章末复习提升（教师版）
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文档简介
章末复习提升
INCLUDEPICTURE "知识体系构建LLL.TIF"
INCLUDEPICTURE "SH1.TIF"
INCLUDEPICTURE "核心要点整合LLL.TIF"
要点一 空间几何体的表面积与体积
1．计算空间几何体的表面积和体积，首先要准确确定几何体的基本量，如球的半径，几何体的棱长、高等，然后准确代入相关的公式计算；不规则几何体常常利用转换法、割补法，灵活进行等积变换．
2．利用公式求解表面积、体积，提高数学运算、直观想象等数学素养．
训练1 如图，在正方体ABCD A1B1C1D1的八个顶点中，有四个顶点A，B1，C，D1恰好是正四面体的顶点，则此正四面体的表面积与正方体的表面积之比为( )
INCLUDEPICTURE "25SX-149.TIF"
A．∶1 B．1∶
C．∶2 D．1∶
解析：选D.设正方体的棱长为a，则正方体的表面积是6a2，正四面体A B1CD1的棱长为a，它的表面积是4××(a)2×＝2a2，因此正四面体的表面积与正方体的表面积之比为1∶.故选D.
训练2 如图，圆锥的母线长为4，M为母线AB的中点，从点M处拉一条绳子，绕圆锥的侧面转一周到达点B，这条绳子的最短长度为2，则此圆锥的表面积为( )
INCLUDEPICTURE "25SX-150.TIF"
A．4π B．5π
C．6π D．8π
解析：选B.将圆锥侧面展开成一个扇形，如图所示．
INCLUDEPICTURE "25SX-151.TIF"
设圆锥的底面半径为r，因为母线长为4，所以侧面展开图扇形的圆心角α＝＝，B′M的长度即为绳子的最短长度．在△AB′M中，
B′M＝
＝＝2，
则cos ＝0，又0<<π，所以r＝1，所以圆锥的表面积S＝π×12＋π×1×4＝5π.故选B.
训练3 若球O是圆锥M的内切球，且圆锥M的轴截面是一个边长为2的正三角形，则球O的体积为( )
A．π B．π
C．π D．π
解析：选B.因为球O是圆锥M的内切球，且圆锥M的轴截面是一个边长为2的正三角形，所以圆锥的高为.设球O的半径为r，则＝sin 30°，解得r＝，故球O的体积V＝π×()3＝π.故选B.
INCLUDEPICTURE "25SX-152.TIF"
训练4 如图1所示，在直角梯形ABCD中，AB⊥AD, CD⊥AD，AB＝2AD＝2CD＝2，将△ACD沿AC折起到△ACD′的位置，得到图2中的三棱锥D′ ABC，其中平面ABC⊥平面ACD′，则三棱锥D′ ABC的体积为________，其外接球的表面积为________．
INCLUDEPICTURE "25SX-153.TIF"
解析：
INCLUDEPICTURE "25SX-154.TIF"
在题图1中，因为AB⊥AD, CD⊥AD，AB＝2AD＝2CD＝2，所以AC＝，BC＝，得AC2＋BC2＝AB2，故AC⊥BC，取AC的中点E，连接D′E，如图，因为AD′＝CD′，所以D′E⊥AC，又平面ACD′∩平面ABC＝AC，D′E 平面ACD′，平面ABC⊥平面ACD′，所以D′E⊥平面ABC.因为BC⊥AC，平面ABC⊥平面ACD′，且平面ABC∩平面ACD′＝AC，BC 平面ABC，所以BC⊥平面ACD′，又因为AD′ 平面ACD′，所以BC⊥AD′，又AD′⊥D′C，D′C∩BC＝C，D′C，BC 平面BD′C，所以AD′⊥平面BD′C，D′B 平面BD′C，得AD′⊥D′B，取AB的中点O，连接OD′，OC.则OB＝OA＝OD′＝OC＝1，所以三棱锥D′ ABC外接球的球心为O，半径为1，综上，三棱锥D′ ABC的体积为××()2×＝，外接球的表面积为4πr2＝4π.
