强化课 平行与垂直的综合应用（教师版）
文档属性
| 名称 | 强化课 平行与垂直的综合应用（教师版） |
|
|
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 384.5KB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教B版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2026-02-27 00:00:00 | ||
图片预览
文档简介
INCLUDEPICTURE "强化课LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "强化课LLL.TIF" \* MERGEFORMAT 平行与垂直的综合应用
题型一 平行、垂直关系的相互转化
INCLUDEPICTURE "例1LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "例1LLL.TIF" \* MERGEFORMAT 如图，在四棱锥P ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，CD＝2AB，平面PAD⊥底面ABCD，E，F分别是CD，PC的中点．求证：
INCLUDEPICTURE "25SR70.TIF" INCLUDEPICTURE "25SR70.TIF" \* MERGEFORMAT
(1)BE∥平面PAD；
(2)CD⊥平面BEF.
【证明】 (1)因为CD＝2AB，E为CD的中点，
所以AB＝DE，又AB∥CD，
所以四边形ABED为平行四边形，则AD∥BE.
因为AD 平面PAD，BE 平面PAD，
所以BE∥平面PAD.
(2)由AB∥CD，AB⊥AD，得CD⊥AD，
因为平面PAD⊥底面ABCD，平面PAD∩底面ABCD＝AD，CD 底面ABCD，
所以CD⊥平面PAD.
因为E，F分别为CD，PC的中点，所以EF∥PD，
又EF 平面PAD，PD 平面PAD，
所以EF∥平面PAD.
由(1)得BE∥平面PAD，又因为BE∩EF＝E，BE，EF 平面BEF，
所以平面BEF∥平面PAD，
所以CD⊥平面BEF.
INCLUDEPICTURE "解题技法LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "解题技法LLL.TIF" \* MERGEFORMAT
(1)平行、垂直关系的相互转化
INCLUDEPICTURE "M24-16.TIF" INCLUDEPICTURE "M24-16.TIF" \* MERGEFORMAT
(2)证明空间线面平行或垂直的三个注意点
①由已知想性质，由求证想判定．
②适当添加辅助线(或面)是常用的解题方法之一．
③用定理时要先明确条件，再由定理得出相应结论．
[跟踪训练1] 已知在直三棱柱ABC A1B1C1中，A1B1＝A1C1，D，E分别是棱BC，CC1上的点(点D不同于点C)，且AD⊥DE，F为B1C1的中点．
求证：(1)平面ADE⊥平面BCC1B1；
(2)直线A1F∥平面ADE.
证明：(1)因为ABC A1B1C1是直三棱柱，
所以CC1⊥平面ABC.
又AD 平面ABC，所以CC1⊥AD.
又因为AD⊥DE，CC1，DE 平面BCC1B1，
CC1∩DE＝E，所以AD⊥平面BCC1B1.
又AD 平面ADE，
所以平面ADE⊥平面BCC1B1.
(2)因为A1B1＝A1C1，F为B1C1的中点，
所以A1F⊥B1C1.
因为CC1⊥平面A1B1C1，且A1F 平面A1B1C1，
所以CC1⊥A1F.
又因为CC1，B1C1 平面BCC1B1，
CC1∩B1C1＝C1，
所以A1F⊥平面BCC1B1.
由(1)知AD⊥平面BCC1B1，
所以A1F∥AD.
又AD 平面ADE，A1F 平面ADE，
所以A1F∥平面ADE.
题型二 翻折问题
INCLUDEPICTURE "例2LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "例2LLL.TIF" \* MERGEFORMAT 如图1，在梯形ABCD中，AD∥BC，AD⊥CD，线段AD上有一点E，满足CD＝DE＝1，AE＝BC＝2.现将△ABE，△CDE分别沿BE，CE折起，使AD＝，BD＝，得到如图2所示的几何体，求证：AB∥CD.
INCLUDEPICTURE "25SX-129.TIF" INCLUDEPICTURE "25SX-129.TIF" \* MERGEFORMAT
【证明】 在Rt△EDC中，CD＝DE＝1，所以EC＝，∠DEC＝∠ECB＝45°.在△BEC中，EC＝，BC＝2，∠ECB＝45°，由余弦定理得BE＝ ＝，所以EC2＋BE2＝BC2，所以BE⊥EC.同理可得，在△ABE中，AB＝，且AB⊥BE.在△ABD中，因为AB2＋BD2＝AD2，所以AB⊥BD.因为BD∩BE＝B，BD，BE 平面BDE，所以AB⊥平面BDE.在Rt△EDC中，ED⊥CD.在△BDC中，因为BD2＋CD2＝BC2，所以BD⊥CD.又ED∩BD＝D，ED，BD 平面BDE，所以CD⊥平面BDE，所以AB∥CD.
