11.3.3 平面与平面平行（教师版）
文档属性
| 名称 | 11.3.3 平面与平面平行（教师版） |
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| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 672.2KB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教B版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2026-02-27 00:00:00 | ||
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文档简介
11．3.3 平面与平面平行
1.了解空间中平面与平面的平行关系． 2.归纳出平面与平面平行的判定定理和性质定理，并能应用上述定理解决空间中的平行问题．
INCLUDEPICTURE "新知学习探究LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "新知学习探究LLL.TIF" \* MERGEFORMAT
INCLUDEPICTURE "新课导学1LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "新课导学1LLL.TIF" \* MERGEFORMAT
上海世界博览会的中国国家馆表达了“东方之冠，鼎盛中华，天下粮仓，富庶百姓”的中国文化精神与气质．
INCLUDEPICTURE "25R7-191.TIF" INCLUDEPICTURE "25R7-191.TIF" \* MERGEFORMAT
思考 如图，展馆的每两层所在的平面有什么位置关系？
提示：平行(每两层所在平面没有公共点).
类别 判定定理 推论
文字语言 如果一个平面内有____________分别平行于另一个平面，那么这两个平面平行 如果一个平面内有____________分别平行于另一个平面内的________，则这两个平面平行
符号语言 l α，m α，l∩m≠ ，l∥β，m∥β α∥β a∥c，b∥d，a∩b＝A，a α，b α，c β，d β α∥β
图形语言 INCLUDEPICTURE "XL63.TIF" INCLUDEPICTURE "XL63.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "XL64.TIF" INCLUDEPICTURE "XL64.TIF" \* MERGEFORMAT
[答案自填] 两条相交直线 两条相交直线
两条直线
INCLUDEPICTURE "例1LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "例1LLL.TIF" \* MERGEFORMAT (对接教材例1)如图所示，已知正方体ABCD?A1B1C1D1.若E，F分别是AA1，CC1的中点，求证：平面EB1D1∥平面FBD．
INCLUDEPICTURE "25R7-193.TIF" INCLUDEPICTURE "25R7-193.TIF" \* MERGEFORMAT
【证明】 由BD∥B1D1，BD 平面EB1D1，B1D1 平面EB1D1，得BD∥平面EB1D1.
INCLUDEPICTURE "25R7-194.TIF" INCLUDEPICTURE "25R7-194.TIF" \* MERGEFORMAT
如图，取BB1的中点G，连接AG，GF，易得AE∥B1G，AE＝B1G，所以四边形AEB1G是平行四边形，所以B1E∥AG.
易得GF∥AD，GF＝AD，所以四边形ADFG 是平行四边形，所以AG∥DF，
所以B1E∥DF，又DF 平面EB1D1，B1E 平面EB1D1，
所以DF∥平面EB1D1.
又因为BD∩DF＝D，BD，DF 平面FBD，所以平面EB1D1∥平面FBD．
【变式探究】
(综合变式)把本例的条件改为“E，F分别是AA1与CC1上的点，且A1E＝AA1”，求F在何位置时，平面EB1D1∥平面FBD
解：当F满足CF＝CC1时，平面EB1D1∥平面FBD，证明如下：
INCLUDEPICTURE "25R7-195.TIF" INCLUDEPICTURE "25R7-195.TIF" \* MERGEFORMAT
如图，在D1D上取点M，
且DM＝DD1，
连接AM，FM，则AE綉D1M，
从而四边形AMD1E是平行四边形，
所以D1E∥AM.
同理，FM綉CD，又因为AB綉CD，
所以FM綉AB，
从而四边形FMAB是平行四边形，
所以AM∥BF，
即有D1E∥BF.
又BF 平面FBD，D1E 平面FBD，
所以D1E∥平面FBD．
又B1B綉D1D，从而四边形BB1D1D是平行四边形，故B1D1∥BD，
又BD 平面FBD，B1D1 平面FBD，
从而B1D1∥平面FBD，
又D1E∩B1D1＝D1，D1E，B1D1 平面EB1D1，
所以平面EB1D1∥平面FBD．
INCLUDEPICTURE "解题技法LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "解题技法LLL.TIF" \* MERGEFORMAT
利用判定定理证明两个平面平行的一般步骤
INCLUDEPICTURE "25R7-196.TIF" INCLUDEPICTURE "25R7-196.TIF" \* MERGEFORMAT
[跟踪训练1] 如图所示，在直角梯形ABCP中，BC∥AP，AB⊥BC，CD⊥AP，AD＝DC＝PD．E，F，G分别为线段PC，PD，BC的中点，现将△PDC折起，使点P 平面ABCD．求证：平面PAB∥平面EFG.
