11．2 平面的基本事实与推论（教师版）
文档属性
| 名称 | 11．2 平面的基本事实与推论（教师版） |
|
|
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 573.6KB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教B版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2026-02-27 00:00:00 | ||
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文档简介
11．2 平面的基本事实与推论
1.理解平面的基本事实与推论． 2.能运用平面的基本事实及推论解决有关问题．
INCLUDEPICTURE "新知学习探究LLL.TIF"
INCLUDEPICTURE "新课导学1LLL.TIF"
通过前面的学习，我们直观认识了点、线、面之间的位置关系，空间中的点、线、面都是我们抽象出来的一些数学概念，如从平静的水面中可抽象出平面的概念．现在我们将在直观认识的基础上来论证空间点、线、面之间的关系，以进一步培养同学们的空间想象能力和逻辑推理能力．
INCLUDEPICTURE "25SZ21.TIF"
思考1 若把直尺边缘上的任意两点放在桌面上，直尺的边缘上的其余点和桌面有何关系？
提示：在桌面上．
思考2 为什么自行车后轮旁只安装一只撑脚就能固定自行车？
提示：撑脚和自行车的两个轮子与地面的接触点不在一条直线上．
思考3 两张纸面相交有几条直线？
提示：一条．
一 平面的基本事实与推论
1．平面的基本事实
基本事实 文字语言 图形语言 符号语言 作用
基本事实1 经过______的3个点，______一个平面 INCLUDEPICTURE "XA137.TIF" A，B，C三点不共线 存在唯一的平面α使A，B，C∈α ①确定平面的依据②判定点、线共面
基本事实2 如果一条直线上的______在一个平面内，那么这条直线在这个平面内 INCLUDEPICTURE "XA136.TIF" A∈α，B∈α 直线AB α ①确定直线在平面内的依据②判定点在平面内
基本事实3 如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的______ INCLUDEPICTURE "XA138.TIF" A∈α且A∈β α∩β＝a，且A∈a ①判定两平面相交的依据②判定点在直线上
2.基本事实的推论
推论1 经过一条直线与直线外一点，有且只有一个平面(如图1).
推论2 经过两条相交直线，有且只有一个平面(如图2).
推论3 经过两条平行直线，有且只有一个平面(如图3).
INCLUDEPICTURE "XA139.TIF"
[答案自填] 不在一条直线上 有且只有 两个点 公共直线
【即时练】
1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)经过三点确定一个平面．( )
(2)梯形可以确定一个平面．( )
(3)两两相交的三条直线最多可以确定三个平面．( )
(4)如果两个平面有三个公共点，则这两个平面重合．( )
答案：(1)× (2)√ (3)√ (4)×
2．空间不共线的四个点最多能确定的平面个数是____________．
解析：若四个点共面，则只能确定一个平面；若四个点不同在一个面上，则每三个点确定一个平面，此时共可确定4个平面，所以空间不共线的四个点最多能确定的平面个数是4.
答案：4
3．两两平行的三条直线最多可以确定________个平面．
INCLUDEPICTURE "Q71.TIF"
解析：如图，在正方体中，a∥b∥c，此时确定的平面个数最多，可以确定3个平面．
答案：3
二 点、线共面问题
INCLUDEPICTURE "例1LLL.TIF" 如图所示，l1∩l2＝A，l2∩l3＝B，l1∩l3＝C．求证：直线l1，l2，l3在同一平面内．
INCLUDEPICTURE "25R7-112.TIF"
【证明】 方法一(纳入平面法)：因为l1∩l2＝A，所以l1和l2确定一个平面α.因为l2∩l3＝B，所以B∈l2.又因为l2 α，所以B∈α，同理可证C∈α.因为B∈l3，C∈l3，所以l3 α，所以直线l1，l2，l3在同一平面内．
方法二(辅助平面法)：因为l1∩l2＝A，所以l1和l2确定一个平面α.因为l2∩l3＝B，所以l2和l3确定一个平面β.因为A∈l2，l2 α，所以A∈α.又因为A∈l2，l2 β，所以A∈β.同理可证B∈α，B∈β，C∈α，C∈β.所以不共线的三个点A，B，C既在平面α内，又在平面β内，所以平面α和β重合，即直线l1，l2，l3在同一平面内．
INCLUDEPICTURE "解题技法LLL.TIF"
证明点、线共面的常用方法：
(1)纳入平面法，先由部分元素确定一个平面，再证其他元素也在该平面内；
(2)辅助平面法(平面重合法)，先由有关的点、线确定平面α，再由其余元素确定平面β，最后证明平面α，β重合．
[跟踪训练1] 已知△ABC的三个顶点都在平面α上，求证：该三角形的内心I也在平面α上．
证明：
INCLUDEPICTURE "RJZX49.TIF"
记角A的平分线与BC交于点D，则I∈AD．
因为B∈α，C∈α，所以BC α.