INCLUDEPICTURE "解题技法LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "解题技法LLL.TIF" \* MERGEFORMAT
求解翻折问题的步骤
INCLUDEPICTURE "M24-21.TIF" INCLUDEPICTURE "M24-21.TIF" \* MERGEFORMAT
[跟踪训练2] (1)如图所示，△ABC是等腰直角三角形，AB＝AC，在△BCD中，∠BCD＝90°且BC＝3.将△ABC沿BC边翻折，设点A在平面BCD内的射影为点M.若AM＝，则( )
INCLUDEPICTURE "25SX-132.TIF" INCLUDEPICTURE "25SX-132.TIF" \* MERGEFORMAT
A．平面ABD⊥平面BCD
B．平面ABC⊥平面ABD
C．AB⊥CD
D．AC⊥BD
INCLUDEPICTURE "25SX-133.TIF" INCLUDEPICTURE "25SX-133.TIF" \* MERGEFORMAT
解析：选C.因为AM＝，△ABC是等腰直角三角形且BC＝3，所以点M是BC边上的中点，则翻折后如图所示．因为点A在平面BCD内的射影为点M，所以AM⊥平面BCD.又CD 平面BCD，所以AM⊥CD.因为∠BCD＝90°，所以CD⊥BC.又AM∩BC＝M，AM，BC 平面ABC，所以CD⊥平面ABC.又AB 平面ABC，所以AB⊥CD.
(2)若E，F分别是正三角形A′BC的边A′B，A′C 的中点，沿EF把正三角形折成60°的二面角(如图)，则∠ABC的正切值为( )
INCLUDEPICTURE "25SX-130.TIF" INCLUDEPICTURE "25SX-130.TIF" \* MERGEFORMAT
A． B．
C． D．
解析：选B.如图所示，取BC的中点M，连接A′M，交EF于点N，连接AN，AM，AC.因为△A′BC为正三角形，则A′M⊥BC，又点E，F分别是△A′BC的边A′B，A′C的中点，则MN⊥EF，A′N⊥EF，所以AN⊥EF，可证得EF⊥平面AMN，又AM 平面AMN，则EF⊥AM，所以AM⊥BC，所以二面角A EF B的平面角为∠ANM＝60°，而A′N＝MN＝AN，所以△AMN为等边三角形．设等边三角形A′BC的边长为2a，则AM＝AN＝A′M＝a，所以tan ∠ABC＝＝.
INCLUDEPICTURE "25SX-131.TIF" INCLUDEPICTURE "25SX-131.TIF" \* MERGEFORMAT
题型三 探索性问题
INCLUDEPICTURE "例3lll.TIF" INCLUDEPICTURE "例3lll.TIF" \* MERGEFORMAT 如图，在正三棱柱ABC A1B1C1中，AB＝2，AA1＝，E，F分别为棱AB和BC的中点．
INCLUDEPICTURE "25SX-134.TIF" INCLUDEPICTURE "25SX-134.TIF" \* MERGEFORMAT
(1)求直线BC1与平面ABB1A1所成的角的正弦值；
(2)在线段CC1是否存在一点M，使得平面MEF∥平面A1BC1？若存在，请指出点M的位置并证明；若不存在，请说明理由．
【解】 (1)如图1，取A1B1的中点D，连接BD，C1D.在正三棱柱ABC A1B1C1中，C1D⊥A1B1，AA1⊥平面A1B1C1.
因为C1D 平面A1B1C1，所以AA1⊥C1D.
因为AA1∩A1B1＝A1，AA1，A1B1 平面ABB1A1，所以C1D⊥平面ABB1A1，
所以∠C1BD即直线BC1与平面ABB1A1所成的角．
因为AB＝2，AA1＝，
所以C1D＝，BC1＝＝，
所以sin ∠C1BD＝＝，
即直线BC1与平面ABB1A1所成的角的正弦值为.
INCLUDEPICTURE "25SX-135.TIF" INCLUDEPICTURE "25SX-135.TIF" \* MERGEFORMAT
(2)当M为CC1的中点时，平面MEF∥平面A1BC1.
证明如下：
取CC1的中点为M，连接ME，MF，如图2，
因为E，F分别是AB和BC的中点，所以MF∥BC1，EF∥AC.
