11.1.6 祖暅原理与几何体的体积（教师版）
文档属性
| 名称 | 11.1.6 祖暅原理与几何体的体积（教师版） |
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| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 611.4KB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教B版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2026-02-27 00:00:00 | ||
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文档简介
11．1.6 祖暅原理与几何体的体积
1.理解祖暅原理的内容，会用祖暅原理推导柱体、锥体和台体的体积公式． 2.掌握柱体、锥体、台体的体积公式，并能熟练应用． 3.熟练掌握并能运用球的体积公式．
INCLUDEPICTURE "新知学习探究LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "新知学习探究LLL.TIF" \* MERGEFORMAT
INCLUDEPICTURE "新课导学1LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "新课导学1LLL.TIF" \* MERGEFORMAT
瞧，这么宏伟壮观的金字塔呀！
——你们能求出它的体积吗？
INCLUDEPICTURE "25SZ19.TIF" INCLUDEPICTURE "25SZ19.TIF" \* MERGEFORMAT
看，这不是不复存在的世贸双子塔吗？
——这两个棱柱的体积怎么求？
INCLUDEPICTURE "25SZ20.TIF" INCLUDEPICTURE "25SZ20.TIF" \* MERGEFORMAT
想知道吗？让我们一起来学习今天的内容吧！
一 祖暅原理
(1)内容：幂势既同，则积不容异．
(2)含义：夹在______________的两个几何体，如果被平行于这两个平面的________所截，两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积一定相等．
(3)应用：________________的两个柱体或锥体的体积相等．
[答案自填] 两个平行平面间 任意平面 等底面积、等高
【即时练】
1．设A，B为两个等高的几何体，p：A，B的体积相等，q：A，B在同一高处的截面面积相等．根据祖暅原理可知，p是q的( )
A．充要条件 B．充分不必要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
答案：C
2．如图将底面直径皆为2b，高皆为a的“椭半球体”和已被挖去了圆锥体的圆柱体放置于同一平面β上，用平行于平面β且与β相距任意距离d处的平面截两个几何体，可横截得到一个圆面和一个圆环面，可以证明S圆＝S环总成立．据此，当b＝2 cm，a＝3 cm时，“椭半球体”的体积是( )
INCLUDEPICTURE "BS4.TIF" INCLUDEPICTURE "BS4.TIF" \* MERGEFORMAT
A．4π cm3 B．8π cm3
C．12π cm3 D．16π cm3
解析：选B．设“椭半球体”和被挖去了圆锥体的圆柱体被与β距离d处的平面截得的圆面、圆环面的面积分别为S1，S2，“椭半球体”和被挖去了圆锥体的圆柱体的体积分别为V1，V2，则S1＝S2，由“祖暅原理”两个几何体的体积相等，故V1＝V2＝πb2a－πb2a＝πb2a＝8π(cm3).故选B．
二 柱体、锥体、台体的体积
名称 体积(V)
柱体 棱柱 V＝Sh
圆柱 V＝πr2h
锥体 棱锥 V＝Sh
圆锥 V＝πr2h
台体 棱台 V＝(S2＋＋S1)h
圆台 V＝π(r＋r2r1＋r)h
其中S表示棱柱和棱锥的底面积，S1，S2分别表示棱台上、下底面的面积，h表示高，r表示圆柱和圆锥的底面半径，r1和r2分别表示圆台上、下底面的半径．
INCLUDEPICTURE "例1LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "例1LLL.TIF" \* MERGEFORMAT (1)如图，已知正六棱柱的最大对角面的面积为1 m2，互相平行的两个侧面的距离为1 m，则这个正六棱柱的体积为( )
INCLUDEPICTURE "RSS80.TIF" INCLUDEPICTURE "RSS80.TIF" \* MERGEFORMAT
A． m3 B． m3
C．1 m3 D． m3
(2)(对接教材例2)正四棱台的底面边长分别为20 cm和10 cm，侧面面积为780 cm2，则正四棱台的体积为________ cm3.
【解析】 (1)设正六棱柱的底面边长为a m，高为h m，则2ah＝1，a＝1，解得a＝，h＝.所以正六棱柱的体积V＝××6×＝(m3).
