11.1.5　课后达标检测（教师版）

1．下列图形中有(　　)
A．圆柱、圆锥、圆台和球
B．圆柱、球和圆锥
C．球、圆柱和圆台
D．棱柱、棱锥、圆锥和球
解析：选B．根据题中图形可知，①是球，②是圆柱，③是圆锥，④不是圆台，故选B．
2．过圆柱的上、下底面圆的圆心的平面截圆柱所得的截面是面积为16的正方形，则圆柱的侧面积是(　　)
A．12π B．16π
C．8π D．10π
解析：选B．由题意分析知底面圆的直径d＝4，圆柱的母线长l＝4，所以圆柱的侧面积S＝πdl＝16π.
3．已知圆台的上、下底面的半径分别为R，r，若R＝2r＝2，高h＝，则该圆台的侧面积为(　　)
A．9π B．11π
C．6π D．3π
解析：选C．如图所示，过A作AC垂直于O2B于点C，则BC＝1，AC＝，所以在Rt△ACB 中，l＝AB＝ ＝2，
所以 S圆台侧＝π(R＋r)l＝π×(2＋1)×2＝6π.故选C．
4．(2024·德州期末)如图，一个圆柱的底面半径为，高为2，若它的两个底面圆周均在球O的球面上，则球O的半径为(　　)
A．2 B．4
C． D．
解析：选A．根据题意，如图，O′A＝，OO′＝1，故在Rt△OO′A中，OA＝＝＝2，所以球O的半径为2.故选A．
5．(多选)下列关于球体的说法正确的是(　　)
A．球体是空间中到定点的距离等于定长的点的集合
B．球面是空间中到定点的距离等于定长的点的集合
C．一个圆绕其直径所在直线旋转一周形成的曲面所围成的几何体是球体
D．球的对称轴只有1条
解析：选BC．空间中到定点的距离等于定长的点的集合是球面，所以A错误，B正确；由球体的定义，知C正确；球的每一条直径所在的直线均为它的对称轴，所以D错误．
6．(多选)如图，一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与一个球的直径2R相等，下列结论正确的是(　　)
A．圆柱的侧面积为4πR2
B．圆锥的侧面积为πR2
C．圆柱的侧面积与球的表面积相等
D．三个几何体的表面积中，球的表面积最小
解析：选ABC．依题意知球的表面积为4πR2，圆柱的侧面积为2π×R×2R＝4πR2，所以A，C选项正确；圆锥的侧面积为π×R×＝πR2，所以B选项正确；圆锥的表面积为πR2＋πR2＝(1＋)πR2<4πR2，所以D选项错误．故选ABC．
7．正方形ABCD绕对角线AC所在直线旋转一周所得组合体的结构特征是__________________________________________________．
解析：如图，正方形绕其一条对角线所在直线旋转一周形成的几何体是两个同底等高的圆锥形成的组合体．
答案：两个同底等高的圆锥组合体
8．若一个圆台的母线长为5，上、下底面圆的直径长分别为2，8，则圆台的高为________．
解析：由题意得，圆台的轴截面为等腰梯形ABCD，其中上底长为2，下底长为8，腰长为5，如图所示，作CE⊥AB于点E，则CE为圆台的高，所以高CE＝ ＝4.
答案：4
9．如图所示，把底面半径为8 cm的圆锥放倒，使圆锥在水平面内绕圆锥顶点S滚动，当这个圆锥在平面内转回原位置时，圆锥本身滚动了2.5周，则圆锥的母线长为__________cm，表面积为________cm2.
解析：设圆锥的母线长为l，以S为圆心，SA为半径的圆的面积为S＝πl2.又圆锥的侧面积S1＝8πl，根据圆锥在平面内转回到原位置时，圆锥本身滚动了2.5周，得πl2＝2.5×8πl，所以l＝20 cm.故圆锥的表面积为S圆锥侧＋S底＝π×8×20＋π×82＝224π(cm2).
答案：20　224π
10．一个圆锥的高为2 cm，母线与轴的夹角为30°，求圆锥的母线长及圆锥的轴截面的面积．
解：如图轴截面SAB，圆锥SO的底面直径为AB，SO为高，SA为母线，
则∠ASO＝30°，SO＝2 cm.
在Rt△SOA中，
AO＝SO·tan 30°＝(cm)，
SA＝＝＝(cm)，
所以S△ASB＝SO·2AO＝(cm2).
所以圆锥的母线长为 cm，圆锥的轴截面的面积为 cm2.
