11.3.2 直线与平面平行（教师版）
文档属性
| 名称 | 11.3.2 直线与平面平行（教师版） |
|
|
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 555.5KB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教B版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2026-02-27 00:00:00 | ||
图片预览
文档简介
11．3.2 直线与平面平行
1.借助长方体，通过直观感知，归纳出直线与平面平行的判定定理和性质定理，并会证明性质定理． 2.会应用直线与平面平行的判定定理与性质定理证明一些简单的空间线面关系．
如图所示，如果将乒乓球台的台面抽象成平面α，将乒乓球网的上边缘抽象成直线l，观察图中的各元素位置．
思考1 直线l和平面α具有怎样的位置关系？
提示：平行(l∥α).
思考2 如果将乒乓球网的下边缘抽象成直线m，并把m看成平面α内的直线，则直线l与直线m具有怎样的位置关系？
提示：平行(l∥m).
一 直线与平面平行的判定定理
表示定理 图形 文字 符号
直线与平面平行的判定定理 如果平面外的一条直线与平面内的一条直线________，那么这条直线与这个平面平行 l α，m α，l∥m l∥α
[答案自填] 平行
(对接教材例1)如图，在三棱台DEF?ABC中，AB＝2DE，G，H分别为AC，BC的中点．
求证：BD∥平面FGH.
【证明】 如图，连接DG，CD，设CD∩GF＝O，连接OH.
在三棱台DEF?ABC中，AB＝2DE，G为AC的中点，可得DF∥GC且DF＝GC，所以四边形DFCG为平行四边形，则O为CD的中点．
又H为BC的中点，所以OH∥BD．
又OH 平面FGH，BD 平面FGH，所以BD∥平面FGH.
(1)应用判定定理证明线面平行的步骤
(2)上述证明步骤的关键是在平面内找一条直线与已知直线平行，常利用平行四边形、三角形中位线等．
[跟踪训练1] 已知P是平行四边形ABCD所在平面外一点，E，F分别为AB，PD的中点．
求证：AF∥平面PEC．
证明：设PC的中点为M，连接FM，EM，
因为F为PD的中点，
所以FM∥CD，FM＝CD，
因为四边形ABCD是平行四边形，E是AB的中点，
所以AE∥CD，AE＝CD，
所以FM∥AE，FM＝AE，
则四边形AEMF是平行四边形，所以AF∥EM，
因为AF 平面PEC，EM 平面PEC，
所以AF∥平面PEC．
二 直线与平面平行的性质定理
表示定理 图形 文字 符号
直线与平面平行的性质定理 如果一条直线与一个平面______，且经过这条直线的平面与这个平面相交，那么这条直线就与两平面的交线平行 l∥α，l β，α∩β＝m l∥m
[答案自填] 平行
(对接教材例2)如图所示，在四棱锥P?ABCD 中，底面ABCD是平行四边形，AC与BD交于点O，M是PC的中点，在DM上取一点G，过G和AP作平面交平面BDM于GH，求证：AP∥GH.
【证明】 如图，连接MO，因为四边形ABCD 是平行四边形，所以O是AC的中点，又因为M是PC的中点，所以AP∥OM.
又因为AP 平面BDM，OM 平面BDM，所以AP∥平面BDM.
又因为AP 平面APGH，平面APGH∩平面BDM＝GH，所以AP∥GH.
(1)利用线面平行的性质定理解题的步骤
(2)运用线面平行的性质定理时，应先确定线面平行，再寻找过已知直线的平面与这个平面的交线，然后确定线线平行．
[跟踪训练2] 如图，用平行于四面体ABCD的一组对棱AB，CD的平面截此四面体．求证：截面MNPQ是平行四边形．
证明：因为AB∥平面MNPQ，平面ABC∩平面MNPQ＝MN，AB 平面ABC，所以AB∥MN，同理AB∥PQ，所以MN∥PQ，同理MQ∥NP.所以截面MNPQ 是平行四边形．
三 线面平行关系的应用
如图，在四面体A?BCD中，已知△ABD是边长为2的等边三角形，△BCD是以点C为直角顶点的等腰直角三角形，E为线段AB的中点，G为线段BD的中点，F为线段BD上的点．若AG∥平面CEF，求线段CF的长．
【解】 因为AG∥平面CEF，AG 平面ABD，平面CEF∩平面ABD＝EF，所以AG∥EF.
又因为E为线段AB的中点，所以F为线段BG的中点，因为G为线段BD的中点，且BD＝2，
所以GF＝.
连接CG(图略)，因为△BCD是以点C为直角顶点的等腰直角三角形，
所以CG＝BD＝1，且CG⊥GF.
在Rt△CGF中，CF＝＝.
线面平行关系的应用策略
(1)判定和性质之间的推理关系：线线平行 线面平行 线线平行，即体现了线线平行与线面平行之间的相互联系和相互转化．
(2)根据线线平行关系，利用中位线、平行线分线段成比例关系可以进行计算求值．
[跟踪训练3] 如图，在四棱锥S ABCD中，底面ABCD是菱形，点E是棱AD的中点．点F在棱SC上，且＝λ，SA∥平面BEF.求实数λ的值．
解：如图，连接AC，设AC∩BE＝G，连接FG，则平面SAC∩平面EFB＝FG.
