11.1.5　旋转体（教师版）

11．1.5　旋转体
1.理解圆柱、圆锥、圆台、球的有关概念，初步运用旋转的观点去观察问题．　2.理解旋转体的结构特征，并会进行简单的有关计算．
你到过孔子六艺城吗？在孔子六艺城中有一个地方是数学爱好者必去的，那就是“数厅”．如图，以圆柱体为基座，巨型球体悬其之上，形成了国内少有的圆形建筑物，甚为壮观．
思考　几何体球、圆柱和上节课学习的多面体有何区别？
提示：球、圆柱不是由平面多边形围成的多面体，它们是旋转体．
一　圆柱、圆锥、圆台的结构特征
分类 定义 图形 表示
圆柱 以________的一边所在直线为旋转轴，将矩形旋转一周而形成的几何体 用表示圆柱轴的字母表示圆柱，左图可表示为________
圆锥 以________所在直线为旋转轴，将直角三角形旋转一周而形成的几何体 用表示圆锥轴的字母表示圆锥，左图可表示为________
圆台 以直角梯形__________所在直线为旋转轴，将直角梯形旋转一周而形成的几何体 用表示圆台轴的字母表示圆台，左图可表示为________
[答案自填] 矩形　圆柱OO′　直角三角形一直角边　圆锥SO　垂直于底边的腰　圆台OO′
【即时练】
1．下列说法正确的是(　　)
①以直角梯形的一腰所在直线为轴旋转一周所得的旋转体是圆台；
②圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆；
③以等腰三角形的底边上的高线所在的直线为旋转轴，其余各边旋转一周形成的曲面所围成的空间图形是圆锥．
A．① B．①②
C．②③ D．③
解析：选D．①错误，以直角梯形垂直于底边的一腰所在直线为轴旋转一周可得到圆台．②错误，圆柱、圆锥、圆台的底面为圆面．③正确．
2．(多选)下列命题为假命题的是(　　)
A．矩形绕一条直线旋转一周所得的旋转体是圆柱
B．圆柱的轴截面是过母线的截面中面积最大的一个
C．在圆台的上、下两底面圆周上各取一点，则这两点的连线是圆台的母线
D．圆柱的任意两条母线所在的直线是互相平行的
解析：选AC．矩形绕其对角线所在直线旋转一周得到的旋转体不是圆柱，A为假命题；B为真命题；由圆台、圆柱母线的性质可知C为假命题，D为真命题．
(1)圆柱的结构特征
①底面是互相平行且全等的圆面；
②母线有无数条，都平行于旋转轴；
③轴截面为矩形．
(2)圆锥的结构特征
①底面是圆面；
②圆锥的顶点与底面圆周上任一点的连线都是圆锥的母线；
③母线有无数条，母线长都相等，侧面由无数条母线组成；
④轴截面为等腰三角形．
(3)圆台的结构特征
①上、下底面是半径不相等的圆面；
②母线有无数条，母线长都相等，各条母线的延长线交于一点；
③轴截面为等腰梯形．
二　圆柱、圆锥、圆台的有关计算
圆柱 底面积：S底＝______________________侧面积：S侧＝2πrl表面积：S＝______________________________
圆锥 底面积：S底＝_________________________________侧面积：S侧＝πrl表面积：S＝______________________________
圆台 上底面面积：S上底＝________________________________下底面面积：S下底＝_____________________________________侧面积：S侧＝_______________________________表面积：S＝________________________________
[答案自填] πr2　2πr(r＋l)　πr2　πr(r＋l)　πr′2　πr2　πl(r＋r′)　π(r′2＋r2＋r′l＋rl)
(1)(2024·东营期末)已知圆锥的顶点为O，底面圆心为O1，过OO1的平面截该圆锥所得截面为一个面积为4的等边三角形，则与该圆锥同底等高的圆柱的表面积为(　　)
A．8π B．8π
C．12π D．8π＋8π
(2)若圆台的上、下底面半径分别为2，6，且侧面面积等于两底面面积之和，则圆台的母线长为________，表面积为________．
【解析】 (1)由题意，设所截得的等边三角形的边长为a，
可得a2＝4，解得a＝4，
则圆锥的高h＝4sin 60°＝2，
底面圆的半径r＝2，
所以与该圆锥同底等高的圆柱的表面积
S＝S侧＋2S底＝2πrh＋2πr2
＝2π×2×2＋2π×22＝8π＋8π.