(2)正四棱台的大致图形如图所示，其中A1B1＝10 cm，AB＝20 cm，取A1B1的中点E1，AB的中点E，连接E1E，则E1E为斜高．
INCLUDEPICTURE "25R7-64.TIF" INCLUDEPICTURE "25R7-64.TIF" \* MERGEFORMAT
设O1，O分别是上、下底面的中心，连接O1O，O1E1，OE，则四边形EOO1E1为直角梯形．因为S侧＝4××(10＋20)×EE1＝780(cm2)，
所以EE1＝13 cm.
在直角梯形EOO1E1中，
O1E1＝B1C1＝A1B1＝5(cm)，
OE＝BC＝AB＝10(cm)，
所以O1O＝＝12(cm)，
所以该正四棱台的体积为V＝×(102＋202＋10×20)×12＝2 800(cm3).
【答案】 (1)B (2)2 800
INCLUDEPICTURE "解题技法LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "解题技法LLL.TIF" \* MERGEFORMAT
求几何体体积的常用方法
INCLUDEPICTURE "SXA15.TIF" INCLUDEPICTURE "SXA15.TIF" \* MERGEFORMAT
[跟踪训练1] (1)如图，一个底面半径为2的圆柱被一平面所截，截得的几何体的最短和最长母线长分别为2和3，则该几何体的体积为( )
INCLUDEPICTURE "APV3.TIF" INCLUDEPICTURE "APV3.TIF" \* MERGEFORMAT
A．5π B．6π
C．20π D．10π
解析：选D．用一个完全相同的几何体把题中几何体补成一个圆柱，如图，则圆柱的体积为π×22×5＝20π，故所求几何体的体积为10π.
INCLUDEPICTURE "APV4.TIF" INCLUDEPICTURE "APV4.TIF" \* MERGEFORMAT
(2)(2024·新课标Ⅰ卷)已知圆柱和圆锥的底面半径相等，侧面积相等，且它们的高均为，则圆锥的体积为( )
A．2π B．3π
C．6π D．9π
解析：选B．设圆柱和圆锥的底面半径均为r，因为它们的高均为，且侧面积相等，所以2πr×＝πr，得r2＝9，所以圆锥的体积V＝πr2×＝3π.故选B．
三 球的体积
一般地，如果球的半径为R，那么球的体积计算公式为V球＝__________．
[答案自填] πR3
INCLUDEPICTURE "例2LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "例2LLL.TIF" \* MERGEFORMAT (1)一平面截一球得到直径为2 cm的圆面，球心到这个平面的距离是2 cm，则该球的体积是( )
A．12π cm3 B．36π cm3
C．64π cm3 D．108π cm3
(2)若圆锥的体积与球的体积相等，且圆锥的底面半径与球的直径相等，则圆锥的侧面积与球的表面积之比为( )
A．∶2 B．2∶1
C．∶2 D．3∶2
【解析】 (1)设球心为O，截面圆心为O1，连接OO1，如图所示，在Rt△OO1A中，O1A＝ cm，OO1＝2 cm，所以球的半径R＝OA＝＝3(cm)，所以球的体积V＝π×33＝36π(cm3).故选B．
INCLUDEPICTURE "25R7-82.TIF" INCLUDEPICTURE "25R7-82.TIF" \* MERGEFORMAT
(2)设圆锥的底面半径为r，高为h，母线长为l，球的半径为R，
则由题意得
解得
所以l＝＝h，
所以S圆锥侧＝πrl＝π×2h×h＝2πh2，
S球＝4πR2＝4πh2，
所以＝＝.
故圆锥侧面积与球的表面积之比为∶2.
【答案】 (1)B (2)C
INCLUDEPICTURE "解题技法LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "解题技法LLL.TIF" \* MERGEFORMAT
(1)求球的体积，关键是求球的半径R.
(2)球与其他几何体组合的问题，往往需要作截面来解决，所作的截面尽可能过球心、切点、接点等．
[跟踪训练2] 若将8个半径为1的实心铁球熔成一个大球，则这个大球的半径是( )
A．8 B．2
C．2 D．
解析：选C．8个半径为1的实心铁球的总体积为8×π×13＝π，设大球半径为R，则πR3＝π，解得 R＝2.故选C．
四 组合体的体积
INCLUDEPICTURE "例3lll.TIF" INCLUDEPICTURE "例3lll.TIF" \* MERGEFORMAT (对接教材例3)如图，组合体下部是一个直三棱柱，△A1B1C1为等腰直角三角形，BC＝CE＝2，上部是一个三棱锥，且三棱锥的高AE＝3，三棱柱的高A1E＝3，求组合体的表面积和体积．
INCLUDEPICTURE "25R7-73.TIF" INCLUDEPICTURE "25R7-73.TIF" \* MERGEFORMAT
【解】 组合体的下部是一个直三棱柱，由题意可知S底＝×2×2＝2，S侧面＝3×2＋3×2＋3×＝12＋6；上部是一个三棱锥，AC＝＝，AB＝＝，则AB2＝AC2＋BC2，所以BC⊥AC，除底面BCE外的表面积S1＝×3×2＋×3×2＋×2×＝3＋3＋，所以S表＝S底＋S侧面＋S1＝17＋9＋.V＝V三棱锥＋V三棱柱＝××2×2×3＋×2×2×3＝2＋6＝8.
