11.1.1　课后达标检测（教师版）

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1.已知一个平面图形OABC的直观图是边长为1的正方形O′A′B′C′，如图所示，那么这个平面图形中AB＝(　　)
A．1 B． C．2 D．3
解析：选D.如图，由直观图定义知，OA＝O′A′＝1，OB＝2O′B′＝2，所以AB＝＝3.
2．利用斜二测画法画出边长为3 cm的正方形的直观图，正确的是(　　)
解析：选C.由直观图的性质得原正方形的横向线段长度不变，纵向线段长度减半，横纵夹角变为，显然C正确．故选C.
3．如图所示是水平放置的三角形的直观图，D′是△A′B′C′中B′C′边的中点，且A′D′平行于y′轴，那么A′B′，A′D′，A′C′三条线段对应原图形中线段AB，AD，AC中(　　)
A．最短的是AC B．最短的是AB
C．最短的是AD D．最长的是AD
解析：
选C.如图，因为A′D′∥y′轴，所以在△ABC中，AD⊥BC，又因为D′是B′C′的中点，所以D是BC的中点，所以AB＝AC>AD.故选C.
4．在直角坐标系中水平放置的直角梯形OABC如图所示．已知O为坐标原点，A(2，0)，B(2，2)，C(0，6).在用斜二测画法画出的直观图中，四边形O′A′B′C′的面积为(　　)
A．4 B．4 C．8 D．8
解析：选A.由题意得，直角梯形OABC的面积为S＝×(2＋6)×2＝8，所以直观图中四边形O′A′B′C′的面积S′＝S＝×8＝4.故选A.
5．(2024·葫芦岛阶段考)如图，一个水平放置的平面图形的直观图A′B′C′D′是边长为2的菱形，且O′D′＝2，则原平面图形的周长为(　　)
A．4＋4 B．4＋4 C．8 D．8
解析：选B.
由题可知
O′D′＝A′D′＝2，
∠A′O′D′＝45°，
所以O′A′＝2，还原直观图可得原平面图形，如图，
则OD＝2O′D′＝4，OA＝O′A′＝2，
AB＝DC＝2，
所以AD＝＝＝2，
所以原平面图形的周长为4＋4.故选B.
6．(多选)如图，四边形ABCD的斜二测直观图为等腰梯形A′B′C′D′，已知A′B′＝2C′D′＝4，则(　　)
A.A′D′＝
B．BC＝2
C．四边形ABCD的周长为6＋2＋2
D．四边形ABCD的面积为6
解析：选ACD.
由已知等腰梯形中，∠D′A′B′＝45°，A′B′＝2C′D′＝4，所以A′D′＝，由斜二测画法得，在原图直角梯形ABCD中，AB＝2CD＝4，AD＝2，∠BAD＝90°，易得BC＝2，所以四边形ABCD的周长为6＋2＋2，面积为×2＝6.故选ACD.
7．在斜二测画法中，位于平面直角坐标系中的点M(4，4)在直观图中的对应点是M′，则点M′的坐标为________．
解析：由直观图画法“横不变，纵折半”可得点M′的坐标为(4，2).
答案：(4，2)
8．已知水平放置的△ABC的斜二测直观图如图所示，若A1C1＝2，△ABC的面积为2，则B1C1的长为__________．
解析：由斜二测画法的规则可知在△ABC中，BC⊥AC，AC＝2，则BC·AC＝2，即BC·AC＝4，所以BC＝2，则B1C1＝.
答案：
9．如图，四边形A′B′C′D′是一水平放置的平面图形的直观图，A′B′∥C′D′，A′D′⊥C′D′，且B′C′与y′轴平行，若A′B′＝6，C′D′＝4，B′C′＝2，则原平面图形的实际面积是__________．
解析：由题意及斜二测画法的作图规则知，原平面图形是直角梯形，且AB＝A′B′＝6，CD＝C′D′＝4，高BC＝4，故所求面积S＝×(4＋6)×4＝20.
答案：20
10．如图所示，在△ABC中，AC＝12 cm，AC边上的高DB＝12 cm.
(1)画出水平放置的△ABC的直观图；
(2)求直观图的面积．
解：(1)①以D为原点，AC所在直线为x轴，DB所在直线为y轴建立平面直角坐标系，如图1，
②画出对应的x′，y′轴，使∠x′D′y′＝45°，
在x′轴上取点A′，C′，使D′A′＝DA，D′C′＝DC，
在y′轴上取点B′，使D′B′＝DB，
连接A′B′，C′B′，则△A′B′C′即为△ABC的直观图，如图2.