又D∈BC，所以D∈α.
因为A∈α，所以AD α，
因为I∈AD，所以I∈α.
三 共线、共点问题
INCLUDEPICTURE "例2LLL.TIF" 如图，△ABC在平面α外，AB∩α＝P，AC∩α＝Q，BC∩α＝R.求证：P，Q，R三点共线．
INCLUDEPICTURE "25R7-113.TIF"
【证明】 因为AB∩α＝P，所以P∈AB，P∈α.又AB 平面ABC，所以P∈平面ABC．
由基本事实3，可知点P在平面ABC与平面α的交线上，同理可证点Q，R也在平面ABC与平面α的交线上，故P，Q，R三点共线．
INCLUDEPICTURE "解题技法LLL.TIF"
(1)证明三点共线的方法
INCLUDEPICTURE "SNQ2A.TIF"
(2)证明三线共点的步骤
INCLUDEPICTURE "SNQ2B.TIF"
[跟踪训练2] 如图所示，已知E，F，G，H分别是正方体ABCD A1B1C1D1的棱AB，BC，CC1，C1D1的中点．求证：EF，HG，DC三线共点．
INCLUDEPICTURE "25R7-114.TIF"
证明：如图所示，连接C1B，GF，HE，由题意知HC1∥EB，且HC1＝EB，所以四边形HC1BE是平行四边形，
INCLUDEPICTURE "25R7-115.TIF"
所以HE綉C1B．
又F，G分别是BC，CC1的中点，
所以GF∥C1B，且GF＝C1B，
所以GF∥HE，且GF≠HE，
所以HG与EF相交．
设交点为K，所以K∈HG，
又HG 平面D1C1CD，
所以K∈平面D1C1CD．
因为K∈EF，EF 平面ABCD，
所以K∈平面ABCD，
因为平面D1C1CD∩平面ABCD＝DC，
所以K∈DC，所以EF，HG，DC三线共点．
四 两平面的交线问题
INCLUDEPICTURE "例3lll.TIF" 如图所示，E，F分别是正方体ABCD A1B1C1D1的棱CC1，AA1的中点，试画出平面BED1F与平面ABCD 的交线．
INCLUDEPICTURE "XL4.TIF"
【解】 如图所示，在平面AA1D1D内，D1F与DA不平行，分别延长D1F与DA，则D1F与DA必相交，设交点为M.
INCLUDEPICTURE "XL5.TIF"
因为M∈D1F，M∈DA，D1F 平面BED1F，DA 平面ABCD，
所以M∈平面BED1F∩平面ABCD，
又B∈平面BED1F∩平面ABCD，连接MB，则直线MB为平面BED1F与平面ABCD的交线．
INCLUDEPICTURE "解题技法LLL.TIF"
基本事实3告诉我们，如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们必定还有其他公共点，只要找出这两个平面的两个公共点，就找到了它们的交线．因此求两个平面的交线的突破口是找到这两个平面的两个公共点．
[跟踪训练3] 如图，在梯形ABDC中，AB∥CD，AB>CD，S是梯形ABDC 所在平面外一点，试画出平面SBD和平面SAC的交线．
INCLUDEPICTURE "XL6.TIF"
解：点S是平面SBD和平面SAC的一个公共点，
则点S在两平面的交线上，
由于AB∥CD，AB>CD，所以分别延长AC和BD交于点E，如图所示．
INCLUDEPICTURE "XL7.TIF"
因为E∈AC，AC 平面SAC，
所以E∈平面SAC．
同理，E∈平面SBD．
所以点E在平面SBD和平面SAC的交线上，连接SE，
则直线SE是平面SBD和平面SAC的交线．
INCLUDEPICTURE "课堂巩固自测LLL.TIF"
1．在空间四边形ABCD各边AB，BC，CD，DA上分别取点E，F，G，H，若直线EH，FG相交于点P，则( )
A．点P必在直线AC上 B．点P必在直线BD上
C．点P必在平面ABC内 D．点P必在平面ACD内
解析：选B．如图，连接EH，FG，BD，因为EH，FG所在直线相交于点P，所以P∈EH且P∈FG，因为EH 平面ABD，FG 平面BCD，所以P∈平面ABD，且P∈平面BCD，又因为平面ABD∩平面BCD＝BD，所以P∈BD．故选B．
