11.3.3　课后达标检测（教师版）

1．在长方体ABCD A1B1C1D1中，E为棱DD1上的点．当平面AB1C∥平面A1EC1时，点E(　　)
A．与点D重合
B．与点D1重合
C．为棱DD1的中点
D．为棱DD1靠近点D的三等分点
解析：选A．连接B1D1，BD(图略)，设B1D1∩A1C1＝M，BD∩AC＝O，连接ME，MD，B1O(图略).因为平面AB1C∥平面A1EC1，平面AB1C∩平面BDD1B1＝B1O，平面A1EC1∩平面BDD1B1＝ME，所以B1O∥ME.易知四边形B1MDO为平行四边形，所以B1O∥MD，所以点E与点D重合．
2.如图，D，E，F分别为三棱锥S?ABC的棱SA，SB，SC的中点，则下列说法错误的是　(　　)
A．DE∥平面ABC
B．EF∥平面ABC
C．平面DEF∥平面ABC
D．SA∥BC
解析：选D．对于A，DE∥AB，DE 平面ABC，AB 平面ABC，则DE∥平面ABC，A正确；同理B也正确；对于C，由A，B选项及DE∩EF＝E，DE，EF 平面DEF，得平面DEF∥平面ABC，C正确；对于D，由三棱锥的结构知SA与BC为异面直线，不平行，D错误．
3．若平面α∥平面β，点A，C∈α，B，D∈β，则直线AC∥直线BD的充要条件是(　　)
A．AB∥CD
B．AD∥CB
C．AB与CD相交
D．A，B，C，D四点共面
解析：选D．当A，B，C，D四点共面时，由平面与平面平行的性质知AC∥BD，充分性成立；当AC∥BD时，由推论3可知，A，B，C，D四点共面，必要性成立．故选D．
4．如图，不在同一个平面内的三条平行直线和两个平行平面相交，则两个平行平面内以交点为顶点的两个三角形是(　　)
A．相似但不全等的三角形
B．全等三角形
C．面积相等的不全等三角形
D．以上结论都不对
解析：选B．由面面平行的性质定理，得AC∥A′C′，又因为AA′∥CC′，则四边形ACC′A′为平行四边形，所以AC＝A′C′.同理BC＝B′C′，AB＝A′B′，所以△ABC≌△A′B′C′.
5．(2024·呼和浩特期末)如图，正方体ABCD A1B1C1D1的棱长为3，点E在A1B1上，且B1E＝1，平面α∥平面BC1E，若平面α∩平面AA1B1B＝A1F，则AF的长为(　　)
A．1 B．1.5
C．2 D．3
解析：选A．平面α∥平面BC1E，平面α∩平面AA1B1B＝A1F，平面BC1E∩平面AA1B1B＝BE，
所以A1F∥BE，又A1E∥FB，
所以四边形A1FBE为平行四边形，
所以FB＝A1E＝3－1＝2，所以AF＝1.