INCLUDEPICTURE "25R7-192.TIF" INCLUDEPICTURE "25R7-192.TIF" \* MERGEFORMAT
证明：因为E，F分别为线段PC，PD的中点，所以EF∥CD，又因为CD∥AB，
所以EF∥AB．
又EF 平面PAB，AB 平面PAB，
所以EF∥平面PAB．
同理可证EG∥平面PAB．
又因为EF∩EG＝E，EF，EG 平面EFG，
所以平面PAB∥平面EFG.
二 平面与平面平行的性质定理
类别 性质定理 推论
文字语言 如果两个平行平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线________ 两条直线被三个平行平面所截，截得的对应线段成________
符号语言 α∥β，α∩γ＝l，β∩γ＝m ________ α∥β∥γ，l∩α＝A，l∩β＝B，l∩γ＝C，m∩α＝D，m∩β＝E，m∩γ＝F ＝
图形语言 INCLUDEPICTURE "XL66.TIF" INCLUDEPICTURE "XL66.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "XL67.TIF" INCLUDEPICTURE "XL67.TIF" \* MERGEFORMAT
[答案自填] 平行 比例 l∥m
INCLUDEPICTURE "例2LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "例2LLL.TIF" \* MERGEFORMAT 如图，已知AB，CD是夹在两个平行平面α，β之间的线段，M，N分别为AB，CD的中点．求证：MN∥α.
INCLUDEPICTURE "25R7-197.TIF" INCLUDEPICTURE "25R7-197.TIF" \* MERGEFORMAT
【证明】 ①若AB，CD在同一平面内，则平面ABDC与α，β的交线分别为BD，AC．因为α∥β，所以AC∥BD．
因为M，N分别为AB，CD的中点，所以MN∥BD．
又BD α，MN α，所以MN∥α.
INCLUDEPICTURE "25R7-198.TIF" INCLUDEPICTURE "25R7-198.TIF" \* MERGEFORMAT
②若AB，CD异面，如图，过A作AE∥CD交α于点E，取AE的中点P，连接MP，PN，BE，ED，BD．
因为AE∥CD，所以AE，CD确定平面AEDC，
且与α，β的交线分别为ED，AC．
因为α∥β，所以ED∥AC．
又P，N分别为AE，CD的中点，
所以PN∥ED，又PN α，ED α，所以PN∥α，
同理可证MP∥α，又因为PN，MP 平面MPN，PN∩MP＝P，所以平面MPN∥α，
又MN 平面MPN，所以MN∥α.
INCLUDEPICTURE "解题技法LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "解题技法LLL.TIF" \* MERGEFORMAT
平面与平面平行的性质定理的解题步骤
INCLUDEPICTURE "22Db110.TIF" INCLUDEPICTURE "22Db110.TIF" \* MERGEFORMAT
[跟踪训练2] 如图，在四棱柱ABCD A1B1C1D1中，底面ABCD为梯形，AD∥BC，平面A1DCE与B1B交于点E.求证：EC∥A1D．
INCLUDEPICTURE "22Db109.TIF" INCLUDEPICTURE "22Db109.TIF" \* MERGEFORMAT
证明：因为BE∥AA1，AA1 平面AA1D，BE 平面AA1D，所以BE∥平面AA1D．
因为BC∥AD，AD 平面AA1D，
BC 平面AA1D，所以BC∥平面AA1D．
又BE∩BC＝B，BE，BC 平面BCE，
所以平面BCE∥平面AA1D，
又平面A1DCE∩平面BCE＝EC，
平面A1DCE∩平面AA1D＝A1D，所以EC∥A1D．
三 面面平行的综合应用
INCLUDEPICTURE "例3lll.TIF" INCLUDEPICTURE "例3lll.TIF" \* MERGEFORMAT (对接教材例2)如图，已知平面α∥β，P α，且P β，过点P的直线m与α，β分别交于点A，C，过点P的直线n与α，β分别交于点B，D，且PA＝6，AC＝9，PD＝8，求BD的长．
INCLUDEPICTURE "22Db112.TIF" INCLUDEPICTURE "22Db112.TIF" \* MERGEFORMAT
【解】 因为AC∩BD＝P，所以经过直线AC与BD可确定平面PCD，因为α∥β，α∩平面PCD＝AB，β∩平面PCD＝CD，
所以AB∥CD，所以＝，即＝，解得BD＝，故BD的长为.
【变式探究】
(条件变式)将本例改为：若点P位于平面 α，β之间(如图)，其他条件不变，试求BD的长．
INCLUDEPICTURE "22Db113.TIF" INCLUDEPICTURE "22Db113.TIF" \* MERGEFORMAT
解：与本例同理，可证得AB∥CD．
所以＝，即＝，解得BD＝24，故BD的长为24.
