11.3.1　课后达标检测（教师版）

1．若平面α和直线a，b满足a∩α＝A，b α，则a与b的位置关系是(　　)
A．相交 B．平行
C．异面 D．相交或异面
解析：选D．因为a∩α＝A，b α，所以当A b时，由异面直线的定义可得a与b异面，当A∈b时，a∩b＝A，即a与b相交．故选D．
2．已知点P，Q，R，S分别是正方体的四条棱的中点，则下列图形中直线PQ与RS是异面直线的是(　　)
解析：选C．A，B中，PQ与RS平行，D中，PQ与RS相交，C中，PQ与RS是异面直线．
3.如图，α∩β＝l，a α，b β，且a，b为异面直线，则以下结论中正确的是(　　)
A．a，b都与l平行
B．a，b中至多有一条与l平行
C．a，b都与l相交
D．a，b中至多有一条与l相交
解析：选B．若a，b都与l平行，则根据空间平行线的传递性有a∥b，这与a，b为异面直线矛盾，故a，b中至多有一条与l平行，B正确，A，C错误；当l∩a＝A，l∩b＝B且A与B为不同的两点时，符合题意，D错误．故选B．
4．在三棱锥P ABC中，PB⊥BC，E，D，F分别是AB，PA，AC的中点，则∠DEF＝(　　)
A．30° B．45°
C．60° D．90°
解析：选D．如图所示，因为E，D，F分别为AB，PA，AC的中点，所以DE∥PB，EF∥BC，所以∠DEF与∠PBC的两边分别对应平行且方向相同，又因为PB⊥BC，所以∠DEF＝∠PBC＝90°.故选D．
5．若∠AOB＝∠A1O1B1且OA∥O1A1，与的方向相同，则下列结论中正确的是(　　)
A．OB∥O1B1且与的方向相同
B．OB∥O1B1
C．OB与O1B1一定不平行
D．OB与O1B1不一定平行
解析：选D．当∠AOB＝∠A1O1B1，且OA∥O1A1，与的方向相同时，由图1知，A，B错误；由图2知，C错误；OB与O1B1不一定平行，D正确．故选D．
6．(多选)如图所示，已知在正方体ABCD A1B1C1D1中l 平面A1B1C1D1，且l与B1C1不平行，则下列说法可能成立的是(　　)
A．l与AD平行 B．l与AD相交
C．l与AC平行 D．l与BD平行
解析：选CD．假设l∥AD，则由AD∥BC∥B1C1，知l∥B1C1，这与l与B1C1不平行矛盾，所以l与AD不平行，A不可能成立；又l在上底面中，AD在下底面中，故l与AD无公共点，故l与AD不相交，B不可能成立，由题知，C，D可能成立．
7.(2024·辽阳期末)如图，在三棱柱ABC A1B1C1中，E，F分别是AB，AC上的点，且AE∶EB＝AF∶FC，则EF与B1C1的位置关系是________．
解析：在△ABC中，因为AE∶EB＝AF∶FC，
所以EF∥BC．
又因为BC∥B1C1，
所以EF∥B1C1.
答案：平行
8．如图，在三棱柱ABC A1B1C1中，E，F，G分别为棱A1C1，B1C1，BB1的中点，则∠EFG与∠ABC1的关系是________．
解析：因为E，F，G分别为A1C1，B1C1，BB1的中点，所以EF∥A1B1，EF∥AB，FG∥BC1，所以∠EFG与∠ABC1的两边分别对应平行，一组对应边方向相同，另一组对应边方向相反，故∠EFG与∠ABC1互补．
答案：互补
9．如图，在正方体ABCD A1B1C1D1中，所在直线与BD1异面的棱有________条．
解析：由异面直线的定义，知在正方体ABCD A1B1C1D1中，所在直线与BD1异面的棱有CD，A1B1，AD，B1C1，AA1，CC1，共6条．
答案：6
10．已知在棱长为a的正方体ABCD A1B1C1D1中，M，N分别是棱CD，AD的中点．
求证：(1)四边形MNA1C1是梯形；
(2)∠DNM＝∠D1A1C1.