INCLUDEPICTURE "解题技法LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "解题技法LLL.TIF" \* MERGEFORMAT
求组合体体积的步骤
(1)分析组合体的结构特征：弄清组合体的组成形式，找准常见几何体的关键量．
(2)设计计算方法：依据组合体的组成形式，经常利用“切割”“补形”的方法求解．
(3)计算求值：依据计算方法与常见几何体的体积公式计算求解．
[跟踪训练3] 在传统木匠中，木楔子是一种常见的工具，它使得榫卯配合的牢固程度最大化，是用于填充器物的空隙使其牢固的木橛、木片等．如图为一个木楔子的直观图，其底面ABCD是一个矩形，其中AB＝4，BC＝3，EF＝2，EA＝ED＝FB＝FC＝，EF∥AB，则该木楔子的体积为____________．
INCLUDEPICTURE "25r7-67.TIF" INCLUDEPICTURE "25r7-67.TIF" \* MERGEFORMAT
解析：如图，分别过点E，F作AB，CD的垂线，垂足分别为G，H，M，N，连接GM，HN，则AG＝DM＝NC＝HB＝1，EG＝EM＝FH＝FN＝＝3，取GM的中点O，连接
INCLUDEPICTURE "25R7-68.TIF" INCLUDEPICTURE "25R7-68.TIF" \* MERGEFORMAT
EO，因为EG＝EM，所以EO⊥GM，则EO＝＝，所以V四棱锥E AGMD＝V四棱锥F HBCN＝×1×3×＝，V三棱柱GME HNF＝×3××2＝，所以该木楔子的体积V＝V四棱锥E AGMD＋V四棱锥F HBCN＋V三棱柱GME HNF＝.
答案：
INCLUDEPICTURE "课堂巩固自测LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "课堂巩固自测LLL.TIF" \* MERGEFORMAT
1．若圆台上、下底面半径分别是1，2，高为，则这个圆台的体积是( )
A．π B．2π
C．7π D．π
解析：选A．设圆台的上、下底面半径分别为r1，r2，高为h，由圆台体积公式知，V＝πh(r＋r＋r1r2)＝××(12＋22＋1×2) ＝π.故选A．
2．已知球的体积是，则此球的表面积是( )
A．12π B．16π
C． D．
解析：选B．设球的半径为R，所以πR3＝，所以R＝2，所以S球＝4πR2＝16π.
3．(多选)(2024·阜新期末)圆柱的侧面展开图是长12 cm，宽8 cm的矩形，则这个圆柱的体积可能是( )
A． cm3 B． cm3
C．288π cm3 D．192π cm3
解析：选AB．当圆柱的高为8 cm时，体积V＝π××8＝(cm3)；当圆柱的高为12 cm时，体积V＝π××12＝(cm3).
4．如图，在棱长为1的正方体中，截去三棱锥A A1BD，求剩余的几何体的体积与表面积．
INCLUDEPICTURE "RJZX24.TIF" INCLUDEPICTURE "RJZX24.TIF" \* MERGEFORMAT
解：因为正方体ABCD A1B1C1D1的棱长为1，
三棱锥A A1BD的体积V三棱锥A A1BD＝V三棱锥A1 ABD＝S△ABD·AA1＝××1×1×1＝.
所以剩余几何体的体积V＝V正方体－V三棱锥A A1BD＝1－＝.又△A1BD是边长为的等边三角形，S△A1BD＝××sin ＝，
所以S△CBD＝S△A1D1D＝S△A1B1B＝，S正方形BCC1B1＝S正方形CDD1C1＝S正方形A1B1C1D1＝1，所以剩余几何体的表面积为＋3×＋3×1＝.
