强化课　课后达标检测（教师版）

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一、选择题
1．已知三条直线l1，l2，l3满足l1∥l2且l2⊥l3，则l1与l3(　　)
A．平行 B．垂直 C．共面 D．异面
解析：选B.若l1∥l2且l2⊥l3，根据空间直线垂直的定义，可得l1⊥l3，不平行，有可能共面，也有可能异面．故选B.
2．已知平面α，β，γ，α∩β＝l，β∩γ＝m，γ∩α＝n.则“l，m，n两两垂直”是“α，β，γ两两垂直”的(　　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
解析：选C.当α，β，γ两两垂直时，在β内作a⊥l，在γ内作b⊥n，
则a⊥α，b⊥α，所以a∥b，
因为a γ，b γ，所以a∥γ，
因为a β，β∩γ＝m，所以a∥m，
因为a⊥α，所以m⊥α，
因为l，n α，所以m⊥l，m⊥n，
同理可证得n⊥l，所以l，m，n两两垂直，必要性成立；
INCLUDEPICTURE "25SR39.TIF"
当l，m，n两两垂直时，因为α∩β＝l，β∩γ＝m，γ∩α＝n，
所以n，l α，l，m β，
m，n γ，
因为m⊥n，所以m与n是相交直线，
又l⊥m，l⊥n，m，n γ，所以l⊥γ，
因为l α，l β，所以α⊥γ，β⊥γ，
同理可证得α⊥β，所以α，β，γ两两垂直，充分性成立，
所以“l，m，n两两垂直”是“α，β，γ两两垂直”的充要条件．
3．已知α，β，γ表示三个不同的平面，a，b，c表示三条不同直线，则使“a∥b∥c”成立的一个充分条件是(　　)
A．a⊥α，b⊥β，c⊥γ，且α⊥β，β⊥γ，γ⊥α
B．a∥α，b∥β，c∥γ，且α∥β∥γ
C．α∩β＝a，β∩γ＝b，γ∩α＝c
D．α∩β＝a，b α，c β，b∥c
解析：选D.对于A.由α⊥β，a⊥α，b⊥β，得a⊥b，不能推出a∥b，故A错误；对于B，当α∥β，a∥α，b∥β时，有可能出现a∥b，a⊥b，a与b相交或异面的情况，所以不一定推得a∥b，故B错误；对于C，当平面α，β，γ为正方体中有同一个顶点的三个面时，a，b，c交于一点，所以不一定推得a∥b，故C错误；对于D，因为b α，α∩β＝a，所以b β，又b∥c，c β，所以b∥β，又b α，α∩β＝a，所以b∥a，同理c∥a，所以a∥b∥c，则充分性成立，故D正确．
4.(2024·丹东月考)如图，在四棱柱ABCD A1B1C1D1中，平面ABB1A1∥平面CDD1C1，且AF∥EC1，则四边形AEC1F的形状是(　　)
INCLUDEPICTURE "m24-28.TIF"
A．平行四边形 B．矩形
C．菱形 D．正方形
解析：选A.因为AF∥EC1，所以A，F，C1，E四点共面．因为平面ABB1A1∥平面CDD1C1，平面ABB1A1∩平面AEC1F＝AE，平面CDD1C1∩平面AEC1F＝C1F，所以AE∥C1F，所以四边形AEC1F为平行四边形．故选A.
5．在边长为2的正方形ABCD中，AC与BD交于点O，将正方形ABCD沿对角线BD折成60°的二面角A BD C，则△AOC的面积为(　　)
A． B．
C． D．2
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解析：选B.如图，由正方形性质得AO＝CO＝＝，AO⊥BD，CO⊥BD，所以∠AOC＝60°，所以△AOC的面积为S＝AO·CO·sin 60°＝.