INCLUDEPICTURE "解题技法LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "解题技法LLL.TIF" \* MERGEFORMAT
(1)空间中各种平行关系相互转化
INCLUDEPICTURE "25R7-198A.TIF" INCLUDEPICTURE "25R7-198A.TIF" \* MERGEFORMAT
(2)平行平面分线段成比例定理
类比平面内的平行直线分线段成比例定理，在空间中有平行平面分线段成比例定理：三个平行平面截两条直线所得的对应线段成比例．
[跟踪训练3] (1)如图所示，P是△ABC所在平面外一点，平面α∥平面ABC，α分别交线段PA，PB，PC于A′，B′，C′，若PA′∶AA′＝2∶3，则S△A′B′C′∶S△ABC＝________．
INCLUDEPICTURE "25R7-199.TIF" INCLUDEPICTURE "25R7-199.TIF" \* MERGEFORMAT
解析：因为平面α∥平面ABC，平面PAB∩平面α＝A′B′，平面PAB∩平面ABC＝AB，所以A′B′∥AB，同理B′C′∥BC，易得△A′B′C′∽△ABC，同理易知△PA′B′∽△PAB，则△S△A′B′C′∶S△ABC＝()2＝()2＝4∶25.
答案：4∶25
(2)(2024·大连月考)在正四棱柱ABCD A1B1C1D1中，O为底面ABCD的中心，P是DD1的中点，设Q是CC1上的点，则点Q满足条件__________时，有平面D1BQ∥平面PAO.
解析：如图所示，设Q为CC1的中点，因为P为DD1的中点，所以QB∥PA，连接DB，因为P，O分别是DD1，DB的中点，所以D1B∥PO，
INCLUDEPICTURE "RSXA17a.TIF" INCLUDEPICTURE "RSXA17a.TIF" \* MERGEFORMAT
又D1B 平面PAO，QB 平面PAO，且PO 平面PAO，PA 平面PAO，
所以D1B∥平面PAO，QB∥平面PAO，
又D1B∩QB＝B，D1B，QB 平面D1BQ，
所以平面D1BQ∥平面PAO.
故Q为CC1的中点时，有平面D1BQ∥平面PAO.
答案：Q为CC1的中点
INCLUDEPICTURE "课堂巩固自测LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "课堂巩固自测LLL.TIF" \* MERGEFORMAT
INCLUDEPICTURE "25R7-200.TIF" INCLUDEPICTURE "25R7-200.TIF" \* MERGEFORMAT
1．如图是长方体被一平面所截得到的几何体，四边形EFGH为截面，长方形ABCD为底面，则四边形EFGH的形状为( )
A．梯形
B．平行四边形
C．可能是梯形也可能是平行四边形
D．以上都不对
解析：选B．由长方体的性质：各对面平行，易知HG∥EF，EH∥FG，所以四边形EFGH 为平行四边形．故选B．
2．(多选)以下条件能够判断平面α与平面β平行的是( )
A．平面α内有两条直线与平面β平行
B．两不同平面α，β平行于同一个平面
C．平面α内的任意一条直线与平面β无公共点
D．夹在平面α与平面β间的两条平行线段相等
解析：选BC．对于A，由面面平行的判定定理可知，若平面α内有两条相交直线与平面β平行，则平面α与平面β平行，则A不正确；对于B，平行于同一个平面的两个平面平行，则B正确；对于C，两个平面的位置关系有平行和相交两种，平面α内的任意一条直线与平面β无公共点，则平面α与平面β无公共点，即平面α与平面β平行，则C正确；对于D，相交平面也存在夹在两平面间的两条平行线段相等的情况，则D不正确．故选BC．
3．如图所示，正方体ABCD?A1B1C1D1的棱长为3，M，N分别是棱A1B1，B1C1的中点，P是棱AD上的一点，AP＝1，过P，M，N三点的平面交上底面于PQ，Q在CD上，则PQ＝__________．
INCLUDEPICTURE "25R7-201.TIF" INCLUDEPICTURE "25R7-201.TIF" \* MERGEFORMAT
解析：因为平面ABCD∥平面A1B1C1D1，平面ABCD∩平面PQNM＝PQ，平面A1B1C1D1∩平面PQNM＝MN，所以MN∥PQ.连接A1C1，AC(图略)，则MN∥A1C1，A1C1∥AC，所以MN∥AC，PQ∥AC．又AP＝1，所以＝＝，所以PQ＝AC＝×3＝2.