INCLUDEPICTURE "25SXC78.TIF"
2．(多选)已知A，B，C表示不同的点，l表示直线，α，β表示不同的平面，则下列推理正确的是( )
A．A∈l，A∈α，B∈l，B∈α l α
B．A∈α，A∈β，B∈α，B∈β α∩β＝AB
C．l α，A∈l A α
D．A∈α，A∈l，l α l∩α＝A
解析：选ABD．显然A，B，D正确．C中l α分两种情况：l与α相交或l∥α.当l与α相交时，若交点为A，则A∈α，故C错误．故选ABD．
3．在正方体ABCD A1B1C1D1中，O为平面ABCD的中心，则平面A1AC与平面DBC1的交线为________．
INCLUDEPICTURE "RJZX50.TIF"
解析：平面A1AC即平面A1ACC1，因为O∈AC，AC 平面A1AC，所以O∈平面A1AC，因为O∈BD，BD 平面DBC1，所以O∈平面DBC1，又C1∈平面A1AC，C1∈平面DBC1，所以平面A1AC∩平面DBC1＝OC1.
答案：OC1
4.(教材P96T5改编)如图，在正方体ABCD A1B1C1D1中，O为AC与BD的交点，判断下列命题是否正确，并说明理由．
INCLUDEPICTURE "XA151.TIF"
(1)由点A，O，C可以确定一个平面；
(2)由点A，C1，B1确定的平面为平面ADC1B1.
解：(1)不正确．因为点A，O，C在同一条直线上，故不能确定一个平面．
(2)正确．因为点A，B1，C1不共线，所以可确定一个平面．又因为AD∥B1C1，所以点D∈平面AB1C1.所以由点A，C1，B1确定的平面为平面ADC1B1.
INCLUDEPICTURE "课堂小结.TIF"
1．已学习：三个基本事实及推论．
2．须贯通：规范立体几何中三种语言，能熟练进行它们之间的相互转换；在处理点线共面、点共线、线共点及两个平面的交线问题时初步体会三个基本事实的作用．
3．应注意：三个基本事实及推论的条件．
1.理解平面的基本事实与推论． 2.能运用平面的基本事实及推论解决有关问题．
INCLUDEPICTURE "新知学习探究LLL.TIF"
INCLUDEPICTURE "新课导学1LLL.TIF"
通过前面的学习，我们直观认识了点、线、面之间的位置关系，空间中的点、线、面都是我们抽象出来的一些数学概念，如从平静的水面中可抽象出平面的概念．现在我们将在直观认识的基础上来论证空间点、线、面之间的关系，以进一步培养同学们的空间想象能力和逻辑推理能力．
INCLUDEPICTURE "25SZ21.TIF"
思考1 若把直尺边缘上的任意两点放在桌面上，直尺的边缘上的其余点和桌面有何关系？
提示：在桌面上．
思考2 为什么自行车后轮旁只安装一只撑脚就能固定自行车？
提示：撑脚和自行车的两个轮子与地面的接触点不在一条直线上．
思考3 两张纸面相交有几条直线？
提示：一条．
一 平面的基本事实与推论
1．平面的基本事实
基本事实 文字语言 图形语言 符号语言 作用
基本事实1 经过______的3个点，______一个平面 INCLUDEPICTURE "XA137.TIF" A，B，C三点不共线 存在唯一的平面α使A，B，C∈α ①确定平面的依据②判定点、线共面
基本事实2 如果一条直线上的______在一个平面内，那么这条直线在这个平面内 INCLUDEPICTURE "XA136.TIF" A∈α，B∈α 直线AB α ①确定直线在平面内的依据②判定点在平面内
基本事实3 如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的______ INCLUDEPICTURE "XA138.TIF" A∈α且A∈β α∩β＝a，且A∈a ①判定两平面相交的依据②判定点在直线上
2.基本事实的推论
推论1 经过一条直线与直线外一点，有且只有一个平面(如图1).
推论2 经过两条相交直线，有且只有一个平面(如图2).
推论3 经过两条平行直线，有且只有一个平面(如图3).