答案： 4π
要点二 空间中的平行与垂直
1．平行、垂直关系的相互转化
INCLUDEPICTURE "25SX-155.TIF"
转化平行、垂直关系的主要依据是平行线垂直平面的传递性：(1)若a∥b，a⊥α，则b⊥α；(2)若a⊥α，b⊥α，则a∥b.
2．通过线线，线面，面面的平行、垂直关系之间的相互转化，提升直观想象和逻辑推理的数学素养．
训练5 如图所示，在正方体ABCD A1B1C1D1中，M，N，E分别是AA1，AC，AB的中点，求证：
INCLUDEPICTURE "25SX-156.TIF"
(1)平面MEN∥平面A1BC；
(2)A1C⊥C1D；
(3)平面A1EC⊥平面A1CD.
证明：(1)因为M，N分别是AA1，AC的中点，
所以MN∥A1C，MN 平面A1BC，A1C 平面A1BC，所以MN∥平面A1BC，
同理可证，ME∥平面A1BC，
又因为MN∩ME＝M，MN，ME 平面MEN，所以平面MEN∥平面A1BC.
(2)连接CD1，由题意知，
BC⊥平面CDD1C1，C1D 平面CDD1C1，
所以BC⊥C1D.
又在平面CDD1C1中，C1D⊥CD1，BC∩CD1＝C，BC，CD1 平面BCD1A1，
所以C1D⊥平面BCD1A1，
INCLUDEPICTURE "25SX-157.TIF"
又因为A1C 平面BCD1A1，
所以A1C⊥C1D.
(3)取A1D的中点F，A1C的中点O，连接AF，OF，OE，则AF⊥A1D.
因为CD⊥平面A1AD，
AF 平面A1AD，所以AF⊥CD，
又CD∩A1D＝D，CD，
A1D 平面A1CD，
所以AF⊥平面A1CD，
因为OF綉CD，EA綉CD，所以OF綉EA，
所以四边形OFAE为平行四边形，
所以OE∥AF，所以OE⊥平面A1CD，
又OE 平面A1EC，
所以平面A1EC⊥平面A1CD.
训练6 如图，在三棱锥P ABC中，PA⊥AB，PA⊥BC，AB⊥BC，PA＝AB＝BC＝2，D为线段AC的中点，E为线段PC上一点．
INCLUDEPICTURE "25SX-158.TIF"
(1)求证：PA⊥BD；
(2)求证：平面BDE⊥平面PAC；
(3)当PA∥平面BDE时，求三棱锥E BCD的体积．
解：(1)证明：因为PA⊥AB，PA⊥BC，且AB∩BC＝B，AB，BC 平面ABC，所以PA⊥平面ABC.又因为BD 平面ABC，所以PA⊥BD.
(2)证明：因为AB＝BC，D为AC的中点，所以BD⊥AC.
由(1)知，PA⊥BD，
且PA∩AC＝A，AC，PA 平面PAC，
所以BD⊥平面PAC，
又BD 平面BDE，
所以平面BDE⊥平面PAC.
(3)因为PA∥平面BDE，PA 平面PAC，平面PAC∩平面BDE＝DE，
所以PA∥DE.
因为D为AC的中点，所以E为PC的中点，则DE＝PA＝1，BD＝DC＝.
由(1)知，PA⊥平面ABC，
所以DE⊥平面ABC，
所以三棱锥E BCD的体积V＝×BD·DC·DE＝.
要点三 空间角的计算
1．空间角包括异面直线所成的角、线面角及二面角，主要考查空间角的定义及求法，求角时要先找角，再证角，最后在三角形中求角．
2．通过找角、证角、求角，提升逻辑推理与数学运算素养．
训练7 已知平行六面体ABCD A1B1C1D1的底面ABCD是菱形，且∠C1CB＝∠C1CD＝∠BCD＝60°，则直线AC1与直线BD所成的角的大小为( )
INCLUDEPICTURE "25SX-159.TIF"
A． B． C． D．
解析：选A.