INCLUDEPICTURE "课堂小结.TIF" INCLUDEPICTURE "课堂小结.TIF" \* MERGEFORMAT
1．已学习：祖暅原理，柱体、锥体、台体、球及简单组合体的体积公式．
2．须贯通：三棱锥的体积可以通过转换底面即“等体积法”来求解；求旋转体体积的关键是寻求底面积与高，一般是在由母线、高、半径组成的直角三角形中列出方程求解．
3．应注意：熟记体积公式，球心位置的确定要准确．
1.理解祖暅原理的内容，会用祖暅原理推导柱体、锥体和台体的体积公式． 2.掌握柱体、锥体、台体的体积公式，并能熟练应用． 3.熟练掌握并能运用球的体积公式．
INCLUDEPICTURE "新知学习探究LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "新知学习探究LLL.TIF" \* MERGEFORMAT
INCLUDEPICTURE "新课导学1LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "新课导学1LLL.TIF" \* MERGEFORMAT
瞧，这么宏伟壮观的金字塔呀！
——你们能求出它的体积吗？
INCLUDEPICTURE "25SZ19.TIF" INCLUDEPICTURE "25SZ19.TIF" \* MERGEFORMAT
看，这不是不复存在的世贸双子塔吗？
——这两个棱柱的体积怎么求？
INCLUDEPICTURE "25SZ20.TIF" INCLUDEPICTURE "25SZ20.TIF" \* MERGEFORMAT
想知道吗？让我们一起来学习今天的内容吧！
一 祖暅原理
(1)内容：幂势既同，则积不容异．
(2)含义：夹在______________的两个几何体，如果被平行于这两个平面的________所截，两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积一定相等．
(3)应用：________________的两个柱体或锥体的体积相等．
[答案自填] 两个平行平面间 任意平面 等底面积、等高
【即时练】
1．设A，B为两个等高的几何体，p：A，B的体积相等，q：A，B在同一高处的截面面积相等．根据祖暅原理可知，p是q的( )
A．充要条件 B．充分不必要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
答案：C
2．如图将底面直径皆为2b，高皆为a的“椭半球体”和已被挖去了圆锥体的圆柱体放置于同一平面β上，用平行于平面β且与β相距任意距离d处的平面截两个几何体，可横截得到一个圆面和一个圆环面，可以证明S圆＝S环总成立．据此，当b＝2 cm，a＝3 cm时，“椭半球体”的体积是( )
INCLUDEPICTURE "BS4.TIF" INCLUDEPICTURE "BS4.TIF" \* MERGEFORMAT
A．4π cm3 B．8π cm3
C．12π cm3 D．16π cm3
解析：选B．设“椭半球体”和被挖去了圆锥体的圆柱体被与β距离d处的平面截得的圆面、圆环面的面积分别为S1，S2，“椭半球体”和被挖去了圆锥体的圆柱体的体积分别为V1，V2，则S1＝S2，由“祖暅原理”两个几何体的体积相等，故V1＝V2＝πb2a－πb2a＝πb2a＝8π(cm3).故选B．
二 柱体、锥体、台体的体积
名称 体积(V)
柱体 棱柱 V＝Sh
圆柱 V＝πr2h
锥体 棱锥 V＝Sh
圆锥 V＝πr2h
台体 棱台 V＝(S2＋＋S1)h
圆台 V＝π(r＋r2r1＋r)h
其中S表示棱柱和棱锥的底面积，S1，S2分别表示棱台上、下底面的面积，h表示高，r表示圆柱和圆锥的底面半径，r1和r2分别表示圆台上、下底面的半径．
INCLUDEPICTURE "例1LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "例1LLL.TIF" \* MERGEFORMAT (1)如图，已知正六棱柱的最大对角面的面积为1 m2，互相平行的两个侧面的距离为1 m，则这个正六棱柱的体积为( )
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A． m3 B． m3
C．1 m3 D． m3
(2)(对接教材例2)正四棱台的底面边长分别为20 cm和10 cm，侧面面积为780 cm2，则正四棱台的体积为________ cm3.
【解析】 (1)设正六棱柱的底面边长为a m，高为h m，则2ah＝1，a＝1，解得a＝，h＝.所以正六棱柱的体积V＝××6×＝(m3).
(2)正四棱台的大致图形如图所示，其中A1B1＝10 cm，AB＝20 cm，取A1B1的中点E1，AB的中点E，连接E1E，则E1E为斜高．
INCLUDEPICTURE "25R7-64.TIF" INCLUDEPICTURE "25R7-64.TIF" \* MERGEFORMAT
设O1，O分别是上、下底面的中心，连接O1O，O1E1，OE，则四边形EOO1E1为直角梯形．因为S侧＝4××(10＋20)×EE1＝780(cm2)，
所以EE1＝13 cm.