6．已知在正三棱柱ABC A1B1C1中，M为棱BB1上一点，若平面MA1C⊥平面AA1C1C时，BM＝λB1M，则λ＝(　　)
A． B．1 C． D．2
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解析：选B.如图，分别取A1C，AC的中点为O，D，连接OD，OM，BD，所以由正三棱柱的性质易知当M为B1B的中点时，四边形BMOD为平行四边形，则OM∥BD，易证BD⊥平面AA1C1C，所以OM⊥平面AA1C1C，又因为OM 平面MA1C，所以平面MA1C⊥平面AA1C1C，即当λ＝＝1时，两平面垂直．
INCLUDEPICTURE "24XH29.TIF"
7．如图，在长方体ABCD A1B1C1D1中，AB＝AA1＝2BC＝2，在平面DCC1D1中作以棱CD为直径的半圆，且点E在半圆上(不含点C，D)，连接AE，BE，CE，DE，则下列说法错误的是(　　)
A．平面ADE⊥平面DCC1D1
B．平面ADE⊥平面BCE
C．D1C1∥平面ABE
D．四棱锥E ABCD的体积的最大值为
解析：选D.由题意知，AD⊥平面DCC1D1，AD 平面ADE，所以平面ADE⊥平面DCC1D1，故A正确；线段CD是半圆的直径，所以DE⊥EC，因为AD⊥平面DCC1D1，EC 平面DCC1D1，所以AD⊥EC，又AD∩DE＝D，AD，DE 平面ADE，所以EC⊥平面ADE，因为EC 平面BCE，所以平面ADE⊥平面BCE，故B正确；因为D1C1∥AB，AB 平面ABE，D1C1 平面ABE，所以D1C1∥平面ABE，故C正确；易知当E为的中点时，四棱锥E ABCD的体积最大，最大值为×2×1×1＝，故D错误．故选D.
8．(多选)已知α，β是两个不同的平面，l是一条直线，则下列命题中正确的是(　　)
A．若α∥β，l∥β，则l∥α
B．若l⊥α，l⊥β，则α∥β
C．若l⊥α，l∥β，则α⊥β
D．若α⊥β，l∥β，则l⊥α
解析：
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选BC.对于A，若α∥β，l∥β，则l∥α或l α，故A错误；对于B，若l⊥α，l⊥β，则α∥β，故B正确；对于C，如图，若l⊥α，l∥β，过l的平面γ与β相交，设交线为m，因为l∥β，l γ，β∩γ＝m，则l∥m，因为l⊥α，则m⊥α，因为m β，故α⊥β，故C正确；对于D，若α⊥β，l∥β，则l与α不一定垂直，故D错误．故选BC.
9.(多选)如图，AB是圆柱的一条母线，MN为圆柱底面圆的直径，P，Q分别为AB，AN的中点，则下列说法正确的是(　　)
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A．PQ∥平面BMN
B．PQ⊥PM
C．平面ABM⊥平面PQM
D．平面PQM⊥平面NQM
解析：选ABC.因为P，Q分别为AB，AN的中点，则PQ∥BN，又BN 平面BMN，PQ 平面BMN，所以PQ∥平面BMN，A正确；由AB是圆柱的一条母线可知AB⊥平面BMN，又BN 平面BMN，则AB⊥BN，因为MN为圆柱底面圆的直径，所以BM⊥BN，AB∩BM＝B，AB，BM 平面ABM，则BN⊥平面ABM，又PM 平面ABM，则BN⊥PM，又PQ∥BN，则PQ⊥PM，B正确；由B项知BN⊥平面ABM，又PQ∥BN，则PQ⊥平面ABM，又PQ 平面PQM，故平面ABM⊥平面PQM，C正确；平面PQM与平面NQM二面角的大小与圆柱的高和底面半径有关，不一定垂直，D错误．
10．(多选)如图，在正方体ABCD A1B1C1D1中，M，N分别为AC，A1B的中点，则下列说法中正确的是(　　)
INCLUDEPICTURE "25sr40.TIF"
A．MN∥平面ADD1A1
B．MN⊥AB
C．直线MN与平面ABCD所成的角为60°
D．异面直线MN与DD1所成的角为45°
解析：选ABD.