11．(多选)已知圆台的上、下底面半径分别是10和20，它的侧面展开图扇环的圆心角为180°，则圆台的(　　)
A．母线长是20 B．表面积是1 100π
C．高是10 D．轴截面为等腰梯形
解析：选ABD．圆台的轴截面是等腰梯形，故D正确；设圆台母线长为l，所以l＝＝20，故A正确；表面积为S＝π×102＋π×202＋π(10＋20)×20＝1 100π，故B正确；高h＝＝10，故C错误．故选ABD．
12．(2024·威海期末)如图所示，一圆柱内挖去一个圆锥，圆锥的顶点是圆柱底面的圆心，圆锥的底面是圆柱的另一个底面．圆柱的母线长为6，底面半径为2，则该组合体的表面积为____________．
解析：挖去的圆锥的母线长为＝2，则圆锥的侧面积为4π，
圆柱的侧面积为2π×2×6＝24π，
圆柱的一个底面面积为π×22＝4π，所以该组合体的表面积为4π＋24π＋4π＝(4＋28)π.
答案：(4＋28)π
13．已知球O的半径为5，球内一点M到球心O的距离为4，过点M的平面截球的截面面积为S，则S的最小值为____________．
解析：设球的半径为R，截面面积最小的半径为r，由题意可得r2≥R2－OM2，所以当OM垂直于截面时，截面的半径最小，即截面的面积最小，由r2＝R2－OM2＝25－16＝9，得截面面积的最小值为S＝πr2＝9π.
答案：9π
14.如图所示，圆台母线AB长为20 cm，上、下底面半径分别为5 cm 和10 cm，从母线AB的中点M拉一条绳子绕圆台侧面转到B点，求这条绳子长度的最小值．
解：如图所示，设圆台上、下底面的中心分别为P和Q，作出圆台的侧面展开图及其所在的圆锥，连接MB′.
在圆台的轴截面中，
因为Rt△OPA∽Rt△OQB，
所以＝，
所以＝.
所以OA＝20 cm.
设∠BOB′＝α，由′的长与底面圆Q的周长相等，得2×10×π＝2×OB×π×，
即20π＝2×(20＋20)π×，
所以α＝90°.
所以在Rt△B′OM中，
B′M＝＝＝50(cm).
即所求绳子长度的最小值为50 cm.
15.碌碡是我国古代人民发明的一种把米、麦、豆等粮食加工成粉末的器具．如图，近似圆柱形碌碡的轴固定在经过圆盘圆心且垂直于圆盘的木桩上，当人或动物推动木柄时，碌碡在圆盘上滚动．若人或动物推动木柄绕圆盘转动一周，碌碡恰好滚动了3圈，则该圆柱形碌碡的底面圆的半径与其高之比为(　　)
A．1∶2 B．1∶3
C．1∶4 D．2∶3
解析：选B．设圆柱形碌碡的底面圆半径与其高分别为r，h.易知圆柱形碌碡的高与圆盘的半径大约相等，又木柄绕圆盘转动1周，碌碡恰好滚动了3圈，所以3×2πr＝2πh，所以该圆柱形碌碡的底面圆的半径与其高之比为1∶3.
16．如图，“中国天眼”反射面的形状为球冠，球冠是球面被平面所截后剩下的曲面，截得的圆为球冠的底，与截面垂直的球体直径被截得的部分为球冠的高，设球冠底的半径为r，球冠的高为h，球冠底面圆周长为C．
(1)求球冠所在球的半径R(结果用h，r表示)；
(2)已知球冠的表面积公式为S＝2πRh，当S＝65 000π，C＝500π时，求的值及球冠所在球的表面积．
解：(1)如图，点O是球冠所在球面的球心，点O1是球冠底面圆圆心，点A是球冠底面圆周上的一点，线段O1B是球冠的高，依题意，OB垂直于球冠底面，显然O1B＝h，OO1＝R－h，O1A＝r，
在Rt△OO1A中，OA2＝OO＋O1A2，
即R2＝(R－h)2＋r2，
整理化简得R＝，
所以球冠所在球的半径R＝.
(2)因为球冠底面圆周长C＝500π，则r＝＝250，又S＝2πRh，且S＝65 000π，则h＝＝，由(1)知R＝，即65 000＝＋2502，解得R＝650，
于是得＝＝，球O的表面积为4πR2＝4π×6502＝1 690 000π，所以的值是，球冠所在球的表面积是1 690 000π.