INCLUDEPICTURE "XA139.TIF"
[答案自填] 不在一条直线上 有且只有 两个点 公共直线
【即时练】
1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)经过三点确定一个平面．( )
(2)梯形可以确定一个平面．( )
(3)两两相交的三条直线最多可以确定三个平面．( )
(4)如果两个平面有三个公共点，则这两个平面重合．( )
答案：(1)× (2)√ (3)√ (4)×
2．空间不共线的四个点最多能确定的平面个数是____________．
解析：若四个点共面，则只能确定一个平面；若四个点不同在一个面上，则每三个点确定一个平面，此时共可确定4个平面，所以空间不共线的四个点最多能确定的平面个数是4.
答案：4
3．两两平行的三条直线最多可以确定________个平面．
INCLUDEPICTURE "Q71.TIF"
解析：如图，在正方体中，a∥b∥c，此时确定的平面个数最多，可以确定3个平面．
答案：3
二 点、线共面问题
INCLUDEPICTURE "例1LLL.TIF" 如图所示，l1∩l2＝A，l2∩l3＝B，l1∩l3＝C．求证：直线l1，l2，l3在同一平面内．
INCLUDEPICTURE "25R7-112.TIF"
【证明】 方法一(纳入平面法)：因为l1∩l2＝A，所以l1和l2确定一个平面α.因为l2∩l3＝B，所以B∈l2.又因为l2 α，所以B∈α，同理可证C∈α.因为B∈l3，C∈l3，所以l3 α，所以直线l1，l2，l3在同一平面内．
方法二(辅助平面法)：因为l1∩l2＝A，所以l1和l2确定一个平面α.因为l2∩l3＝B，所以l2和l3确定一个平面β.因为A∈l2，l2 α，所以A∈α.又因为A∈l2，l2 β，所以A∈β.同理可证B∈α，B∈β，C∈α，C∈β.所以不共线的三个点A，B，C既在平面α内，又在平面β内，所以平面α和β重合，即直线l1，l2，l3在同一平面内．
INCLUDEPICTURE "解题技法LLL.TIF"
证明点、线共面的常用方法：
(1)纳入平面法，先由部分元素确定一个平面，再证其他元素也在该平面内；
(2)辅助平面法(平面重合法)，先由有关的点、线确定平面α，再由其余元素确定平面β，最后证明平面α，β重合．
[跟踪训练1] 已知△ABC的三个顶点都在平面α上，求证：该三角形的内心I也在平面α上．
证明：
INCLUDEPICTURE "RJZX49.TIF"
记角A的平分线与BC交于点D，则I∈AD．
因为B∈α，C∈α，所以BC α.
又D∈BC，所以D∈α.
因为A∈α，所以AD α，
因为I∈AD，所以I∈α.
三 共线、共点问题
INCLUDEPICTURE "例2LLL.TIF" 如图，△ABC在平面α外，AB∩α＝P，AC∩α＝Q，BC∩α＝R.求证：P，Q，R三点共线．
INCLUDEPICTURE "25R7-113.TIF"
【证明】 因为AB∩α＝P，所以P∈AB，P∈α.又AB 平面ABC，所以P∈平面ABC．
由基本事实3，可知点P在平面ABC与平面α的交线上，同理可证点Q，R也在平面ABC与平面α的交线上，故P，Q，R三点共线．
INCLUDEPICTURE "解题技法LLL.TIF"
(1)证明三点共线的方法
INCLUDEPICTURE "SNQ2A.TIF"
(2)证明三线共点的步骤
INCLUDEPICTURE "SNQ2B.TIF"
[跟踪训练2] 如图所示，已知E，F，G，H分别是正方体ABCD A1B1C1D1的棱AB，BC，CC1，C1D1的中点．求证：EF，HG，DC三线共点．
INCLUDEPICTURE "25R7-114.TIF"
证明：如图所示，连接C1B，GF，HE，由题意知HC1∥EB，且HC1＝EB，所以四边形HC1BE是平行四边形，
INCLUDEPICTURE "25R7-115.TIF"
所以HE綉C1B．
又F，G分别是BC，CC1的中点，
所以GF∥C1B，且GF＝C1B，
所以GF∥HE，且GF≠HE，
所以HG与EF相交．
设交点为K，所以K∈HG，
又HG 平面D1C1CD，
所以K∈平面D1C1CD．
因为K∈EF，EF 平面ABCD，
所以K∈平面ABCD，
因为平面D1C1CD∩平面ABCD＝DC，
所以K∈DC，所以EF，HG，DC三线共点．
四 两平面的交线问题
INCLUDEPICTURE "例3lll.TIF" 如图所示，E，F分别是正方体ABCD A1B1C1D1的棱CC1，AA1的中点，试画出平面BED1F与平面ABCD 的交线．
INCLUDEPICTURE "XL4.TIF"
【解】 如图所示，在平面AA1D1D内，D1F与DA不平行，分别延长D1F与DA，则D1F与DA必相交，设交点为M.