(2)设圆台的母线长为l，则由题意得
π(2＋6)l＝π×22＋π×62，
所以8πl＝40π，解得l＝5，所以该圆台的母线长为5.
圆台的表面积为S＝π×(2＋6)×5＋π×22＋π×62＝40π＋4π＋36π＝80π.
【答案】 (1)D　(2)5　80π
圆柱、圆锥、圆台基本量的计算问题的求解策略
(1)解决圆柱基本量的计算问题，要抓住它的底面半径、高(母线)与轴截面矩形之间的关系，注意在轴截面矩形中一边长为圆柱的高，另一边长为圆柱的底面直径．
(2)解决圆锥基本量的计算问题，要从圆锥的轴截面入手，往往利用轴截面中的直角三角形建立底面半径r、高h、母线长l三者之间的关系l2＝h2＋r2.
(3)解决圆台基本量的计算问题，一般从圆台的轴截面(等腰梯形)入手，利用轴截面可以分割为两个全等的直角三角形和一个矩形，结合题目条件求解．另外，也可以将其两腰延长转化为等腰三角形，从而可以利用平行线分线段成比例、三角形相似等知识来解决．
[跟踪训练1] (1)(多选)如图，四边形BCC1B1是圆柱的轴截面，AA1是圆柱的一条母线，已知AB＝4，AC＝2，AA1＝3，则下列说法正确的是(　　)
A．圆柱的侧面积为2π
B．圆柱的侧面积为6π
C．圆柱的表面积为6π＋12π
D．圆柱的表面积为2π＋6π
解析：选BC．因为AB＝4，AC＝2，所以BC＝＝2，即圆柱的底面半径r＝，又因为AA1＝3，所以圆柱的侧面积是2πrl＝2π××3＝6π，圆柱的表面积是2πrl＋2πr2＝6π＋12π.故选BC．
(2)若圆锥的侧面积为2π，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的底面半径是__________．
解析：设圆锥的底面半径为r，圆锥的母线长为l，则πl2＝2π，解得l＝2，又2πr＝πl＝2π，解得r＝1.
答案：1
三　球的结构特征与有关计算
1．球的结构特征
定义 图形 表示
球面可以看成一个______绕着它的直径所在的直线旋转一周所形成的曲面；________围成的几何体，称为球 球常用球心字母进行表示，左图可表示为__________
2.球的截面的性质
(1)球的截面是一个________；
(2)球心与截面圆圆心的连线__________于截面；
(3)球半径R，截面圆半径r，则球心到截面的距离d＝__________．
3．球的表面积
设球的半径为R，则球的表面积为________，即球的表面积等于它的大圆面积的________倍．
[答案自填] 半圆　球面　球O　圆面
垂直　　4πR2　4
(1)(多选)下列说法正确的是(　　)
A．球的半径是球面上任意一点与球心的连线
B．球面上任意两点的连线是球的直径
C．用一个平面截一个球，得到的截面是一个圆面
D．以半圆的直径所在直线为旋转轴旋转一周形成的曲面叫做球
(2)若用与球心距离为1的平面去截球，所得截面圆的面积为π，则球的表面积为(　　)
A． B．
C．8π D．
【解析】　(1)球的半径是连接球心和球面上任意一点的线段，A正确；只有两点的连线经过球心时才为直径，B错误；由球的结构特征易得C正确；球面和球是两个不同的概念，以半圆的直径所在直线为旋转轴旋转一周形成的曲面叫做球面，球面围成的几何体叫做球，D错误．
(2)设球的半径为R，则截面圆的半径为，所以截面圆的面积为S＝π()2＝(R2－1)π＝π，所以R2＝2，所以球的表面积S＝4πR2＝8π.故选C．
【答案】　(1)AC　(2)C
(1)球的结构特征
①球是旋转体，由球面及球面所围的空间部分构成；
②用一个平面去截球，截面都是圆面，经过球心的截面为面积最大的截面．
(2)球的表面积的求法及其注意事项
①要求球的表面积，必须知道半径R或者通过条件能求出半径R，然后代入表面积公式求解．
②半径和球心是球的最关键要素，把握住这两点，计算球的表面积的相关题目也就易如反掌了．
[跟踪训练2] (1)已知过球面上三点A，B，C的截面到球心的距离等于球半径的一半，且AC＝BC＝6，AB＝4，则球的表面积为(　　)
A．42π　　 B．48π
C．54π D．60π
解析：选C．设球的半径为R，△ABC外接圆的半径为r.