又因为SA∥平面BEF，SA 平面SAC，所以SA∥FG，
所以＝，
因为AE∥BC，
所以△GEA∽△GBC，又因为E为AD中点，
所以＝＝，
所以＝＝，即SF＝SC，
所以λ＝.
1．(教材P103T2改编)如图，一块矩形木板ABCD 的一边AB在平面α内，把这块矩形木板绕AB转动，在转动的过程中，AB的对边CD与平面α的位置关系是( )
A．平行 B．相交
C．在平面α内 D．平行或在平面α内
解析：选D．在旋转过程中，CD∥AB且AB α，故CD∥α或CD α.
2．(多选)如图，在四棱锥P ABCD 中，M，N分别为AC，PC上的点，且MN∥平面PAD，则( )
A．MN∥PD B．MN∥平面PAB
C．MN∥AD D．MN∥PA
解析：选BD．因为MN∥平面PAD，MN 平面PAC，平面PAC∩平面PAD＝PA，所以MN∥PA，因为PA 平面PAB，MN 平面PAB，所以MN∥平面PAB．故选BD．
3．(2024·沈阳期末)如图所示，三棱柱ABC?A1B1C1的侧面BCC1B1是菱形，设D是A1C1上的点且A1B∥平面B1CD，则A1D∶DC1的值为____________．
解析：如图，连接BC1，设BC1∩B1C＝O，连接OD．因为A1B∥平面B1CD，A1B 平面A1BC1，且平面A1BC1∩平面B1CD＝OD，所以A1B∥OD，因为四边形BCC1B1是菱形，所以O为BC1的中点，所以D为A1C1的中点，即A1D∶DC1的值为1.
答案：1
4．如图所示，在三棱柱ABC?A1B1C1中，D为AC的中点，求证：AB1∥平面BC1D．
证明：如图，连接B1C交BC1于点O，连接OD，因为四边形BCC1B1是平行四边形．所以点O为B1C的中点．因为D为AC的中点，所以OD为△AB1C的中位线，所以OD∥AB1.因为OD 平面BC1D，AB1 平面BC1D，所以AB1∥平面BC1D．
1．已学习：(1)直线与平面平行的判定与性质定理；(2)线面平行关系的应用．
2．须贯通：掌握线线平行与线面平行的转化思想；线线平行是各种平行的基础．
3．应注意：证明线面平行时漏写线在面外(内).
1.借助长方体，通过直观感知，归纳出直线与平面平行的判定定理和性质定理，并会证明性质定理． 2.会应用直线与平面平行的判定定理与性质定理证明一些简单的空间线面关系．
如图所示，如果将乒乓球台的台面抽象成平面α，将乒乓球网的上边缘抽象成直线l，观察图中的各元素位置．
思考1 直线l和平面α具有怎样的位置关系？
提示：平行(l∥α).
思考2 如果将乒乓球网的下边缘抽象成直线m，并把m看成平面α内的直线，则直线l与直线m具有怎样的位置关系？
提示：平行(l∥m).
一 直线与平面平行的判定定理
表示定理 图形 文字 符号
直线与平面平行的判定定理 如果平面外的一条直线与平面内的一条直线________，那么这条直线与这个平面平行 l α，m α，l∥m l∥α
[答案自填] 平行
(对接教材例1)如图，在三棱台DEF?ABC中，AB＝2DE，G，H分别为AC，BC的中点．
求证：BD∥平面FGH.
【证明】 如图，连接DG，CD，设CD∩GF＝O，连接OH.
在三棱台DEF?ABC中，AB＝2DE，G为AC的中点，可得DF∥GC且DF＝GC，所以四边形DFCG为平行四边形，则O为CD的中点．
又H为BC的中点，所以OH∥BD．
又OH 平面FGH，BD 平面FGH，所以BD∥平面FGH.
(1)应用判定定理证明线面平行的步骤
(2)上述证明步骤的关键是在平面内找一条直线与已知直线平行，常利用平行四边形、三角形中位线等．
[跟踪训练1] 已知P是平行四边形ABCD所在平面外一点，E，F分别为AB，PD的中点．
求证：AF∥平面PEC．
证明：设PC的中点为M，连接FM，EM，
因为F为PD的中点，
所以FM∥CD，FM＝CD，
因为四边形ABCD是平行四边形，E是AB的中点，
所以AE∥CD，AE＝CD，
所以FM∥AE，FM＝AE，
则四边形AEMF是平行四边形，所以AF∥EM，
因为AF 平面PEC，EM 平面PEC，
所以AF∥平面PEC．
二 直线与平面平行的性质定理
表示定理 图形 文字 符号
直线与平面平行的性质定理 如果一条直线与一个平面______，且经过这条直线的平面与这个平面相交，那么这条直线就与两平面的交线平行 l∥α，l β，α∩β＝m l∥m
[答案自填] 平行
(对接教材例2)如图所示，在四棱锥P?ABCD 中，底面ABCD是平行四边形，AC与BD交于点O，M是PC的中点，在DM上取一点G，过G和AP作平面交平面BDM于GH，求证：AP∥GH.