INCLUDEPICTURE "25SX-160.TIF"
如图，连接AC交BD于点O，连接BC1，OC1，C1D.因为CD＝CB，CC1＝C1C，∠C1CD＝∠C1CB，所以△CDC1≌△CBC1，所以DC1＝C1B，因为底面ABCD是菱形，所以OB＝OD，所以OC1⊥BD.因为AC⊥BD，AC∩OC1＝O，AC，OC1 平面ACC1，所以BD⊥平面ACC1，又因为AC1 平面ACC1，所以AC1⊥BD，所以直线AC1与BD所成的角的大小为.故选A.
训练8 在长方体ABCD A1B1C1D1中，AB＝AD＝1，AA1＝，则直线AC1与平面ABCD所成的角的大小为( )
A．30° B．45°
C．60° D．90°
INCLUDEPICTURE "25SX-161.TIF"
解析：选C.如图所示，连接AC，由题可知CC1⊥平面ABCD，故∠C1AC为直线AC1与平面ABCD所成的角，tan ∠C1AC＝＝＝.又因为0°<∠C1AC<90°，所以∠C1AC＝60°.故选C.
训练9 如图，在直三棱柱ABC A1B1C1，中，∠ACB＝90°，且AC＝BC＝CC1＝2，点P为线段B1C上的动点．
INCLUDEPICTURE "25SX-162.TIF"
(1)当P为线段B1C的中点时，求证：平面ABP⊥平面AB1C；
(2)当直线AP与平面BCC1B1所成的角的正切值为时，求二面角P AB C的余弦值．
解：(1)证明：由题意，得AC⊥CC1，AC⊥BC，BC∩CC1＝C，BC，CC1 平面BCC1B1，
所以AC⊥平面BCC1B1.
因为BP 平面BCC1B1，所以AC⊥BP，
因为P为B1C的中点，CC1＝BC＝BB1，所以B1C⊥BP，且AC∩B1C＝C，AC，B1C 平面AB1C，
所以BP⊥平面AB1C.又因为BP 平面ABP，所以平面ABP⊥平面AB1C.
(2)由(1)得AC⊥平面BCC1B1，所以直线AP与平面BCC1B1所成的角即为∠APC，所以tan ∠APC＝＝，
INCLUDEPICTURE "25SX-163.TIF"
解得PC＝.作PM⊥BC于点M，MN⊥AB于点N，连接PN，如图．
由题意知BB1⊥BC，所以PM∥BB1，又BB1⊥平面ABC，所以PM⊥平面ABC，又AB 平面ABC，
所以PM⊥AB.
又PM∩MN＝M，PM，MN 平面PMN，
所以AB⊥平面PMN，所以∠PNM为二面角P AB C的平面角．由＝＝得PM＝MC＝，则BM＝BC－MC＝，所以MN＝BM＝，所以cos ∠PNM＝＝＝＝，
即二面角P AB C的余弦值为.
要点四 立体几何中的探索与翻折问题
1．解决探索性问题一般用分析法，常从结论入手，分析得到该结论所需的条件或与其等价的条件，然后结合已知条件求解．
2．求解立体几何中的探索性问题，提升逻辑推理的数学素养．
训练10 已知棱长为2的正方体ABCD A1B1C1D1，M是CC1的中点，N是正方形ABCD内(包括边界)的一个动点，且MN⊥BD，则线段MN长度的取值范围是( )
INCLUDEPICTURE "25SX-164.TIF"
A．[1，2] B．[1，3]
C．[，2] D．[，3]
解析：选B.
INCLUDEPICTURE "25SX-165.TIF"
在正方体ABCD A1B1C1D1中，连接AC，AM，如图，显然CC1⊥平面ABCD，又BD 平面ABCD，所以CC1⊥BD，易知AC⊥BD，又AC∩CC1＝C，AC，CC1 平面ACM，所以BD⊥平面ACM，又因为MN⊥BD，M∈平面ACM，所以N∈平面ACM.又点N∈平面ABCD，平面ACM∩平面ABCD＝AC，所以点N在线段AC上．在△ACM中，∠ACM＝90°，则CM≤MN≤AM，因为M是CC1的中点，所以CM＝1，AM＝＝＝3，所以线段MN长度的取值范围是[1，3].故选B.