在直角梯形EOO1E1中，
O1E1＝B1C1＝A1B1＝5(cm)，
OE＝BC＝AB＝10(cm)，
所以O1O＝＝12(cm)，
所以该正四棱台的体积为V＝×(102＋202＋10×20)×12＝2 800(cm3).
【答案】 (1)B (2)2 800
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求几何体体积的常用方法
INCLUDEPICTURE "SXA15.TIF" INCLUDEPICTURE "SXA15.TIF" \* MERGEFORMAT
[跟踪训练1] (1)如图，一个底面半径为2的圆柱被一平面所截，截得的几何体的最短和最长母线长分别为2和3，则该几何体的体积为( )
INCLUDEPICTURE "APV3.TIF" INCLUDEPICTURE "APV3.TIF" \* MERGEFORMAT
A．5π B．6π
C．20π D．10π
解析：选D．用一个完全相同的几何体把题中几何体补成一个圆柱，如图，则圆柱的体积为π×22×5＝20π，故所求几何体的体积为10π.
INCLUDEPICTURE "APV4.TIF" INCLUDEPICTURE "APV4.TIF" \* MERGEFORMAT
(2)(2024·新课标Ⅰ卷)已知圆柱和圆锥的底面半径相等，侧面积相等，且它们的高均为，则圆锥的体积为( )
A．2π B．3π
C．6π D．9π
解析：选B．设圆柱和圆锥的底面半径均为r，因为它们的高均为，且侧面积相等，所以2πr×＝πr，得r2＝9，所以圆锥的体积V＝πr2×＝3π.故选B．
三 球的体积
一般地，如果球的半径为R，那么球的体积计算公式为V球＝__________．
[答案自填] πR3
INCLUDEPICTURE "例2LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "例2LLL.TIF" \* MERGEFORMAT (1)一平面截一球得到直径为2 cm的圆面，球心到这个平面的距离是2 cm，则该球的体积是( )
A．12π cm3 B．36π cm3
C．64π cm3 D．108π cm3
(2)若圆锥的体积与球的体积相等，且圆锥的底面半径与球的直径相等，则圆锥的侧面积与球的表面积之比为( )
A．∶2 B．2∶1
C．∶2 D．3∶2
【解析】 (1)设球心为O，截面圆心为O1，连接OO1，如图所示，在Rt△OO1A中，O1A＝ cm，OO1＝2 cm，所以球的半径R＝OA＝＝3(cm)，所以球的体积V＝π×33＝36π(cm3).故选B．
INCLUDEPICTURE "25R7-82.TIF" INCLUDEPICTURE "25R7-82.TIF" \* MERGEFORMAT
(2)设圆锥的底面半径为r，高为h，母线长为l，球的半径为R，
则由题意得
解得
所以l＝＝h，
所以S圆锥侧＝πrl＝π×2h×h＝2πh2，
S球＝4πR2＝4πh2，
所以＝＝.
故圆锥侧面积与球的表面积之比为∶2.
【答案】 (1)B (2)C
INCLUDEPICTURE "解题技法LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "解题技法LLL.TIF" \* MERGEFORMAT
(1)求球的体积，关键是求球的半径R.
(2)球与其他几何体组合的问题，往往需要作截面来解决，所作的截面尽可能过球心、切点、接点等．
[跟踪训练2] 若将8个半径为1的实心铁球熔成一个大球，则这个大球的半径是( )
A．8 B．2
C．2 D．
解析：选C．8个半径为1的实心铁球的总体积为8×π×13＝π，设大球半径为R，则πR3＝π，解得 R＝2.故选C．
四 组合体的体积
INCLUDEPICTURE "例3lll.TIF" INCLUDEPICTURE "例3lll.TIF" \* MERGEFORMAT (对接教材例3)如图，组合体下部是一个直三棱柱，△A1B1C1为等腰直角三角形，BC＝CE＝2，上部是一个三棱锥，且三棱锥的高AE＝3，三棱柱的高A1E＝3，求组合体的表面积和体积．
INCLUDEPICTURE "25R7-73.TIF" INCLUDEPICTURE "25R7-73.TIF" \* MERGEFORMAT
【解】 组合体的下部是一个直三棱柱，由题意可知S底＝×2×2＝2，S侧面＝3×2＋3×2＋3×＝12＋6；上部是一个三棱锥，AC＝＝，AB＝＝，则AB2＝AC2＋BC2，所以BC⊥AC，除底面BCE外的表面积S1＝×3×2＋×3×2＋×2×＝3＋3＋，所以S表＝S底＋S侧面＋S1＝17＋9＋.V＝V三棱锥＋V三棱柱＝××2×2×3＋×2×2×3＝2＋6＝8.