答案：2
4．(教材P108T4改编)如图所示，在长方体ABCD?A′B′C′D′中，E，F，E′，F′分别是AB，CD，A′B′，C′D′的中点．求证：平面A′EFD′∥平面BCF′E′.
INCLUDEPICTURE "25R7-202.TIF" INCLUDEPICTURE "25R7-202.TIF" \* MERGEFORMAT
证明：因为E，E′分别是AB，A′B′的中点，
所以A′E′綉BE，
所以四边形A′EBE′为平行四边形，
所以A′E∥BE′.
又A′E 平面BCF′E′，BE′ 平面BCF′E′，
所以A′E∥平面BCF′E′，
同理可证A′D′∥平面BCF′E′，
又A′D′∩A′E＝A′，A′D′，A′E 平面A′EFD′，
所以平面A′EFD′∥平面BCF′E′.
INCLUDEPICTURE "课堂小结.TIF" INCLUDEPICTURE "课堂小结.TIF" \* MERGEFORMAT
1．已学面与平面平行的判定定理、性质定理．
2．须贯通：应用面面平行的判定定理，只要找出一个平面内两条相交直线分别与另一个平面平行即可；应用面面平行的性质定理，一般是找到或作出与两个平行平面相交的辅助面，辅助面与两个平行平面相交，那么两条交线必定平行；面面平行的判定定理与性质定理体现了线线平行、线面平行、面面平行之间的相互转化．
3．应注意：(1)平面与平面平行的条件是否充分；(2)证明面面平行一般要用判定定理．
1.了解空间中平面与平面的平行关系． 2.归纳出平面与平面平行的判定定理和性质定理，并能应用上述定理解决空间中的平行问题．
INCLUDEPICTURE "新知学习探究LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "新知学习探究LLL.TIF" \* MERGEFORMAT
INCLUDEPICTURE "新课导学1LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "新课导学1LLL.TIF" \* MERGEFORMAT
上海世界博览会的中国国家馆表达了“东方之冠，鼎盛中华，天下粮仓，富庶百姓”的中国文化精神与气质．
INCLUDEPICTURE "25R7-191.TIF" INCLUDEPICTURE "25R7-191.TIF" \* MERGEFORMAT
思考 如图，展馆的每两层所在的平面有什么位置关系？
提示：平行(每两层所在平面没有公共点).
类别 判定定理 推论
文字语言 如果一个平面内有____________分别平行于另一个平面，那么这两个平面平行 如果一个平面内有____________分别平行于另一个平面内的________，则这两个平面平行
符号语言 l α，m α，l∩m≠ ，l∥β，m∥β α∥β a∥c，b∥d，a∩b＝A，a α，b α，c β，d β α∥β
图形语言 INCLUDEPICTURE "XL63.TIF" INCLUDEPICTURE "XL63.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "XL64.TIF" INCLUDEPICTURE "XL64.TIF" \* MERGEFORMAT
[答案自填] 两条相交直线 两条相交直线
两条直线
INCLUDEPICTURE "例1LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "例1LLL.TIF" \* MERGEFORMAT (对接教材例1)如图所示，已知正方体ABCD?A1B1C1D1.若E，F分别是AA1，CC1的中点，求证：平面EB1D1∥平面FBD．
INCLUDEPICTURE "25R7-193.TIF" INCLUDEPICTURE "25R7-193.TIF" \* MERGEFORMAT
【证明】 由BD∥B1D1，BD 平面EB1D1，B1D1 平面EB1D1，得BD∥平面EB1D1.
INCLUDEPICTURE "25R7-194.TIF" INCLUDEPICTURE "25R7-194.TIF" \* MERGEFORMAT
如图，取BB1的中点G，连接AG，GF，易得AE∥B1G，AE＝B1G，所以四边形AEB1G是平行四边形，所以B1E∥AG.
易得GF∥AD，GF＝AD，所以四边形ADFG 是平行四边形，所以AG∥DF，
所以B1E∥DF，又DF 平面EB1D1，B1E 平面EB1D1，
所以DF∥平面EB1D1.
又因为BD∩DF＝D，BD，DF 平面FBD，所以平面EB1D1∥平面FBD．
【变式探究】
(综合变式)把本例的条件改为“E，F分别是AA1与CC1上的点，且A1E＝AA1”，求F在何位置时，平面EB1D1∥平面FBD
解：当F满足CF＝CC1时，平面EB1D1∥平面FBD，证明如下：
INCLUDEPICTURE "25R7-195.TIF" INCLUDEPICTURE "25R7-195.TIF" \* MERGEFORMAT
如图，在D1D上取点M，
且DM＝DD1，
连接AM，FM，则AE綉D1M，
从而四边形AMD1E是平行四边形，
所以D1E∥AM.