(2)在图2中，作B′E⊥A′C′，E为垂足，
因为D′B′＝DB＝6，∠B′D′E＝45°，
所以B′E＝6×＝3，
所以S△A′B′C′＝×A′C′×B′E＝×12×3＝18(cm2).
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11．(2024·潍坊期末)已知一个菱形的边长为4 cm，一个内角为60°，将菱形水平放置并且使较长的对角线成横向，则此菱形的直观图的面积为(　　)
A．8cm2 B．4cm2
C．2cm2 D．cm2
解析：选C.由题意及余弦定理可知，较长的对角线的长度是
＝4(cm)，易知较短的对角线的长度是4 cm，则菱形直观图的面积S＝×4×4×＝2 (cm2).故选C.
12.如图所示为一个水平放置的平面图形的直观图，它是底角为45°，腰和上底长均为1的等腰梯形，则原平面图形为(　　)
A．下底长为1＋的等腰梯形
B．下底长为1＋2的等腰梯形
C．下底长为1＋的直角梯形
D．下底长为1＋2的直角梯形
解析：选C.因为平面图形的直观图是一个底角为45°，腰和上底长均为1的等腰梯形，所以B′C′＝1＋，所以平面图形为直角梯形，且直角腰长为2，上底长为1，下底长为1＋，只有C项满足．
13．已知两个底面半径相等的圆锥，底面重合在一起(底面平行于水平面)，其中一个圆锥顶点到底面的距离为2 cm，另一个圆锥顶点到底面的距离为3 cm，则其直观图中这两个顶点之间的距离为________cm.
解析：其直观图如图所示，由图可得，直观图中这两个顶点之间的距离为5 cm.
答案：5
14．已知一个机器部件，它的下面是一个圆柱，上面是一个圆锥，且圆锥的底面与圆柱的上底面重合，圆柱的底面直径为3 cm，高为3 cm，圆锥的高为3 cm，画出此机器部件的直观图．
解：(1)如图1，画x轴、z轴相交于点O，使∠xOz＝90°.
(2)画圆柱的两底面．以O为中点，在x轴上取线段AB＝3 cm，利用椭圆模板画椭圆，使其经过A，B两点．这个椭圆就是圆柱的下底面．在z轴上截取OO′，使OO′＝3 cm，过O′作Ox的平行线O′x′，以O′为中点，同上做圆柱上底面．
(3)画圆锥的顶点．在z轴上画出点P，使PO′＝3 cm.
(4)连接A′A，B′B，PA′，PB′，擦去辅助线，将被遮挡的部分改为虚线，得到此机器部件的直观图，如图2.
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15．已知△ABC的斜二测画法的直观图是边长为2的正三角形A′B′C′(如图所示)，则点C的坐标为________．
解析：
在直观图中，在x′轴上取点D′，使得D′C′∥y′轴，如图1.则A′C′＝2，
∠C′D′A′＝45°，
∠D′A′C′＝120°，∠D′C′A′＝15°，
由正弦定理可得＝＝，
又sin 15°＝sin (60°－45°)
＝sin 60°cos 45°－cos 60°sin 45°＝，
可得D′C′＝×＝，
A′D′＝×＝－1，
故将直观图还原为平面图．
在平面直角坐标系中如图2，连接DC，AD＝A′D′＝－1，DC＝2D′C′＝2.故C(1－，2).
答案：(1－，2)
16．用斜二测画法得到的多边形A1A2…An的直观图为多边形A′1A′2…A′n，试探索多边形A1A2…An与多边形A′1A′2…A′n的面积之间有无确定的数量关系．
解：①设在△ABC中，CH为高，边AB平行于x轴，用斜二测画法得到其直观图为△A′B′C′，则有C′H′＝CH，△A′B′C′的高为C′M＝C′H′＝CH，所以S△A′B′C′＝A′B′·C′M＝S△ABC.
②对多边形A1A2…An，可连接A1A3，A1A4，…，A1An－1，得到(n－2)个三角形，即△A1A2A3，△A1A3A4，…，△A1An－1An，由①知S多边形A′1A′2…A′n＝S△A′1A′2A′3＋S△A′1A′3A′4＋…＋S△A′1A′n－1A′n＝(S△A1A2A3＋S△A1A3A4＋…＋S△A1An－1An)＝S多边形A1A2…An.
综上可知，多边形A1A2…An与其直观图多边形A′1A′2…A′n的面积之间有确定的数量关系，且S多边形A′1A′2…A′n＝S多边形A1A2…An.