INCLUDEPICTURE "解题技法LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "解题技法LLL.TIF" \* MERGEFORMAT
求组合体体积的步骤
(1)分析组合体的结构特征：弄清组合体的组成形式，找准常见几何体的关键量．
(2)设计计算方法：依据组合体的组成形式，经常利用“切割”“补形”的方法求解．
(3)计算求值：依据计算方法与常见几何体的体积公式计算求解．
[跟踪训练3] 在传统木匠中，木楔子是一种常见的工具，它使得榫卯配合的牢固程度最大化，是用于填充器物的空隙使其牢固的木橛、木片等．如图为一个木楔子的直观图，其底面ABCD是一个矩形，其中AB＝4，BC＝3，EF＝2，EA＝ED＝FB＝FC＝，EF∥AB，则该木楔子的体积为____________．
INCLUDEPICTURE "25r7-67.TIF" INCLUDEPICTURE "25r7-67.TIF" \* MERGEFORMAT
解析：如图，分别过点E，F作AB，CD的垂线，垂足分别为G，H，M，N，连接GM，HN，则AG＝DM＝NC＝HB＝1，EG＝EM＝FH＝FN＝＝3，取GM的中点O，连接
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EO，因为EG＝EM，所以EO⊥GM，则EO＝＝，所以V四棱锥E AGMD＝V四棱锥F HBCN＝×1×3×＝，V三棱柱GME HNF＝×3××2＝，所以该木楔子的体积V＝V四棱锥E AGMD＋V四棱锥F HBCN＋V三棱柱GME HNF＝.
答案：
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1．若圆台上、下底面半径分别是1，2，高为，则这个圆台的体积是( )
A．π B．2π
C．7π D．π
解析：选A．设圆台的上、下底面半径分别为r1，r2，高为h，由圆台体积公式知，V＝πh(r＋r＋r1r2)＝××(12＋22＋1×2) ＝π.故选A．
2．已知球的体积是，则此球的表面积是( )
A．12π B．16π
C． D．
解析：选B．设球的半径为R，所以πR3＝，所以R＝2，所以S球＝4πR2＝16π.
3．(多选)(2024·阜新期末)圆柱的侧面展开图是长12 cm，宽8 cm的矩形，则这个圆柱的体积可能是( )
A． cm3 B． cm3
C．288π cm3 D．192π cm3
解析：选AB．当圆柱的高为8 cm时，体积V＝π××8＝(cm3)；当圆柱的高为12 cm时，体积V＝π××12＝(cm3).
4．如图，在棱长为1的正方体中，截去三棱锥A A1BD，求剩余的几何体的体积与表面积．
INCLUDEPICTURE "RJZX24.TIF" INCLUDEPICTURE "RJZX24.TIF" \* MERGEFORMAT
解：因为正方体ABCD A1B1C1D1的棱长为1，
三棱锥A A1BD的体积V三棱锥A A1BD＝V三棱锥A1 ABD＝S△ABD·AA1＝××1×1×1＝.
所以剩余几何体的体积V＝V正方体－V三棱锥A A1BD＝1－＝.又△A1BD是边长为的等边三角形，S△A1BD＝××sin ＝，
所以S△CBD＝S△A1D1D＝S△A1B1B＝，S正方形BCC1B1＝S正方形CDD1C1＝S正方形A1B1C1D1＝1，所以剩余几何体的表面积为＋3×＋3×1＝.
INCLUDEPICTURE "课堂小结.TIF" INCLUDEPICTURE "课堂小结.TIF" \* MERGEFORMAT
1．已学习：祖暅原理，柱体、锥体、台体、球及简单组合体的体积公式．
2．须贯通：三棱锥的体积可以通过转换底面即“等体积法”来求解；求旋转体体积的关键是寻求底面积与高，一般是在由母线、高、半径组成的直角三角形中列出方程求解．
3．应注意：熟记体积公式，球心位置的确定要准确．