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对于A，在正方体ABCD A1B1C1D1中，取棱AD，AA1的中点E，F，连接ME，EF，NF，由M，N分别为AC，A1B的中点，则ME∥CD∥AB∥NF，ME＝CD＝AB＝NF，
因此四边形MEFN为平行四边形，则EF∥MN，而EF 平面ADD1A1，
MN 平面ADD1A1，则MN∥平面ADD1A1，A正确；
对于B，由AB⊥平面ADD1A1，EF 平面ADD1A1，得AB⊥EF，则MN⊥AB，B正确；
对于C，显然AF⊥平面ABCD，则∠FEA是EF与平面ABCD所成的角，又AE＝AF，∠EAF＝90°，
则∠FEA＝45°，又EF∥MN，则直线MN与平面ABCD所成的角为45°，C错误；
对于D，AA1∥DD1，EF∥MN，则∠AFE是异面直线MN与DD1所成的角，显然∠AFE＝45°，D正确．故选ABD.
二、填空题
11.(2024·大连月考)如图，在直三棱柱ABC A1B1C1中，D为AA1的中点，点P在侧面BCC1B1上运动，当点P满足条件________时，A1P∥平面BCD.(填一个满足题意的条件即可)
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解析：取CC1的中点P，连接A1P(图略).因为D为AA1的中点，所以A1P∥CD.因为A1P 平面BCD，CD 平面BCD，所以A1P∥平面BCD.所以当点P是CC1的中点时，A1P∥平面BCD.
答案：P是CC1的中点(答案不唯一)
12．已知正方体ABCD A1B1C1D1的棱长为2，M是棱CC1的中点，空间中的动点P满足DP⊥BM，且D1P＝1，则动点P的轨迹长度为__________．
解析：
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如图，分别取A1D1，B1C1的中点E，F，连接DE，EF，CF，
因为CD⊥平面BCC1B1，
BM 平面BCC1B1，
所以BM⊥CD，
在Rt△BCM，Rt△CC1F中，BC＝CC1，CM＝C1F，∠BCM＝∠CC1F＝90°，
所以Rt△BCM≌Rt△CC1F，
所以∠CBM＝∠FCC1，
又∠BCM＝∠BCF＋∠FCC1＝90°，
所以∠BCF＋∠CBM＝90°，
所以BM⊥CF，
又CF∩CD＝C，CF，CD 平面CDEF，
所以BM⊥平面CDEF，
由DP⊥BM，得点P在平面CDEF内，
由D1P＝1，得点P在以D1为球心，半径为1的球面上，
因此动点P的轨迹为平面CDEF与球D1的球面的交线，即在平面CDEF内的圆，
连接DF，设点D1到平面DEF的距离为h，平面DEF截球D1所得截面圆的半径为r，
则由V三棱锥D1 DEF＝V三棱锥F DED1，
得h·S△DEF＝×2××2×1，
且S△DEF＝×2×＝，所以h＝，
则r＝＝，
因此动点P的轨迹长度为.
答案：
13．已知二面角α l β的平面角是120°，在平面α内，AB⊥l于点B，AB＝2，在平面β内，CD⊥l于点D，CD＝3，BD＝1，M是棱l上的一个动点，则AM＋CM的最小值是________．
INCLUDEPICTURE "24XH34.TIF"
解析：将二面角α l β展开，如图所示，当A，M，C在一条直线上时，AM＋CM有最小值，最小值为对角线AC的长，因为AE＝2＋3＝5，CE＝BD＝1，所以AC＝＝.
答案：
14.如图，已知在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝3，点E是边CD上的动点(不包含点D)，将△ADE沿AE折起至△PAE的位置，使得平面PAB⊥平面ABCE，过P作PG⊥AB，垂足为G，则AG的取值范围为____________．
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解析：
INCLUDEPICTURE "25SX-142.TIF"
设AG＝x，DE＝y(0答案：
三、解答题
15．如图所示，在四棱锥P ABCD中，底面ABCD是边长为a的正方形，E，F分别为PC，BD的中点，侧面PAD⊥底面ABCD，且PA＝PD＝AD.求证：
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(1)EF∥平面PAD；
(2)平面PAB⊥平面PCD.
证明：(1)连接AC(图略)，则F是AC的中点，又E为PC的中点，故在△CPA中，EF∥PA，又PA 平面PAD，EF 平面PAD，所以EF∥平面PAD.
