11.1.4　课后达标检测（教师版）

INCLUDEPICTURE "课后达标检测LLL.TIF"
INCLUDEPICTURE "基础达标.TIF"
1．棱锥的侧面和底面可以都是(　　)
A．三角形 B．四边形
C．五边形 D．六边形
解析：选A．三棱锥的侧面和底面均是三角形．
2．下列说法正确的是(　　)
A．棱台的两个底面相似
B．棱台的侧棱长都相等
C．棱锥被平面截成的两部分是棱锥和棱台
D．棱柱的侧棱都相等，侧面都是全等的平行四边形
解析：选A．由棱台的定义知A正确，B，C不正确；棱柱的侧棱都相等且相互平行，且侧面是平行四边形，但侧面并不一定全等，D不正确．
3.如图，能推断这个几何体可能是三棱台的是(　　)
INCLUDEPICTURE "XA88.TIF"
A．A1B1＝2，AB＝3，B1C1＝3，BC＝4
B．A1B1＝1，AB＝2，B1C1＝1.5，BC＝3，A1C1＝2，AC＝3
C．A1B1＝1，AB＝2，B1C1＝1.5，BC＝3，A1C1＝2，AC＝4
D．AB＝A1B1，BC＝B1C1，CA＝C1A1
解析：选C．A中，≠，故A不正确；B中，≠，故B不正确；C中，＝＝，故C正确；D中，满足这个条件的可能是一个三棱柱，不是三棱台，故D不正确．
4．若棱台上、下底面的对应边之比为1∶2，则上、下底面的面积之比是(　　)
A．1∶2 B．1∶4
C．2∶1 D．4∶1
解析：选B．由棱台的结构特征知，棱台的上、下底面是相似多边形，面积比为对应边之比的平方．
5．(2024·丹东月考)如果一个棱锥的各条棱长都相等，那么这个棱锥可能是(　　)
A．八棱锥 B．七棱锥
C．五棱锥 D．六棱锥
解析：选C．由题意可知，每个侧面均为等边三角形，则每个侧面的顶角为60°，如果是六棱锥，因为6×60°＝360°，所以顶点会在底面上，因此不是六棱锥，又因为各条棱长都相等，所以不可能构成七棱锥、八棱锥．
6.(多选)在如图所示的几何体中，关于其结构特征，下列说法正确的是(　　)
INCLUDEPICTURE "WS22.TIF"
A．该几何体是由两个同底的四棱锥组成的
B．该几何体有12条棱，6个顶点
C．该几何体有8个面，并且各个面均为三角形
D．该几何体有9个面，其中一个面是四边形，其余均为三角形
解析：选ABC．根据几何体的形状，得该几何体是由两个同底的四棱锥组成的，且有12条棱，6个顶点，8个面，且每个面都是三角形，所以选项A，B，C正确，选项D错误．故选ABC．
7．一个棱台至少有________个面，面数最少的棱台有________个顶点，有________条棱．
解析：面数最少的棱台是三棱台，共有5个面，6个顶点，9条棱．
答案：5　6　9
8．若正四棱台的上、下底面边长分别是5和7，对角面上的对角线长为9，则该棱台的高为__________．
解析：由题意，得正四棱台的对角面为等腰梯形，其中上底长为5，下底长为7，对角线长为9，则高为＝3.
答案：3
9．已知正四棱锥的底面边长为4，侧棱长为3，则此四棱锥的表面积为____________．
解析：该正四棱锥的四个侧面都是腰长为3，底边长为4的等腰三角形，底面是边长为4的正方形，所以该四棱锥的表面积为4××4×＋4×4＝16＋8.