因为MF 平面A1BC1，BC1 平面A1BC1，
所以MF∥平面A1BC1.
因为AC∥A1C1，所以EF∥A1C1，
因为EF 平面A1BC1，A1C1 平面A1BC1，
所以EF∥平面A1BC1.
又EF∩MF＝F，EF，MF 平面MEF，
所以平面MEF∥平面A1BC1.
INCLUDEPICTURE "解题技法LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "解题技法LLL.TIF" \* MERGEFORMAT
探索性问题的一般解题方法
先假设其存在，然后把这个假设作为已知条件，和题目的其他已知条件一起进行推理论证和计算．在推理论证和计算无误的前提下，如果得到了一个合理的结论，则说明存在；如果得到了一个不合理的结论，则说明不存在．
[跟踪训练3] 如图，在直三棱柱ABC A1B1C1中，AC＝BC＝1，∠ACB＝90°，AA1＝，D是A1B1的中点．
INCLUDEPICTURE "m24-26.TIF" INCLUDEPICTURE "m24-26.TIF" \* MERGEFORMAT
(1)求证：C1D⊥平面AA1B1B；
(2)当点F在BB1上的什么位置时，会使得AB1⊥平面C1DF？证明你的结论．
解：(1)证明：因为ABC A1B1C1是直三棱柱，
所以A1C1＝B1C1＝1且∠A1C1B1＝90°，
AA1⊥平面A1B1C1.
因为C1D 平面A1B1C1，所以AA1⊥C1D.
因为D是A1B1的中点，所以C1D⊥A1B1.
又A1B1∩AA1＝A1，A1B1，AA1 平面AA1B1B，
所以C1D⊥平面AA1B1B.
INCLUDEPICTURE "m24-27.TIF" INCLUDEPICTURE "m24-27.TIF" \* MERGEFORMAT
(2)如图，作DE⊥AB1于点E，延长DE交BB1于点F，连接C1F，
则AB1⊥平面C1DF，此时点F为BB1中点．
证明如下：由(1)知C1D⊥平面AA1B1B，
AB1 平面AA1B1B，所以C1D⊥AB1.
又AB1⊥DF，DF∩C1D＝D，DF，C1D 平面C1DF，所以AB1⊥平面C1DF.
易知AA1＝A1B1＝，
所以四边形AA1B1B为正方形．
又D为A1B1的中点，DF⊥AB1，
所以F为BB1的中点．
所以当点F为BB1的中点时，
AB1⊥平面C1DF.
题型一 平行、垂直关系的相互转化
INCLUDEPICTURE "例1LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "例1LLL.TIF" \* MERGEFORMAT 如图，在四棱锥P ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，CD＝2AB，平面PAD⊥底面ABCD，E，F分别是CD，PC的中点．求证：
INCLUDEPICTURE "25SR70.TIF" INCLUDEPICTURE "25SR70.TIF" \* MERGEFORMAT
(1)BE∥平面PAD；
(2)CD⊥平面BEF.
【证明】 (1)因为CD＝2AB，E为CD的中点，
所以AB＝DE，又AB∥CD，
所以四边形ABED为平行四边形，则AD∥BE.
因为AD 平面PAD，BE 平面PAD，
所以BE∥平面PAD.
(2)由AB∥CD，AB⊥AD，得CD⊥AD，
因为平面PAD⊥底面ABCD，平面PAD∩底面ABCD＝AD，CD 底面ABCD，
所以CD⊥平面PAD.
因为E，F分别为CD，PC的中点，所以EF∥PD，
又EF 平面PAD，PD 平面PAD，
所以EF∥平面PAD.
由(1)得BE∥平面PAD，又因为BE∩EF＝E，BE，EF 平面BEF，
所以平面BEF∥平面PAD，
所以CD⊥平面BEF.
INCLUDEPICTURE "解题技法LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "解题技法LLL.TIF" \* MERGEFORMAT
(1)平行、垂直关系的相互转化
INCLUDEPICTURE "M24-16.TIF" INCLUDEPICTURE "M24-16.TIF" \* MERGEFORMAT
(2)证明空间线面平行或垂直的三个注意点
①由已知想性质，由求证想判定．
②适当添加辅助线(或面)是常用的解题方法之一．
③用定理时要先明确条件，再由定理得出相应结论．
[跟踪训练1] 已知在直三棱柱ABC A1B1C1中，A1B1＝A1C1，D，E分别是棱BC，CC1上的点(点D不同于点C)，且AD⊥DE，F为B1C1的中点．
求证：(1)平面ADE⊥平面BCC1B1；
(2)直线A1F∥平面ADE.
