11.3.2　课后达标检测（教师版）

1．已知直线n在平面α内，直线m不在平面α内，则“m∥n”是“m∥α”的(　　)
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
解析：选A．因为直线n在平面α内，直线m不在平面α内，m∥n，所以m∥α，
所以“m∥n”是“m∥α”的充分条件．
因为直线n在平面α内，直线m不在平面α内，m∥α，所以m∥n或者m，n异面，
所以“m∥n”不是“m∥α”的必要条件．故选A．
2．(2024·德州期末)已知m，n为两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，则下列结论中正确的是(　　)
A．m∥α，m∥n n∥α
B．m∥α，n∥α m∥n
C．m∥α，m β，α∩β＝n m∥n
D．m∥α，n α m∥n
解析：选C．A中，n还有可能在平面α内；B中，m，n可能相交、平行、异面；由线面平行的性质定理可得C正确；D中，m，n可能异面．
3．已知直线a∥平面α，直线a∥平面β，α∩β＝b，直线a与直线b(　　)
A．相交 B．平行
C．异面 D．相交或异面
解析：选B．因为直线a∥平面α，直线a∥平面β，所以在α，β中均可找到一条直线与直线a平行．设m在平面α内，n在平面β内，且m∥a，n∥a，
所以m∥n.
又因为m不在平面β内，n在平面β内，
所以m∥β.因为α∩β＝b，m α，所以m∥b.
又m∥a，所以a∥b.
4.如图，P为平行四边形ABCD所在平面外一点，过BC的平面与平面PAD交于EF，E在线段PD上且异于P，D两点，则四边形EFBC是(　　)
A．空间四边形 B．矩形
C．梯形 D．平行四边形
解析：选C．因为BC∥AD，AD 平面PAD，BC 平面PAD，
所以BC∥平面PAD．
因为BC 平面EFBC，平面EFBC∩平面PAD＝EF，所以BC∥EF.
因为BC＝AD，EF＜AD，所以EF＜BC，所以四边形EFBC为梯形．
5．在正方体ABCD A1B1C1D1中，下列直线中与平面AB1C平行的是(　　)
A．DD1 B．A1D1
C．C1D1 D．A1D
解析：选D．如图，连接A1D，AC，AB1，B1C，因为A1B1∥AB∥CD，A1B1＝AB＝CD，
所以A1B1綉CD，
所以四边形A1B1CD为平行四边形，
所以A1D∥B1C，
又B1C 平面AB1C，A1D 平面AB1C，
所以A1D∥平面AB1C，故D符合题意；由图易知，DD1，A1D1，C1D1均与平面AB1C不平行，故A，B，C不符合题意．
6．(多选)如图所示，P为矩形ABCD所在平面外一点，矩形ABCD的对角线的交点为O，M为PB的中点，则(　　)
A．OM∥PD B．OM∥平面PAC
C．OM∥平面PDA D．OM∥平面PDC
解析：选ACD．因为矩形ABCD的对角线的交点为O，所以O是BD的中点，又M为PB的中点，所以OM∥PD．因为OM 平面PDA，PD 平面PDA，所以OM∥平面PDA．因为OM 平面PDC，PD 平面PDC，所以OM∥平面PDC，故A，C，D正确．OM与平面PAC有公共点O，故B错误．
7．如图，在正方体ABCD?A1B1C1D1中，E为DD1的中点，则BD1与平面ACE的位置关系为________．
解析：连接BD(图略)，设AC∩BD＝O，易知O为BD的中点，连接OE(图略)，因为O，E分别为BD，DD1的中点，所以OE∥BD1，OE 平面ACE，BD1 平面ACE，所以BD1∥平面ACE.
答案：平行
8.(2024·抚顺月考)如图，四棱锥P?ABCD中，底面ABCD为平行四边形，E是PA上一点，当点E满足条件：__________时，PC∥平面EBD．
解析：如图，取PA的中点E，连接EB，ED，AC，设AC与BD交于点O，连接EO，易知EO∥PC．因为EO 平面EBD，PC 平面EBD，所以PC∥平面EBD．即当E为PA中点时，PC∥平面EBD．
答案：E为PA的中点
9.如图，直线a∥平面α，点A 平面α，并且直线a和点A位于平面α的两侧，点B，C，D∈a，AB，AC，AD分别交平面α于点E，F，G，若BD＝4，FC＝4，AF＝5，则EG＝____________．
解析：因为直线a∥平面α，点B，C，D∈a，BD 平面ABD，平面ABD∩平面α＝EG，所以BD∥EG，
所以＝＝，所以EG＝·BD＝×4＝.