6．(多选)如图，在正方体ABCD?A1B1C1D1中，E为AB的中点，则下列条件中，能使直线EF∥平面ACD1的有(　　)
A．F为AA1的中点
B．F为BB1的中点
C．F为CC1的中点
D．F为A1D1的中点
解析：选ACD．如图，M，G，H，I，J分别是棱BC，CC1，C1D1，A1D1，AA1的中点，易证E与M，G，H，I，J共面．因为EM∥AC，AC 平面ACD1，EM 平面ACD1，所以EM∥平面ACD1.同理可得EJ∥平面ACD1.而EM，EJ是平面EMGHIJ内的相交直线，则平面EMGHIJ∥平面ACD1，所以要使EF∥平面ACD1，则F∈平面EMGHIJ，观察各选项，A，C，D满足题意．
7.如图，在长方体ABCD?A1B1C1D1中，写出满足条件的一个平面；
(1)与平面ADD1A1平行的平面为________________________________________；
(2)与平面ABB1A1平行的平面为________________________________________；
(3)与平面A1DC1平行的平面为______________________________________；
解析：因为ABCD?A1B1C1D1为长方体，所以平面ADD1A1∥平面BCC1B1，平面ABB1A1∥平面DCC1D1，连接AB1，B1C，AC(图略)，则A1C1∥AC，DC1∥AB1，又因为AC，AB1 平面A1DC1，A1C1，DC1 平面A1DC1，所以AC∥平面A1DC1，AB1∥平面A1DC1，因为AC∩AB1＝A，AC，AB1 平面AB1C，所以平面A1DC1∥平面AB1C．　
答案：(1)平面BCC1B1　(2)平面DCC1D1
(3)平面AB1C
8．如图，平面四边形ABCD所在的平面与平面α平行，且四边形ABCD在平面α内的平行投影A1B1C1D1是一个平行四边形，则四边形ABCD的形状一定是______________．
解析：由于平面ABCD∥平面α，平面AA1B1B∩α＝A1B1，平面AA1B1B∩平面ABCD＝AB，
所以AB∥A1B1，同理可证CD∥C1D1，
又A1B1∥C1D1，所以AB∥CD，
同理可证AD∥BC，
所以四边形ABCD是平行四边形．
答案：平行四边形
9.如图，在长方体ABCD?A1B1C1D1中，过BB1的中点E作一个与平面ACB1平行的平面交AB于点M，交BC于点N，则＝________．
解析：由平面MNE∥平面ACB1，及面面平行的性质定理可得EN∥B1C，EM∥B1A，又因为E为BB1的中点，所以M，N分别为AB，BC的中点，所以MN＝AC，即＝.
答案：
10.如图，已知AB∥α，CD α，M，N，P分别为线段AC，BC，BD的中点，且M，N，P三点不共线．
求证：平面MNP∥α.
证明：因为N，P分别为BC，BD的中点，所以NP∥CD，又NP α，CD α，所以NP∥α.设平面ABC∩α＝CE，如图所示，又AB∥α，所以AB∥CE，
又M，N分别为AC，BC的中点，
所以MN∥AB，所以MN∥CE，
又MN α，CE α，故MN∥α.
又MN，NP 平面MNP，MN∩NP＝N，
所以平面MNP∥α.
11．设α，β是两个不同的平面，m是直线且m α，m∥β，若使α∥β成立，则需增加的条件是(　　)
A．n是直线且n α，n∥β
B．n，m是异面直线且n∥β
C．n，m是相交直线且n α，n∥β
D．n，m是平行直线且n α，n∥β
解析：选C．要使α∥β成立，需要其中一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，n，m是相交直线且n α，n∥β，m α，m∥β，由平面与平面平行的判定定理可得α∥β.故选C．
12．(多选)如图，在三棱柱ABC?A1B1C1中，已知点G，H分别在A1B1，A1C1上，且GH经过△A1B1C1的重心，点E，F分别是AB，AC的中点，且平面A1EF∥平面BCHG，则下列结论正确的是(　　)
A．EF∥GH
B．GH∥平面A1EF
C．＝
D．平面A1EF∥平面BCC1B1
解析：选ABC．由E，F分别是AB，AC的中点可知EF∥BC，＝.在三棱柱ABC?A1B1C1中，平面A1B1C1∥平面ABC，由两个平面平行的性质定理可得GH∥BC，因为BC綉B1C1，所以GH∥B1C1，又GH经过△A1B1C1的重心，所以＝，所以＝，且EF∥GH，GH 平面A1EF，EF 平面A1EF，所以GH∥平面A1EF.因为A1B1∥BE且BE＜A1B1，所以直线A1E与BB1有交点，所以平面A1EF与平面BCC1B1相交．故A，B，C正确，D错误．
13.如图，在棱长为2的正方体ABCD?A1B1C1D1中，A1B1的中点是P，过点A1作与截面PBC1平行的截面，则该截面的面积为________．
解析：如图所示，取AB的中点M，取C1D1的中点N，连接A1M，A1N，CM，CN.