训练11 已知正三角形A′BC的边长为a，CD是A′B边上的高，E，F分别是A′C，BC的中点，现将△A′DC沿CD翻折至△ADC的位置，使平面ADC⊥平面BCD，如图所示．
INCLUDEPICTURE "25SX-166.TIF"
(1)试判断翻折后直线AB与平面DEF的位置关系，并说明理由；
(2)若三棱锥E DFC的体积为，求实数a的值；
(3)在线段AC上是否存在一点P，使得BP⊥DF？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
解：(1)AB∥平面DEF.理由如下：
因为E，F分别是AC，BC的中点，
所以EF∥AB.
又AB 平面DEF，EF 平面DEF，
所以AB∥平面DEF.
(2)由题意，得AD⊥CD.因为平面ADC⊥平面BCD，平面ADC∩平面BCD＝CD，AD 平面ADC，
所以AD⊥平面BCD.
取CD的中点M，连接EM(图略)，则EM∥AD，
所以EM⊥平面BCD，且EM＝.
由题可得S△DFC＝××(×)＝.
因为三棱锥E DFC的体积为，
所以××＝，解得a＝2.
(3)在线段AC上存在一点P，使得BP⊥DF.理由如下：可知△BDF为正三角形，过点B作BK⊥DF交DC于点K，连接KF，过点K作KP∥DA交AC于点P，连接BP(图略)，则点P即为所求．
因为AD⊥平面BCD，PK∥AD，
所以PK⊥平面BCD，DF 平面BCD，
所以PK⊥DF.
又BK⊥DF，PK∩BK＝K，PK，BK 平面PKB，
所以DF⊥平面PKB，
又因为BP 平面PKB，
所以DF⊥BP.
又∠DBK＝∠KBC＝∠BCK＝30°，
所以DK＝KF＝KC.
故＝＝，从而＝.
INCLUDEPICTURE "知识体系构建LLL.TIF"
INCLUDEPICTURE "SH1.TIF"
INCLUDEPICTURE "核心要点整合LLL.TIF"
要点一 空间几何体的表面积与体积
1．计算空间几何体的表面积和体积，首先要准确确定几何体的基本量，如球的半径，几何体的棱长、高等，然后准确代入相关的公式计算；不规则几何体常常利用转换法、割补法，灵活进行等积变换．
2．利用公式求解表面积、体积，提高数学运算、直观想象等数学素养．
训练1 如图，在正方体ABCD A1B1C1D1的八个顶点中，有四个顶点A，B1，C，D1恰好是正四面体的顶点，则此正四面体的表面积与正方体的表面积之比为( )
INCLUDEPICTURE "25SX-149.TIF"
A．∶1 B．1∶
C．∶2 D．1∶
解析：选D.设正方体的棱长为a，则正方体的表面积是6a2，正四面体A B1CD1的棱长为a，它的表面积是4××(a)2×＝2a2，因此正四面体的表面积与正方体的表面积之比为1∶.故选D.
训练2 如图，圆锥的母线长为4，M为母线AB的中点，从点M处拉一条绳子，绕圆锥的侧面转一周到达点B，这条绳子的最短长度为2，则此圆锥的表面积为( )
INCLUDEPICTURE "25SX-150.TIF"
A．4π B．5π
C．6π D．8π
解析：选B.将圆锥侧面展开成一个扇形，如图所示．
INCLUDEPICTURE "25SX-151.TIF"
设圆锥的底面半径为r，因为母线长为4，所以侧面展开图扇形的圆心角α＝＝，B′M的长度即为绳子的最短长度．在△AB′M中，
B′M＝
＝＝2，
则cos ＝0，又0<<π，所以r＝1，所以圆锥的表面积S＝π×12＋π×1×4＝5π.故选B.