答案：
10．如图，在四棱锥P?ABCD中，底面ABCD为平行四边形，E，F分别为AD，CD的中点，G为PD上靠近D的四等分点，O为EF的中点，判断OG与平面PAB的位置关系，并说明理由．
解：OG∥平面PAB，理由如下：因为底面ABCD为平行四边形，
所以DH＝DB，
因为E，F，O分别为AD，CD，EF的中点，
所以DO＝DH，即DO＝DB，
又因为G为PD上靠近D的四等分点，
即DG＝PD，
所以OG∥BP，
因为BP 平面PAB，OG 平面PAB，
所以OG∥平面PAB．
11．如图，在三棱锥P ABC中，点D，E分别为棱PB，BC的中点，点G为CD，PE的交点，若点F在线段AC上，且满足AD∥平面 PEF，则的值为(　　)
A．1 B．2
C． D．
解析：选C．由于AD∥平面PEF，AD 平面ACD，平面ACD∩平面PEF＝FG，根据线面平行的性质定理可知AD∥FG.由于点D，E分别为棱PB，BC的中点，点G为CD，PE的交点，所以G是△PBC的重心，所以＝＝.故选C．
12．(多选)如图所示，在四面体ABCD中，E，F分别为AC，CD的中点，G为BD上靠近B的三等分点，H为BC上靠近B的三等分点，则下列说法错误的是(　　)
A．GH∥BC B．EF∥BD
C．BE与平面AGF相交 D．EF∥平面ADH
解析：选ABC．由图得GH与BC相交，A错误；因为E，F分别为AC，CD的中点，所以EF∥AD，又AD 平面ABD，EF 平面ABD，所以EF∥平面ABD，若EF∥BD，则BD∥AD，与图矛盾，B错误；
连接DE，设AF，DE交于点O，连接OG，所以O为△ACD的重心，即＝2，又G为BD上靠近B的三等分点，即＝2，所以OG∥BE，又OG 平面AGF，BE 平面AGF，所以BE∥平面AGF，C错误；因为EF∥AD，AD 平面ADH，EF 平面ADH，所以EF∥平面ADH，D正确．
13．如图，在三棱柱ABC?A1B1C1中，点E为A1C1的中点，点F在BC上且满足BF______________.
解析：如图，连接EF，取A1B1的中点N，连接NE，BN，所以NE∥B1C1，NE＝B1C1，又BC∥B1C1，BC＝B1C1，所以NE∥BC，NE＝BC，又EF∥平面ABB1A1，EF 平面BNEF，平面BNEF∩平面ABB1A1＝BN，所以EF∥BN，所以四边形BNEF为平行四边形，所以NE＝BF，所以BF＝BC，则λ＝.
答案：
14．如图，在直三棱柱ABC A1B1C1中，如何作出过点A1，B，C1的平面与平面ABC的交线？并说明理由．
解：在平面ABC中，过点B作直线l，使l∥AC，则l即为平面BA1C1与平面ABC的交线．
理由如下：在直三棱柱ABC A1B1C1中，A1C1∥AC，AC 平面ABC，A1C1 平面ABC，
所以A1C1∥平面ABC．
又A1C1 平面A1BC1，
平面A1BC1∩平面ABC＝l，
所以A1C1∥l.
又因为直线l过点B，且l 平面ABC．
根据线面平行的性质定理，l即为所求交线．
15．如图，已知圆锥的顶点为S，AB是底面圆的直径，点C在底面圆上且∠ABC＝60°，点M为劣弧的中点，过直线AC作平面α，使得直线SB∥平面α，设平面α与SM交于点N，则＝(　　)
A． B．
C． D．
解析：选B．如图1，连接BM交AC于点D，连接ND，则平面SBM∩平面α＝ND，又SB∥平面α，SB 平面SBM，所以ND∥SB，所以＝.如图2，因为AB是底面圆的直径，∠ABC＝60°，点M为劣弧的中点，连接CM，所以∠ABM＝∠MBC＝∠BAC＝∠BMC＝30°，所以CM＝BC＝AB，易得△DAB∽△DCM，所以＝＝，则＝＝.故选B．
16．如图，四棱锥P?ABCD的底面ABCD为平行四边形，E，F分别为CD，PB的中点．
(1)求证：EF∥平面PAD；
(2)在线段PC上是否存在一点Q，使得A，E，Q，F四点共面？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
解：(1)证明：取PA的中点M，连接MD，FM，如图．
因为F，M分别为PB，PA的中点，所以FM∥AB，FM＝AB，因为四边形ABCD为平行四边形，
所以AB∥CD，AB＝CD，
因为E为CD的中点，所以DE＝CD，
所以FM∥DE，FM＝DE，所以四边形DEFM为平行四边形，所以EF∥MD．
又因为EF 平面PAD，
MD 平面PAD，所以EF∥平面PAD．
(2)存在点Q符合题意，且此时＝2.取AB的中点H，连接PH交AF于点G，在PC上取点Q，使PQ∶QC＝2∶1，连接GQ，HC．
因为在平行四边形ABCD中，E，H分别为CD，AB的中点，
所以AH∥CE，AH＝CE，所以四边形AHCE为平行四边形，
所以HC∥AE，因为F为PB的中点，H为AB中点，PH∩AF＝G，所以点G为△PAB的重心，所以PG∶GH＝2∶1.
因为PQ∶QC＝2∶1，所以GQ∥HC，
又因为HC∥AE，所以GQ∥AE，
所以GQ和AE确定一个平面α，因为F在直线AG上，
所以F∈α，所以A，E，Q，F四点共面，所以在线段PC上存在一点Q，使得A，E，Q，F四点共面，此时＝2.