由于A1N∥PC1∥MC，A1N＝PC1＝MC，且A1M＝A1N，所以四边形A1MCN是菱形．
又因为A1N∥PC1，A1N 平面PBC1，PC1 平面PBC1，则A1N∥平面PBC1.
同理A1M∥平面PBC1，又A1M∩A1N＝A1，A1M，A1N 平面A1MCN，所以平面A1MCN∥平面PBC1.而过A1有且只有一个平面与平面PBC1平行，故过点A1作与截面PBC1平行的截面是菱形A1MCN.又因为菱形A1MCN的两条对角线的长分别为2，2，所以该截面的面积是×2×2＝2.
答案：2
14.如图，在棱长为2的正方体ABCD A1B1C1D1中，M，N分别是棱A1B1，A1D1 的中点，在图中画出过底面ABCD的中心O且与平面AMN平行的平面在正方体中的截面，并求出截面多边形的周长．
解：如图，分别取E，F为棱B1C1，C1D1的中点，连接EF，B1D1，DE，BE，DF，EN，则EF∥B1D1∥MN，
又BD∥B1D1，
所以EF∥BD，则E，F，B，D四点共面．
又EF＝B1D1＝BD，
所以四边形DBEF为梯形．
又AB綉A1B1，则EN綉AB，所以四边形ABEN是平行四边形，所以AN∥BE.
因为AN 平面AMN，BE 平面AMN，所以BE∥平面AMN.同理，EF∥平面AMN.
因为BE，EF 平面DBEF，EF∩BE＝E，所以平面DBEF∥平面AMN.
所以平面DBEF即为所求截面．
由题意知，BD＝2，EF＝，EB＝ eq \r(BB＋EB) ＝，同理，DF＝，
所以截面四边形DBEF的周长为3＋2.
15．在三棱台A1B1C1 ABC中，点D在A1B1上，且AA1∥BD，点M是△A1B1C1内(含边界)的一个动点，且平面BDM∥平面A1ACC1，则动点M的轨迹是(　　)
A．△A1B1C1边界的一部分
B．一个点
C．线段的一部分
D．圆的一部分
解析：选C．如图，过D作DE∥A1C1交B1C1于点E，连接BE，因为BD∥AA1，BD 平面A1ACC1，AA1 平面A1ACC1，
所以BD∥平面A1ACC1，
同理DE∥平面A1ACC1，
又BD∩DE＝D，BD，DE 平面BDE，
所以平面BDE∥平面A1ACC1，所以M∈DE(M不与D重合，否则没有平面BDM).故选C．
16．(2024·遵义期末)如图，四棱锥P?ABCD中，AB∥CD，AB＝2CD，E为PB的中点．
(1)求证：CE∥平面PAD；
(2)过D点是否存在一个与PA，AB相交，且与平面PBC平行的平面？若存在，指出交点位置，并证明你的结论；若不存在，请说明理由．
解：(1)证明：如图，取PA的中点F，连接EF，DF，因为E为PB的中点，F为PA的中点，
所以EF∥AB，EF＝AB，
又AB∥CD，AB＝2CD，所以EF∥CD，EF＝CD，
因此四边形CDFE为平行四边形，
所以CE∥DF，又DF 平面PAD，CE 平面PAD，
所以CE∥平面PAD．
(2)存在，交点为PA的中点F和AB的中点H.
理由如下：取AB的中点H，连接FH，DH，
由(1)得CE∥DF，又DF 平面DFH，CE 平面DFH，
所以CE∥平面DFH，
因为F为PA的中点，H为AB的中点，所以FH∥PB，
又FH 平面DFH，PB 平面DFH，所以PB∥平面DFH，又PB∩CE＝E，PB，CE 平面PBC，所以平面PBC∥平面DFH.