训练3 若球O是圆锥M的内切球，且圆锥M的轴截面是一个边长为2的正三角形，则球O的体积为( )
A．π B．π
C．π D．π
解析：选B.因为球O是圆锥M的内切球，且圆锥M的轴截面是一个边长为2的正三角形，所以圆锥的高为.设球O的半径为r，则＝sin 30°，解得r＝，故球O的体积V＝π×()3＝π.故选B.
INCLUDEPICTURE "25SX-152.TIF"
训练4 如图1所示，在直角梯形ABCD中，AB⊥AD, CD⊥AD，AB＝2AD＝2CD＝2，将△ACD沿AC折起到△ACD′的位置，得到图2中的三棱锥D′ ABC，其中平面ABC⊥平面ACD′，则三棱锥D′ ABC的体积为________，其外接球的表面积为________．
INCLUDEPICTURE "25SX-153.TIF"
解析：
INCLUDEPICTURE "25SX-154.TIF"
在题图1中，因为AB⊥AD, CD⊥AD，AB＝2AD＝2CD＝2，所以AC＝，BC＝，得AC2＋BC2＝AB2，故AC⊥BC，取AC的中点E，连接D′E，如图，因为AD′＝CD′，所以D′E⊥AC，又平面ACD′∩平面ABC＝AC，D′E 平面ACD′，平面ABC⊥平面ACD′，所以D′E⊥平面ABC.因为BC⊥AC，平面ABC⊥平面ACD′，且平面ABC∩平面ACD′＝AC，BC 平面ABC，所以BC⊥平面ACD′，又因为AD′ 平面ACD′，所以BC⊥AD′，又AD′⊥D′C，D′C∩BC＝C，D′C，BC 平面BD′C，所以AD′⊥平面BD′C，D′B 平面BD′C，得AD′⊥D′B，取AB的中点O，连接OD′，OC.则OB＝OA＝OD′＝OC＝1，所以三棱锥D′ ABC外接球的球心为O，半径为1，综上，三棱锥D′ ABC的体积为××()2×＝，外接球的表面积为4πr2＝4π.
答案： 4π
要点二 空间中的平行与垂直
1．平行、垂直关系的相互转化
INCLUDEPICTURE "25SX-155.TIF"
转化平行、垂直关系的主要依据是平行线垂直平面的传递性：(1)若a∥b，a⊥α，则b⊥α；(2)若a⊥α，b⊥α，则a∥b.
2．通过线线，线面，面面的平行、垂直关系之间的相互转化，提升直观想象和逻辑推理的数学素养．
训练5 如图所示，在正方体ABCD A1B1C1D1中，M，N，E分别是AA1，AC，AB的中点，求证：
INCLUDEPICTURE "25SX-156.TIF"
(1)平面MEN∥平面A1BC；
(2)A1C⊥C1D；
(3)平面A1EC⊥平面A1CD.
证明：(1)因为M，N分别是AA1，AC的中点，
所以MN∥A1C，MN 平面A1BC，A1C 平面A1BC，所以MN∥平面A1BC，
同理可证，ME∥平面A1BC，
又因为MN∩ME＝M，MN，ME 平面MEN，所以平面MEN∥平面A1BC.
(2)连接CD1，由题意知，
BC⊥平面CDD1C1，C1D 平面CDD1C1，
所以BC⊥C1D.
又在平面CDD1C1中，C1D⊥CD1，BC∩CD1＝C，BC，CD1 平面BCD1A1，
所以C1D⊥平面BCD1A1，
INCLUDEPICTURE "25SX-157.TIF"
又因为A1C 平面BCD1A1，
所以A1C⊥C1D.
(3)取A1D的中点F，A1C的中点O，连接AF，OF，OE，则AF⊥A1D.
因为CD⊥平面A1AD，
AF 平面A1AD，所以AF⊥CD，
又CD∩A1D＝D，CD，
A1D 平面A1CD，
所以AF⊥平面A1CD，
因为OF綉CD，EA綉CD，所以OF綉EA，
所以四边形OFAE为平行四边形，
所以OE∥AF，所以OE⊥平面A1CD，
又OE 平面A1EC，
所以平面A1EC⊥平面A1CD.
