11.1.3　课后达标检测（教师版）

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1．侧面都是矩形的棱柱一定是(　　)
A．长方体 B．三棱柱
C．直平行六面体 D．直棱柱
解析：选D.侧面都是矩形的棱柱，则侧棱和底面垂直，即侧面都是矩形的棱柱一定是直棱柱．故选D.
2．下列多面体中，是棱柱的有(　　)
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
解析：选D.根据棱柱的定义进行判定，知这4个多面体都是棱柱．
3．下列关于棱柱的说法错误的是(　　)
A．三棱柱的底面为三角形
B．一个棱柱至少有五个面
C．若棱柱的底面边长相等，则它的各个侧面全等
D．五棱柱有5条侧棱、5个侧面，侧面为平行四边形
解析：选C.显然A正确；底面边数最少的棱柱是三棱柱，它有五个面，故B正确；底面是正方形的四棱柱，有一对侧面与底面垂直，另一对侧面不垂直于底面，此时侧面并不全等，故C错误；由棱柱的定义知，D正确．
4．下列四种说法中正确的是(　　)
A．底面是矩形的平行六面体是长方体
B．棱长相等的直四棱柱是正方体
C．有两条侧棱垂直于底面一边的平行六面体是直平行六面体
D．面对角线相等的平行六面体是直平行六面体
解析：选D.A不正确，除底面是矩形外还应满足侧棱与底面垂直才是长方体；B不正确，当底面是菱形时就不是正方体；C不正确，两条侧棱垂直于底面一边不一定垂直于底面，故不一定是直平行六面体；D正确，因为对角线相等的平行四边形是矩形，由此可以推测此时的平行六面体是直平行六面体．
5．(2024·阜新月考)五棱柱中，不同在任何侧面且不同在任何底面的两顶点的连线称为它的体对角线，那么一个五棱柱的体对角线的条数为(　　)
A．20 B．15
C．12 D．10
解析：选D.
如图，在五棱柱ABCDE A1B1C1D1E1中，从顶点A出发的体对角线有两条：AC1，AD1，同理从B，C，D，E点出发的体对角线均有两条，则一个五棱柱共有2×5＝10条体对角线．
6．(多选)如图是一个正方体的表面展开图，将其复原为正方体后，互相重合的点是(　　)
A．A与B B．D与E
C．B与D D．C与F
解析：选ABD.表平面展开图还原为正方体如图所示．
所以互相重合的点是A与B，D与E，C与F.故选ABD.
7．如图，已知长方体ABCD A1B1C1D1的长、宽、高分别为2，2，1，则长方体的表面积为__________，面对角线有________条，体对角线有________条．
解析：由表面积的定义，可得长方体的表面积为4×1×2＋2×2×2＝16，面对角线有2×6＝12(条)，体对角线有4条．
答案：16　12　4
8．如图所示，这是一个正方体的表面展开图，若把它再折回成正方体，有下列结论：
①点H与点C重合；
②点D、点M与点R重合；
③点B与点Q重合；
④点A与点S重合．
其中正确的是________．(填序号)
解析：依据正方体表面展开图的特征，知②④是正确的．
答案：②④
9．已知正六棱柱的高为6，底面边长为4，则它的表面积为__________．
解析：由题意，知侧面积为6×6×4＝144，两底面积之和为2××42×6＝48，所以表面积S＝48(3＋).
答案：48(3＋)
10．若正六棱柱ABCDEF A1B1C1D1E1F1的底面边长为2 cm，最长的对角线长为5 cm，求正六棱柱的侧棱长．
解：
由正六棱柱的特点可知，它最长的对角线有6条，分别为AD1，BE1，CF1，DA1，EB1，FC1，故它们的长度都是5 cm.因为正六棱柱的侧棱DD1垂直于底面，连接AD，AD1，如图所示，所以∠D1DA＝90°.
又易知AD＝4 cm，
所以DD1＝ eq \r(AD－AD2) ＝3(cm)，
即正六棱柱的侧棱长为3 cm.
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11．长方体的六个面的面积之和为11，12条棱的长度之和为24，则这个长方体的体对角线长为(　　)
A．2 B． C．5 D．6
解析：选C.设长方体共顶点的三条棱的长分别为a，b，c，则有由②得a＋b＋c＝6.两边平方，整理得a2＋b2＋c2＋2(ab＋bc＋ac)＝36，故a2＋b2＋c2＝25.所以这个长方体的体对角线长为＝5.
12．用一个平面去截一个正方体，截面边数最多是________．
解析：如图，所得截面分别为六边形、五边形、四边形、三角形．
答案：6
13．在直三棱柱ABC A1B1C1中，AB＝BC＝，BB1＝2，∠ABC＝90°，E，F分别为AA1，C1B1的中点，沿棱柱的表面从E到F的最短路径的长度为__________．
解析：由题意得，直三棱柱底面为等腰直角三角形．
①若把面ABB1A1和面BCC1B1展开在同一个平面内(图略)，则线段EF在Rt△A1EF中，由勾股定理得EF＝＝＝.
②若把面ABB1A1和面A1B1C1展开在同一个平面内，设BB1的中点为G(图略)，在Rt△EFG中，由勾股定理得EF＝＝＝.
③若把平面ACC1A1和面A1B1C1展开在同一个面内，过点F作与CC1平行的直线，过点E作与AC平行的直线，所作两线交于点H(图略)，则EF在Rt△EFH中，由勾股定理得EF＝＝＝.
综上可得从E到F的最短路径的长度为.
答案：
14．如图，在正三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝3，AA1＝4，M为AA1的中点，P是BC上一点，且由点P沿棱柱侧面经过棱CC1到点M的最短路线长为.设这条最短路线与CC1的交点为N，求该三棱柱的侧面展开图的对角线的长及PC的长．
解：
正三棱柱ABC－A1B1C1的侧面展开图是一个长为9，宽为4的矩形，其对角线长为＝.将正三棱柱的面BCC1B1和面CAA1C1展开，如图所示，设PC＝x，则PA＝3＋x，因为M为AA1中点，所以AM＝2，在Rt△MAP中，PM2＝AM2＋AP2，即()2＝22＋(3＋x)2，解得x＝2(负值已舍去)，所以PC＝2.
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15．(多选)如图，我们常见的足球是由若干个正五边形和正六边形皮革缝合而成．如果我们把足球抽象成一个多面体，它有60个顶点，每个顶点发出的棱有3条，设其顶点数V，面数F与棱数E，满足V＋F－E＝2，据此判断，关于这个多面体的说法正确的是(　　)
A.共有20个正六边形　
B．共有10个正五边形
C．共有90条棱
D．共有32个面
解析：选ACD.由题意，设共有m个正五边形，n个正六边形，＋(m＋n)－＝2，解得m＝12，所以B错误；因为顶点数V＝＝60，解得n＝20，所以A正确；面数F＝m＋n＝32，所以D正确；棱数E＝＝90，所以C正确．故选ACD.
16．如图，在长方体ABCD A1B1C1D1中，AB＝3，BC＝4，A1A＝5，现有一只甲壳虫从点A出发沿长方体表面爬行到点C1来获取食物，试画出它的最短爬行路线，并求其路程的最小值．
解：把长方体的部分面分别按A1B1，B1B，BC展开，如图所示．
对甲、乙、丙三种展开图利用勾股定理可得AC1的长分别为，，，
由此可见乙是最短路线，所以甲壳虫可以先在长方形ABB1A1内由A到E，再在长方形BCC1B1内由E到C1，也可以先在长方形AA1D1D内由A到F，再在长方形DCC1D1内由F到C1，其最短路程为.