答案：16＋8
10．试从如图所示的正方体ABCD A1B1C1D1的八个顶点中取若干个顶点，连接后构成以下空间几何体，并且用适当的符号将其表示出来．
(1)只有一个面是等边三角形的三棱锥；
(2)四个面都是等边三角形的棱锥；
(3)三棱柱．
INCLUDEPICTURE "25R7-19.TIF"
解：(1)如图1所示，三棱锥A1 AB1D1.(答案不唯一)
(2)如图2所示，三棱锥B1 ACD1.(答案不唯一)
(3)如图3所示，三棱柱ABD A1B1D1.(答案不唯一)
INCLUDEPICTURE "25R7-20.TIF"
INCLUDEPICTURE "能力提升.TIF"
11.(多选)如图，长方体ABCD A1B1C1D1被一个平面截成两个几何体，其中EF∥B1C1∥BC，则(　　)
INCLUDEPICTURE "25R7-21.TIF"
A．几何体ABCD A1EFD1是一个六面体
B．几何体ABCD A1EFD1是一个四棱台
C．几何体AA1EB DD1FC是一个四棱柱
D．几何体BB1E CC1F是一个三棱柱
解析：选ACD．在长方体ABCD A1B1C1D1中，EF∥B1C1∥BC，EB1∥FC1，故四边形EB1C1F为平行四边形，所以EF＝B1C1.因为几何体ABCD A1EFD1有六个面，所以几何体ABCD A1EFD1是一个六面体，故A正确；因为AA1∥DD1，所以侧棱的延长线不能交于一点，故几何体ABCD A1EFD1不是四棱台，故B错误；因为几何体AA1EB DD1FC的侧棱平行且相等，四边形AA1EB与四边形DD1FC是平行且全等的四边形，所以几何体AA1EB DD1FC为四棱柱，同理几何体BB1E CC1F是一个三棱柱，故C，D正确．
12.已知正四棱锥P ABCD的底面边长为4 cm，高PO与斜高PE之间的夹角为30°，如图所示，则正四棱锥的侧面积为____________，表面积为____________．
INCLUDEPICTURE "XA93.TIF"
解析：正四棱锥的高PO，斜高PE，与底面边心距OE组成Rt△POE.因为OE＝2 cm，∠OPE＝30°，
所以斜高PE＝＝4(cm)，
因此S侧＝4×BC·PE＝4××4×4＝32(cm2)，
S表面积＝S侧＋S底＝32＋16＝48(cm2).
答案：32 cm2　48 cm2
13．(2024·辽阳月考)已知正三棱锥P ABC的侧棱长为2，∠APB＝∠APC＝∠BPC＝30°.E，F分别是BP，CP上的点，则△AEF周长的最小值为________．
INCLUDEPICTURE "RJZ15.TIF"
解析：△AEF的周长即为AE，EF，FA三条线段的和，作出该三棱锥的侧面展开图，如图所示．当A，E，F，A′四点共线时，△AEF的周长取得最小值，由题意得∠APB＝∠BPC＝∠CPA′＝30°，所以∠APA′＝90°，AA′＝＝2.所以△AEF周长的最小值为2.
INCLUDEPICTURE "RJZ16.TIF"
答案：2
14．已知正四棱台上、下底面边长分别为3和9.若侧棱所在直线与上、下底面的中心的连线所成的角为45°，求棱台的侧面积．
解：如图正四棱台ABCD A1B1C1D1，设O1，O分别为上、下底面的中心，连接O1O，AC，A1C1，过点C1作C1E⊥AC于点E，过点E作EF⊥BC于点F，连接C1F，则C1F为正四棱台ABCD A1B1C1D1的斜高．由题意知∠CC1E＝45°，
INCLUDEPICTURE "RSS60.TIF"
CE＝CO－EO＝CO－C1O1＝×(9－3)＝3.
所以在Rt△C1EC中，C1E＝CE＝3，又EF＝CE×sin 45°＝3×＝3，所以C1F＝＝＝3.所以棱台的侧面积S侧＝×(3＋9)×3×4＝72.
INCLUDEPICTURE "素养拓展.TIF"
15．一个正三棱台的上、下底面边长分别是3 cm和6 cm，高是 cm.则：
(1)该三棱台的斜高为________cm；
(2)该三棱台的侧面积和表面积分别为________cm2和________cm2.
解析：(1)设O1，O分别为正三棱台ABC A1B1C1的上、下底面的中心，如图所示，
INCLUDEPICTURE "25SZ18.TIF"
连接O1O，则O1O＝ cm，连接A1O1并延长交B1C1于点D1，连接AO并延长交BC于点D，连接D1D，则D1D为该三棱台的斜高，过D1作D1E⊥AD交AD于点E，则D1E＝O1O＝ cm.因为O1D1＝×3＝(cm)，OD＝×6＝(cm)，所以DE＝OD－O1D1＝－＝(cm).在Rt△D1DE中，D1D＝＝＝(cm).故该三棱台的斜高为 cm.
(2)S侧＝3××＝(cm2)，S表＝S侧＋S上＋S下＝＋×32＋×62＝(cm2)，故该三棱台的侧面积为 cm2，表面积为 cm2.
答案：(1)　(2)　
16.如图，在边长为2a的正方形ABCD中，E，F分别为AB，BC的中点，沿图中虚线将3个三角形折起，使点A，B，C重合，重合后记为点P.问：
INCLUDEPICTURE "RSS62.TIF"
(1)折起后形成的几何体是什么几何体？
(2)这个几何体共有几个面？每个面的三角形有何特点？
(3)每个面的三角形面积为多少？
解：(1)如图，折起后的几何体是三棱锥．
INCLUDEPICTURE "RSS63.TIF"
(2)这个几何体共有4个面，其中△DEF为等腰三角形，△PEF为等腰直角三角形，△DPE和△DPF均为直角三角形．
(3)S△PEF＝a2，S△DPF＝S△DPE＝×2a×a＝a2，
S△DEF＝×a× ＝a2.