训练6 如图，在三棱锥P ABC中，PA⊥AB，PA⊥BC，AB⊥BC，PA＝AB＝BC＝2，D为线段AC的中点，E为线段PC上一点．
INCLUDEPICTURE "25SX-158.TIF"
(1)求证：PA⊥BD；
(2)求证：平面BDE⊥平面PAC；
(3)当PA∥平面BDE时，求三棱锥E BCD的体积．
解：(1)证明：因为PA⊥AB，PA⊥BC，且AB∩BC＝B，AB，BC 平面ABC，所以PA⊥平面ABC.又因为BD 平面ABC，所以PA⊥BD.
(2)证明：因为AB＝BC，D为AC的中点，所以BD⊥AC.
由(1)知，PA⊥BD，
且PA∩AC＝A，AC，PA 平面PAC，
所以BD⊥平面PAC，
又BD 平面BDE，
所以平面BDE⊥平面PAC.
(3)因为PA∥平面BDE，PA 平面PAC，平面PAC∩平面BDE＝DE，
所以PA∥DE.
因为D为AC的中点，所以E为PC的中点，则DE＝PA＝1，BD＝DC＝.
由(1)知，PA⊥平面ABC，
所以DE⊥平面ABC，
所以三棱锥E BCD的体积V＝×BD·DC·DE＝.
要点三 空间角的计算
1．空间角包括异面直线所成的角、线面角及二面角，主要考查空间角的定义及求法，求角时要先找角，再证角，最后在三角形中求角．
2．通过找角、证角、求角，提升逻辑推理与数学运算素养．
训练7 已知平行六面体ABCD A1B1C1D1的底面ABCD是菱形，且∠C1CB＝∠C1CD＝∠BCD＝60°，则直线AC1与直线BD所成的角的大小为( )
INCLUDEPICTURE "25SX-159.TIF"
A． B． C． D．
解析：选A.
INCLUDEPICTURE "25SX-160.TIF"
如图，连接AC交BD于点O，连接BC1，OC1，C1D.因为CD＝CB，CC1＝C1C，∠C1CD＝∠C1CB，所以△CDC1≌△CBC1，所以DC1＝C1B，因为底面ABCD是菱形，所以OB＝OD，所以OC1⊥BD.因为AC⊥BD，AC∩OC1＝O，AC，OC1 平面ACC1，所以BD⊥平面ACC1，又因为AC1 平面ACC1，所以AC1⊥BD，所以直线AC1与BD所成的角的大小为.故选A.
训练8 在长方体ABCD A1B1C1D1中，AB＝AD＝1，AA1＝，则直线AC1与平面ABCD所成的角的大小为( )
A．30° B．45°
C．60° D．90°
INCLUDEPICTURE "25SX-161.TIF"
解析：选C.如图所示，连接AC，由题可知CC1⊥平面ABCD，故∠C1AC为直线AC1与平面ABCD所成的角，tan ∠C1AC＝＝＝.又因为0°<∠C1AC<90°，所以∠C1AC＝60°.故选C.
训练9 如图，在直三棱柱ABC A1B1C1，中，∠ACB＝90°，且AC＝BC＝CC1＝2，点P为线段B1C上的动点．
INCLUDEPICTURE "25SX-162.TIF"
(1)当P为线段B1C的中点时，求证：平面ABP⊥平面AB1C；
(2)当直线AP与平面BCC1B1所成的角的正切值为时，求二面角P AB C的余弦值．
解：(1)证明：由题意，得AC⊥CC1，AC⊥BC，BC∩CC1＝C，BC，CC1 平面BCC1B1，
所以AC⊥平面BCC1B1.
因为BP 平面BCC1B1，所以AC⊥BP，
因为P为B1C的中点，CC1＝BC＝BB1，所以B1C⊥BP，且AC∩B1C＝C，AC，B1C 平面AB1C，
所以BP⊥平面AB1C.又因为BP 平面ABP，所以平面ABP⊥平面AB1C.
