC，
所以FG⊥平面ABC，
又BC 平面ABC，所以FG⊥BC.
又EF∩FG＝F，EF，FG 平面EFG，所以BC⊥平面EFG，
又EG 平面EFG，所以BC⊥EG，
所以∠EGF是二面角E BC D的平面角．
因为∠ABC＝90°，AB＝BC＝，
所以AC＝＝2，
又因为∠ACD＝90°，∠CAD＝30°，
所以tan ∠CAD＝＝，所以CD＝2.
在Rt△EFG中，EF＝AB＝，FG＝CD＝1，
则EG＝＝，
所以sin ∠EGF＝＝，
即二面角E BC D的正弦值为.