【证明】 如图，连接MO，因为四边形ABCD 是平行四边形，所以O是AC的中点，又因为M是PC的中点，所以AP∥OM.
又因为AP 平面BDM，OM 平面BDM，所以AP∥平面BDM.
又因为AP 平面APGH，平面APGH∩平面BDM＝GH，所以AP∥GH.
(1)利用线面平行的性质定理解题的步骤
(2)运用线面平行的性质定理时，应先确定线面平行，再寻找过已知直线的平面与这个平面的交线，然后确定线线平行．
[跟踪训练2] 如图，用平行于四面体ABCD的一组对棱AB，CD的平面截此四面体．求证：截面MNPQ是平行四边形．
证明：因为AB∥平面MNPQ，平面ABC∩平面MNPQ＝MN，AB 平面ABC，所以AB∥MN，同理AB∥PQ，所以MN∥PQ，同理MQ∥NP.所以截面MNPQ 是平行四边形．
三 线面平行关系的应用
如图，在四面体A?BCD中，已知△ABD是边长为2的等边三角形，△BCD是以点C为直角顶点的等腰直角三角形，E为线段AB的中点，G为线段BD的中点，F为线段BD上的点．若AG∥平面CEF，求线段CF的长．
【解】 因为AG∥平面CEF，AG 平面ABD，平面CEF∩平面ABD＝EF，所以AG∥EF.
又因为E为线段AB的中点，所以F为线段BG的中点，因为G为线段BD的中点，且BD＝2，
所以GF＝.
连接CG(图略)，因为△BCD是以点C为直角顶点的等腰直角三角形，
所以CG＝BD＝1，且CG⊥GF.
在Rt△CGF中，CF＝＝.
线面平行关系的应用策略
(1)判定和性质之间的推理关系：线线平行 线面平行 线线平行，即体现了线线平行与线面平行之间的相互联系和相互转化．
(2)根据线线平行关系，利用中位线、平行线分线段成比例关系可以进行计算求值．
[跟踪训练3] 如图，在四棱锥S ABCD中，底面ABCD是菱形，点E是棱AD的中点．点F在棱SC上，且＝λ，SA∥平面BEF.求实数λ的值．
解：如图，连接AC，设AC∩BE＝G，连接FG，则平面SAC∩平面EFB＝FG.
又因为SA∥平面BEF，SA 平面SAC，所以SA∥FG，
所以＝，
因为AE∥BC，
所以△GEA∽△GBC，又因为E为AD中点，
所以＝＝，
所以＝＝，即SF＝SC，
所以λ＝.
1．(教材P103T2改编)如图，一块矩形木板ABCD 的一边AB在平面α内，把这块矩形木板绕AB转动，在转动的过程中，AB的对边CD与平面α的位置关系是( )
A．平行 B．相交
C．在平面α内 D．平行或在平面α内
解析：选D．在旋转过程中，CD∥AB且AB α，故CD∥α或CD α.
2．(多选)如图，在四棱锥P ABCD 中，M，N分别为AC，PC上的点，且MN∥平面PAD，则( )
A．MN∥PD B．MN∥平面PAB
C．MN∥AD D．MN∥PA
解析：选BD．因为MN∥平面PAD，MN 平面PAC，平面PAC∩平面PAD＝PA，所以MN∥PA，因为PA 平面PAB，MN 平面PAB，所以MN∥平面PAB．故选BD．
3．(2024·沈阳期末)如图所示，三棱柱ABC?A1B1C1的侧面BCC1B1是菱形，设D是A1C1上的点且A1B∥平面B1CD，则A1D∶DC1的值为____________．
解析：如图，连接BC1，设BC1∩B1C＝O，连接OD．因为A1B∥平面B1CD，A1B 平面A1BC1，且平面A1BC1∩平面B1CD＝OD，所以A1B∥OD，因为四边形BCC1B1是菱形，所以O为BC1的中点，所以D为A1C1的中点，即A1D∶DC1的值为1.
答案：1
4．如图所示，在三棱柱ABC?A1B1C1中，D为AC的中点，求证：AB1∥平面BC1D．
证明：如图，连接B1C交BC1于点O，连接OD，因为四边形BCC1B1是平行四边形．所以点O为B1C的中点．因为D为AC的中点，所以OD为△AB1C的中位线，所以OD∥AB1.因为OD 平面BC1D，AB1 平面BC1D，所以AB1∥平面BC1D．
1．已学习：(1)直线与平面平行的判定与性质定理；(2)线面平行关系的应用．
2．须贯通：掌握线线平行与线面平行的转化思想；线线平行是各种平行的基础．
3．应注意：证明线面平行时漏写线在面外(内).