证明：(1)因为ABC A1B1C1是直三棱柱，
所以CC1⊥平面ABC.
又AD 平面ABC，所以CC1⊥AD.
又因为AD⊥DE，CC1，DE 平面BCC1B1，
CC1∩DE＝E，所以AD⊥平面BCC1B1.
又AD 平面ADE，
所以平面ADE⊥平面BCC1B1.
(2)因为A1B1＝A1C1，F为B1C1的中点，
所以A1F⊥B1C1.
因为CC1⊥平面A1B1C1，且A1F 平面A1B1C1，
所以CC1⊥A1F.
又因为CC1，B1C1 平面BCC1B1，
CC1∩B1C1＝C1，
所以A1F⊥平面BCC1B1.
由(1)知AD⊥平面BCC1B1，
所以A1F∥AD.
又AD 平面ADE，A1F 平面ADE，
所以A1F∥平面ADE.
题型二 翻折问题
INCLUDEPICTURE "例2LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "例2LLL.TIF" \* MERGEFORMAT 如图1，在梯形ABCD中，AD∥BC，AD⊥CD，线段AD上有一点E，满足CD＝DE＝1，AE＝BC＝2.现将△ABE，△CDE分别沿BE，CE折起，使AD＝，BD＝，得到如图2所示的几何体，求证：AB∥CD.
INCLUDEPICTURE "25SX-129.TIF" INCLUDEPICTURE "25SX-129.TIF" \* MERGEFORMAT
【证明】 在Rt△EDC中，CD＝DE＝1，所以EC＝，∠DEC＝∠ECB＝45°.在△BEC中，EC＝，BC＝2，∠ECB＝45°，由余弦定理得BE＝ ＝，所以EC2＋BE2＝BC2，所以BE⊥EC.同理可得，在△ABE中，AB＝，且AB⊥BE.在△ABD中，因为AB2＋BD2＝AD2，所以AB⊥BD.因为BD∩BE＝B，BD，BE 平面BDE，所以AB⊥平面BDE.在Rt△EDC中，ED⊥CD.在△BDC中，因为BD2＋CD2＝BC2，所以BD⊥CD.又ED∩BD＝D，ED，BD 平面BDE，所以CD⊥平面BDE，所以AB∥CD.
INCLUDEPICTURE "解题技法LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "解题技法LLL.TIF" \* MERGEFORMAT
求解翻折问题的步骤
INCLUDEPICTURE "M24-21.TIF" INCLUDEPICTURE "M24-21.TIF" \* MERGEFORMAT
[跟踪训练2] (1)如图所示，△ABC是等腰直角三角形，AB＝AC，在△BCD中，∠BCD＝90°且BC＝3.将△ABC沿BC边翻折，设点A在平面BCD内的射影为点M.若AM＝，则( )
INCLUDEPICTURE "25SX-132.TIF" INCLUDEPICTURE "25SX-132.TIF" \* MERGEFORMAT
A．平面ABD⊥平面BCD
B．平面ABC⊥平面ABD
C．AB⊥CD
D．AC⊥BD
INCLUDEPICTURE "25SX-133.TIF" INCLUDEPICTURE "25SX-133.TIF" \* MERGEFORMAT
解析：选C.因为AM＝，△ABC是等腰直角三角形且BC＝3，所以点M是BC边上的中点，则翻折后如图所示．因为点A在平面BCD内的射影为点M，所以AM⊥平面BCD.又CD 平面BCD，所以AM⊥CD.因为∠BCD＝90°，所以CD⊥BC.又AM∩BC＝M，AM，BC 平面ABC，所以CD⊥平面ABC.又AB 平面ABC，所以AB⊥CD.
(2)若E，F分别是正三角形A′BC的边A′B，A′C 的中点，沿EF把正三角形折成60°的二面角(如图)，则∠ABC的正切值为( )
INCLUDEPICTURE "25SX-130.TIF" INCLUDEPICTURE "25SX-130.TIF" \* MERGEFORMAT
A． B．
C． D．
解析：选B.如图所示，取BC的中点M，连接A′M，交EF于点N，连接AN，AM，AC.因为△A′BC为正三角形，则A′M⊥BC，又点E，F分别是△A′BC的边A′B，A′C的中点，则MN⊥EF，A′N⊥EF，所以AN⊥EF，可证得EF⊥平面AMN，又AM 平面AMN，则EF⊥AM，所以AM⊥BC，所以二面角A EF B的平面角为∠ANM＝60°，而A′N＝MN＝AN，所以△AMN为等边三角形．设等边三角形A′BC的边长为2a，则AM＝AN＝A′M＝a，所以tan ∠ABC＝＝.