INCLUDEPICTURE "XL5.TIF"
因为M∈D1F，M∈DA，D1F 平面BED1F，DA 平面ABCD，
所以M∈平面BED1F∩平面ABCD，
又B∈平面BED1F∩平面ABCD，连接MB，则直线MB为平面BED1F与平面ABCD的交线．
INCLUDEPICTURE "解题技法LLL.TIF"
基本事实3告诉我们，如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们必定还有其他公共点，只要找出这两个平面的两个公共点，就找到了它们的交线．因此求两个平面的交线的突破口是找到这两个平面的两个公共点．
[跟踪训练3] 如图，在梯形ABDC中，AB∥CD，AB>CD，S是梯形ABDC 所在平面外一点，试画出平面SBD和平面SAC的交线．
INCLUDEPICTURE "XL6.TIF"
解：点S是平面SBD和平面SAC的一个公共点，
则点S在两平面的交线上，
由于AB∥CD，AB>CD，所以分别延长AC和BD交于点E，如图所示．
INCLUDEPICTURE "XL7.TIF"
因为E∈AC，AC 平面SAC，
所以E∈平面SAC．
同理，E∈平面SBD．
所以点E在平面SBD和平面SAC的交线上，连接SE，
则直线SE是平面SBD和平面SAC的交线．
INCLUDEPICTURE "课堂巩固自测LLL.TIF"
1．在空间四边形ABCD各边AB，BC，CD，DA上分别取点E，F，G，H，若直线EH，FG相交于点P，则( )
A．点P必在直线AC上 B．点P必在直线BD上
C．点P必在平面ABC内 D．点P必在平面ACD内
解析：选B．如图，连接EH，FG，BD，因为EH，FG所在直线相交于点P，所以P∈EH且P∈FG，因为EH 平面ABD，FG 平面BCD，所以P∈平面ABD，且P∈平面BCD，又因为平面ABD∩平面BCD＝BD，所以P∈BD．故选B．
INCLUDEPICTURE "25SXC78.TIF"
2．(多选)已知A，B，C表示不同的点，l表示直线，α，β表示不同的平面，则下列推理正确的是( )
A．A∈l，A∈α，B∈l，B∈α l α
B．A∈α，A∈β，B∈α，B∈β α∩β＝AB
C．l α，A∈l A α
D．A∈α，A∈l，l α l∩α＝A
解析：选ABD．显然A，B，D正确．C中l α分两种情况：l与α相交或l∥α.当l与α相交时，若交点为A，则A∈α，故C错误．故选ABD．
3．在正方体ABCD A1B1C1D1中，O为平面ABCD的中心，则平面A1AC与平面DBC1的交线为________．
INCLUDEPICTURE "RJZX50.TIF"
解析：平面A1AC即平面A1ACC1，因为O∈AC，AC 平面A1AC，所以O∈平面A1AC，因为O∈BD，BD 平面DBC1，所以O∈平面DBC1，又C1∈平面A1AC，C1∈平面DBC1，所以平面A1AC∩平面DBC1＝OC1.
答案：OC1
4.(教材P96T5改编)如图，在正方体ABCD A1B1C1D1中，O为AC与BD的交点，判断下列命题是否正确，并说明理由．
INCLUDEPICTURE "XA151.TIF"
(1)由点A，O，C可以确定一个平面；
(2)由点A，C1，B1确定的平面为平面ADC1B1.
解：(1)不正确．因为点A，O，C在同一条直线上，故不能确定一个平面．
(2)正确．因为点A，B1，C1不共线，所以可确定一个平面．又因为AD∥B1C1，所以点D∈平面AB1C1.所以由点A，C1，B1确定的平面为平面ADC1B1.
INCLUDEPICTURE "课堂小结.TIF"
1．已学习：三个基本事实及推论．
2．须贯通：规范立体几何中三种语言，能熟练进行它们之间的相互转换；在处理点线共面、点共线、线共点及两个平面的交线问题时初步体会三个基本事实的作用．
3．应注意：三个基本事实及推论的条件．