证明：(1)连接AC，如图所示．因为M，N分别是棱CD，AD的中点，所以MN∥AC，
MN＝AC．
因为AA1∥CC1，
且AA1＝CC1，
所以四边形AA1C1C为平行四边形，
所以AC∥A1C1，且AC＝A1C1，
所以MN∥A1C1，且MN＝A1C1，
所以四边形MNA1C1是梯形．
(2)由(1)知MN∥A1C1，又根据正方体的性质可知，ND∥A1D1，即∠DNM与∠D1A1C1的两边分别对应平行且方向相同，所以根据等角定理可得∠DNM＝∠D1A1C1.
11．已知P是△ABC所在平面外一点，D，E分别是△PAB，△PBC的重心，AC＝a，则DE的长为(　　)
A．a B．a
C．a D．a
解析：选B．
如图，因为D，E分别是△PAB，△PBC的重心，连接PD，PE，并延长，分别交AB，BC于点M，N，则M，N分别为AB，BC的中点，所以DE∥MN且DE＝MN，MN∥AC且MN＝AC，所以DE∥AC且DE＝AC，所以DE＝a.故选B．
12．已知在空间四边形ABCD中，M，N分别是AB，CD的中点，且AC＝4，BD＝6，则(　　)
A．1C．1≤MN≤5 D．2解析：选A．取AD的中点H，连接MH，NH(图略)，则MH∥BD，且MH＝BD＝3，NH∥AC，且NH＝AC＝2，且M，N，H三点构成三角形，由三角形中三边关系，可得MH－NH13.(多选)(2024·东营期末)如图，在棱长为a的正方体ABCD A1B1C1D1中，E为AA1上的一点且A1E＝2EA，设过点D1，C，E的平面与平面ABB1A1的交线为EF，则下列结论正确的为(　　)
A．EF∥D1C B．EF＝a
C．CF＝a D．三棱锥A EFC的体积为a3
解析：选AD．如图，设BF＝2FA，连接EF，A1B，CF，AC，因为A1E＝2EA，所以EF∥A1B．又易知A1B∥D1C，所以EF∥D1C，故A正确；故EF＝A1B＝a，故B错误；CF＝＝a，故C错误；V三棱锥A EFC＝V三棱锥E AFC＝×a××a×a＝a3，故D正确．
14.如图，在正方体ABCD A1B1C1D1中，N为底面ABCD的中心，P为线段A1D1上的动点(不包括两个端点)，M为线段AP的中点．判断下列结论是否成立，并说明理由．
(1)CM与PN是异面直线；
(2)过P，A，C三点的正方体的截面一定是等腰梯形．
解：(1)不成立．因为在△ACP中，N∈AC，M∈AP，所以A，N，C，P，M共面，
所以CM与PN不是异面直线，而是相交直线．
(2)成立．如图所示，作PQ∥AC，交C1D1于点Q，连接CQ，则过P，A，C三点的正方体的截面为四边形ACQP.由题意得PQ15.(多选)如图，E，F是AD上互异的两点，G，H是BC上互异的两点，其中叙述正确的是(　　)
A．AB与CD为异面直线
B．FH分别与DC，DB互为异面直线
C．EG与FH为异面直线
D．EG与AB为异面直线
解析：选AC．对于选项A，AB与平面BCD交于点B，且B CD，故AB与CD为异面直线，故A正确；对于选项B，当H点落在C点且F点落在D点上时，FH与DC重合；当H点落在B点且F点落在D点上时，FH与DB重合，故B错误；对于选项C，FH与平面EGD交于点F，而F EG，H 平面EGD，故EG与FH为异面直线，故C正确；对于选项D，当G点落在B点上且E点落在A点上时，EG与AB重合，故D错误．
16.如图，E，F，G，H分别是空间四边形ABCD各边上的点，且AE∶EB＝AH∶HD＝m，CF∶FB＝CG∶GD＝n.
(1)证明：E，F，G，H四点共面；
(2)m，n满足什么条件时，四边形EFGH是平行四边形？
解：(1)证明：连接BD，
因为AE∶EB＝AH∶HD，所以EH∥BD，
又CF∶FB＝CG∶GD，所以FG∥BD，
所以EH∥FG，所以E，F，G，H四点共面．
(2)当m＝n时，四边形EFGH为平行四边形．
由(1)可知EH∥FG，
因为＝＝，
所以EH＝BD．同理可得FG＝BD，要使EH＝FG，可令＝，得m＝n，
故当m＝n时，四边形EFGH是平行四边形．