如图，O为球心，O′是△ABC的外心，
则OO′⊥平面ABC．
连接CO′并延长，交AB于点D．
因为AC＝BC＝6，所以CD⊥AB．
所以在Rt△ACD中，cos ∠CAD＝＝，则sin ∠CAD＝.
在△ABC中，由正弦定理得＝2r，解得r＝，
由题意可知r＝R，所以R＝，所以球的表面积为4πR2＝54π.
(2)某地球仪上北纬30°纬线圈的长度为12π cm，如图所示，则该地球仪的半径是________cm.
解析：如图所示，由题意知，北纬30°所在小圆的周长为12π cm，
则该小圆的半径r＝6 cm，
其中∠ABO＝30°，所以该地球仪的半径
R＝＝4(cm).
答案：4
1．(多选)下列说法中，正确的是(　　)
A．圆柱的轴截面是过母线的截面中面积最大的一个
B．用一个平面去截圆锥，底面与截面之间的部分组成的几何体叫圆台
C．圆台的所有平行于底面的截面都是圆面
D．以等腰三角形的底边上的高所在直线为旋转轴，其余各边旋转180°形成的曲面围成的空间图形是圆锥
解析：选ACD．对于A，圆柱的轴截面是过母线的截面中面积最大的一个，A正确；对于B，用一个平行于底面的平面截圆锥，底面与截面之间的部分组成的几何体叫圆台，B错误；对于C，圆台的所有平行于底面的截面都是圆面，C正确；对于D，由圆锥的定义易知D正确．
2．(教材P82练习AT5改编)若圆锥的底面半径为1，高为，则圆锥的表面积为(　　)
A．π B．2π
C．3π D．4π
解析：选C．设圆锥的母线长为l，则l＝＝2，所以圆锥的表面积为S＝π×1×(1＋2)＝3π.
3．两相邻边长分别为3 cm和4 cm的矩形，以一边所在的直线为旋转轴，将矩形旋转一周所形成的圆柱的底面积为________cm2.
解析：当以3 cm长的一边所在的直线为旋转轴时，旋转一周得到的圆柱的底面半径为4 cm，底面积为16π cm2；当以4 cm长的一边所在的直线为旋转轴时，旋转一周得到的圆柱的底面半径为3 cm，底面积为9π cm2.
答案：16π或9π
4．用长为4，宽为2的矩形作侧面围成一个圆柱，求此圆柱轴截面的面积．
解：当围成的圆柱底面周长为4，高为2时，设圆柱的底面半径为r，则2πr＝4，所以r＝，所以轴截面是长为2，宽为的矩形，所以轴截面的面积为2×＝.同理，当围成的圆柱底面周长为2，高为4时，轴截面的面积也为.综上，此圆柱轴截面的面积为.
1．已学习：圆柱、圆锥、圆台以及球的表面积．
2．须贯通：解决旋转体的表面积，要利用好旋转体的轴截面及侧面展开图，借助平面几何知识，求得所需要的几何要素；公式是计算球的表面积的关键，半径与球心是确定球的条件．
3．应注意：(1)解决旋转体的表面积问题，密切关注轴截面及侧面展开图；
(2)球心位置的确定要准确．