(2)由(1)得AC⊥平面BCC1B1，所以直线AP与平面BCC1B1所成的角即为∠APC，所以tan ∠APC＝＝，
INCLUDEPICTURE "25SX-163.TIF"
解得PC＝.作PM⊥BC于点M，MN⊥AB于点N，连接PN，如图．
由题意知BB1⊥BC，所以PM∥BB1，又BB1⊥平面ABC，所以PM⊥平面ABC，又AB 平面ABC，
所以PM⊥AB.
又PM∩MN＝M，PM，MN 平面PMN，
所以AB⊥平面PMN，所以∠PNM为二面角P AB C的平面角．由＝＝得PM＝MC＝，则BM＝BC－MC＝，所以MN＝BM＝，所以cos ∠PNM＝＝＝＝，
即二面角P AB C的余弦值为.
要点四 立体几何中的探索与翻折问题
1．解决探索性问题一般用分析法，常从结论入手，分析得到该结论所需的条件或与其等价的条件，然后结合已知条件求解．
2．求解立体几何中的探索性问题，提升逻辑推理的数学素养．
训练10 已知棱长为2的正方体ABCD A1B1C1D1，M是CC1的中点，N是正方形ABCD内(包括边界)的一个动点，且MN⊥BD，则线段MN长度的取值范围是( )
INCLUDEPICTURE "25SX-164.TIF"
A．[1，2] B．[1，3]
C．[，2] D．[，3]
解析：选B.
INCLUDEPICTURE "25SX-165.TIF"
在正方体ABCD A1B1C1D1中，连接AC，AM，如图，显然CC1⊥平面ABCD，又BD 平面ABCD，所以CC1⊥BD，易知AC⊥BD，又AC∩CC1＝C，AC，CC1 平面ACM，所以BD⊥平面ACM，又因为MN⊥BD，M∈平面ACM，所以N∈平面ACM.又点N∈平面ABCD，平面ACM∩平面ABCD＝AC，所以点N在线段AC上．在△ACM中，∠ACM＝90°，则CM≤MN≤AM，因为M是CC1的中点，所以CM＝1，AM＝＝＝3，所以线段MN长度的取值范围是[1，3].故选B.
训练11 已知正三角形A′BC的边长为a，CD是A′B边上的高，E，F分别是A′C，BC的中点，现将△A′DC沿CD翻折至△ADC的位置，使平面ADC⊥平面BCD，如图所示．
INCLUDEPICTURE "25SX-166.TIF"
(1)试判断翻折后直线AB与平面DEF的位置关系，并说明理由；
(2)若三棱锥E DFC的体积为，求实数a的值；
(3)在线段AC上是否存在一点P，使得BP⊥DF？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
解：(1)AB∥平面DEF.理由如下：
因为E，F分别是AC，BC的中点，
所以EF∥AB.
又AB 平面DEF，EF 平面DEF，
所以AB∥平面DEF.
(2)由题意，得AD⊥CD.因为平面ADC⊥平面BCD，平面ADC∩平面BCD＝CD，AD 平面ADC，
所以AD⊥平面BCD.
取CD的中点M，连接EM(图略)，则EM∥AD，
所以EM⊥平面BCD，且EM＝.
由题可得S△DFC＝××(×)＝.
因为三棱锥E DFC的体积为，
所以××＝，解得a＝2.
(3)在线段AC上存在一点P，使得BP⊥DF.理由如下：可知△BDF为正三角形，过点B作BK⊥DF交DC于点K，连接KF，过点K作KP∥DA交AC于点P，连接BP(图略)，则点P即为所求．
因为AD⊥平面BCD，PK∥AD，
所以PK⊥平面BCD，DF 平面BCD，
所以PK⊥DF.
又BK⊥DF，PK∩BK＝K，PK，BK 平面PKB，
所以DF⊥平面PKB，
又因为BP 平面PKB，
所以DF⊥BP.
又∠DBK＝∠KBC＝∠BCK＝30°，
所以DK＝KF＝KC.
故＝＝，从而＝.