INCLUDEPICTURE "25SX-131.TIF" INCLUDEPICTURE "25SX-131.TIF" \* MERGEFORMAT
题型三 探索性问题
INCLUDEPICTURE "例3lll.TIF" INCLUDEPICTURE "例3lll.TIF" \* MERGEFORMAT 如图，在正三棱柱ABC A1B1C1中，AB＝2，AA1＝，E，F分别为棱AB和BC的中点．
INCLUDEPICTURE "25SX-134.TIF" INCLUDEPICTURE "25SX-134.TIF" \* MERGEFORMAT
(1)求直线BC1与平面ABB1A1所成的角的正弦值；
(2)在线段CC1是否存在一点M，使得平面MEF∥平面A1BC1？若存在，请指出点M的位置并证明；若不存在，请说明理由．
【解】 (1)如图1，取A1B1的中点D，连接BD，C1D.在正三棱柱ABC A1B1C1中，C1D⊥A1B1，AA1⊥平面A1B1C1.
因为C1D 平面A1B1C1，所以AA1⊥C1D.
因为AA1∩A1B1＝A1，AA1，A1B1 平面ABB1A1，所以C1D⊥平面ABB1A1，
所以∠C1BD即直线BC1与平面ABB1A1所成的角．
因为AB＝2，AA1＝，
所以C1D＝，BC1＝＝，
所以sin ∠C1BD＝＝，
即直线BC1与平面ABB1A1所成的角的正弦值为.
INCLUDEPICTURE "25SX-135.TIF" INCLUDEPICTURE "25SX-135.TIF" \* MERGEFORMAT
(2)当M为CC1的中点时，平面MEF∥平面A1BC1.
证明如下：
取CC1的中点为M，连接ME，MF，如图2，
因为E，F分别是AB和BC的中点，所以MF∥BC1，EF∥AC.
因为MF 平面A1BC1，BC1 平面A1BC1，
所以MF∥平面A1BC1.
因为AC∥A1C1，所以EF∥A1C1，
因为EF 平面A1BC1，A1C1 平面A1BC1，
所以EF∥平面A1BC1.
又EF∩MF＝F，EF，MF 平面MEF，
所以平面MEF∥平面A1BC1.
INCLUDEPICTURE "解题技法LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "解题技法LLL.TIF" \* MERGEFORMAT
探索性问题的一般解题方法
先假设其存在，然后把这个假设作为已知条件，和题目的其他已知条件一起进行推理论证和计算．在推理论证和计算无误的前提下，如果得到了一个合理的结论，则说明存在；如果得到了一个不合理的结论，则说明不存在．
[跟踪训练3] 如图，在直三棱柱ABC A1B1C1中，AC＝BC＝1，∠ACB＝90°，AA1＝，D是A1B1的中点．
INCLUDEPICTURE "m24-26.TIF" INCLUDEPICTURE "m24-26.TIF" \* MERGEFORMAT
(1)求证：C1D⊥平面AA1B1B；
(2)当点F在BB1上的什么位置时，会使得AB1⊥平面C1DF？证明你的结论．
解：(1)证明：因为ABC A1B1C1是直三棱柱，
所以A1C1＝B1C1＝1且∠A1C1B1＝90°，
AA1⊥平面A1B1C1.
因为C1D 平面A1B1C1，所以AA1⊥C1D.
因为D是A1B1的中点，所以C1D⊥A1B1.
又A1B1∩AA1＝A1，A1B1，AA1 平面AA1B1B，
所以C1D⊥平面AA1B1B.
INCLUDEPICTURE "m24-27.TIF" INCLUDEPICTURE "m24-27.TIF" \* MERGEFORMAT
(2)如图，作DE⊥AB1于点E，延长DE交BB1于点F，连接C1F，
则AB1⊥平面C1DF，此时点F为BB1中点．
证明如下：由(1)知C1D⊥平面AA1B1B，
AB1 平面AA1B1B，所以C1D⊥AB1.
又AB1⊥DF，DF∩C1D＝D，DF，C1D 平面C1DF，所以AB1⊥平面C1DF.
易知AA1＝A1B1＝，
所以四边形AA1B1B为正方形．
又D为A1B1的中点，DF⊥AB1，
所以F为BB1的中点．
所以当点F为BB1的中点时，
AB1⊥平面C1DF.