(2)因为平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，CD⊥AD，CD 平面ABCD，所以CD⊥平面PAD，因为PA 平面PAD，所以CD⊥PA.
又PA＝PD＝AD，所以∠APD＝90°，
即PA⊥PD.
又CD∩PD＝D，CD，PD 平面PCD，
所以PA⊥平面PCD.
又PA 平面PAB，所以平面PAB⊥平面PCD.
16．如图1，在梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝2，∠A＝60°，∠ABD＝90°，∠CBD＝45°，将△ABD沿边BD翻折至△A′BD，使得A′C＝2，如图2，过点B作一平面与A′C垂直，分别交A′D，A′C于点E，F.
INCLUDEPICTURE "25SX-144.TIF"
(1)求证：BE⊥平面A′CD；
(2)求点F到平面A′BD的距离．
解：(1)证明：在题图1中，
因为AB∥CD，AB＝2，∠A＝60°，
∠ABD＝90°，∠CBD＝45°，
所以AD＝4，BD＝CD＝2.
在题图2中，因为A′D＝4，CD＝2，A′C＝2，
所以A′D2＋CD2＝A′C2，所以CD⊥A′D.
因为CD⊥BD，且A′D∩BD＝D，A′D，BD 平面A′BD，所以CD⊥平面A′BD，
又因为BE 平面A′BD，所以CD⊥BE.
因为A′C⊥平面BEF，且BE 平面BEF，
所以BE⊥A′C，
又因为A′C∩CD＝C，且A′C，CD 平面A′CD，所以BE⊥平面A′CD.
(2)过点F作FG⊥A′D，垂足为G，如图所示．
INCLUDEPICTURE "25SX-145.TIF"
由(1)知BE⊥平面A′CD，　
而FG 平面A′CD，
所以BE⊥FG，
又A′D∩BE＝E，A′D，BE 平面A′BD，
所以FG⊥平面A′BD，
则垂线段FG的长度即为点F到平面A′BD的距离．
在△A′BC中，A′B＝2，BC＝2，A′C＝2，
所以A′B2＋BC2＝A′C2，所以BC⊥A′B，
由已知得BF⊥A′C，则易得A′F＝.
由(1)知CD⊥A′D，
所以＝，
所以FG＝，
即点F到平面A′BD的距离为.
17．如图所示，四棱锥S ABCD的底面ABCD是正方形，每条侧棱的长都是底面边长的倍，P为侧棱SD上的点．
INCLUDEPICTURE "25SX-146.TIF"
(1)求证：AC⊥SD；
(2)若SD⊥平面PAC，则侧棱SC上是否存在一点E，使得BE∥平面PAC？若存在，求SE∶EC的值；若不存在，试说明理由．
解：(1)证明：如图，连接BD，交AC于点O，连接SO，则点O是正方形ABCD的中心．
因为SA＝SC，所以SO⊥AC.
又AC⊥BD，BD，SO 平面SBD，BD∩SO＝O，
所以AC⊥平面SBD.
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又SD 平面SBD，所以AC⊥SD.
(2)在SP上取点N，使得PN＝PD，过N作NE∥PC，交SC于点E，连接BN，BE，OP.
由SD⊥平面PAC，OP 平面PAC，
得SD⊥OP.
设正方形ABCD的边长为a，
则SD＝a，OD＝a，
所以SO＝＝a.
由S△SOD＝SO·OD＝SD·PO，
得PO＝a，则PD＝＝a.
因为P是ND的中点，O是BD的中点，
所以BN∥OP.
又PO 平面PAC，BN 平面PAC，
故BN∥平面PAC.
又NE∥PC，PC 平面PAC，NE 平面PAC，
所以NE∥平面PAC.
又BN∩NE＝N，BN，NE 平面BNE，所以平面BNE∥平面PAC.
又BE 平面BNE，
所以BE∥平面PAC.
SN＝a－2×a＝a，又NE∥PC，
所以SE∶EC＝SN∶NP＝a∶a＝2∶1.
综上，存在满足题意的点E，且SE∶EC＝2∶1.