同理，FM綉CD，又因为AB綉CD，
所以FM綉AB，
从而四边形FMAB是平行四边形，
所以AM∥BF，
即有D1E∥BF.
又BF 平面FBD，D1E 平面FBD，
所以D1E∥平面FBD．
又B1B綉D1D，从而四边形BB1D1D是平行四边形，故B1D1∥BD，
又BD 平面FBD，B1D1 平面FBD，
从而B1D1∥平面FBD，
又D1E∩B1D1＝D1，D1E，B1D1 平面EB1D1，
所以平面EB1D1∥平面FBD．
INCLUDEPICTURE "解题技法LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "解题技法LLL.TIF" \* MERGEFORMAT
利用判定定理证明两个平面平行的一般步骤
INCLUDEPICTURE "25R7-196.TIF" INCLUDEPICTURE "25R7-196.TIF" \* MERGEFORMAT
[跟踪训练1] 如图所示，在直角梯形ABCP中，BC∥AP，AB⊥BC，CD⊥AP，AD＝DC＝PD．E，F，G分别为线段PC，PD，BC的中点，现将△PDC折起，使点P 平面ABCD．求证：平面PAB∥平面EFG.
INCLUDEPICTURE "25R7-192.TIF" INCLUDEPICTURE "25R7-192.TIF" \* MERGEFORMAT
证明：因为E，F分别为线段PC，PD的中点，所以EF∥CD，又因为CD∥AB，
所以EF∥AB．
又EF 平面PAB，AB 平面PAB，
所以EF∥平面PAB．
同理可证EG∥平面PAB．
又因为EF∩EG＝E，EF，EG 平面EFG，
所以平面PAB∥平面EFG.
二 平面与平面平行的性质定理
类别 性质定理 推论
文字语言 如果两个平行平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线________ 两条直线被三个平行平面所截，截得的对应线段成________
符号语言 α∥β，α∩γ＝l，β∩γ＝m ________ α∥β∥γ，l∩α＝A，l∩β＝B，l∩γ＝C，m∩α＝D，m∩β＝E，m∩γ＝F ＝
图形语言 INCLUDEPICTURE "XL66.TIF" INCLUDEPICTURE "XL66.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "XL67.TIF" INCLUDEPICTURE "XL67.TIF" \* MERGEFORMAT
[答案自填] 平行 比例 l∥m
INCLUDEPICTURE "例2LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "例2LLL.TIF" \* MERGEFORMAT 如图，已知AB，CD是夹在两个平行平面α，β之间的线段，M，N分别为AB，CD的中点．求证：MN∥α.
INCLUDEPICTURE "25R7-197.TIF" INCLUDEPICTURE "25R7-197.TIF" \* MERGEFORMAT
【证明】 ①若AB，CD在同一平面内，则平面ABDC与α，β的交线分别为BD，AC．因为α∥β，所以AC∥BD．
因为M，N分别为AB，CD的中点，所以MN∥BD．
又BD α，MN α，所以MN∥α.
INCLUDEPICTURE "25R7-198.TIF" INCLUDEPICTURE "25R7-198.TIF" \* MERGEFORMAT
②若AB，CD异面，如图，过A作AE∥CD交α于点E，取AE的中点P，连接MP，PN，BE，ED，BD．
因为AE∥CD，所以AE，CD确定平面AEDC，
且与α，β的交线分别为ED，AC．
因为α∥β，所以ED∥AC．
又P，N分别为AE，CD的中点，
所以PN∥ED，又PN α，ED α，所以PN∥α，
同理可证MP∥α，又因为PN，MP 平面MPN，PN∩MP＝P，所以平面MPN∥α，
又MN 平面MPN，所以MN∥α.
INCLUDEPICTURE "解题技法LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "解题技法LLL.TIF" \* MERGEFORMAT
平面与平面平行的性质定理的解题步骤
INCLUDEPICTURE "22Db110.TIF" INCLUDEPICTURE "22Db110.TIF" \* MERGEFORMAT
[跟踪训练2] 如图，在四棱柱ABCD A1B1C1D1中，底面ABCD为梯形，AD∥BC，平面A1DCE与B1B交于点E.求证：EC∥A1D．
INCLUDEPICTURE "22Db109.TIF" INCLUDEPICTURE "22Db109.TIF" \* MERGEFORMAT
证明：因为BE∥AA1，AA1 平面AA1D，BE 平面AA1D，所以BE∥平面AA1D．
因为BC∥AD，AD 平面AA1D，
BC 平面AA1D，所以BC∥平面AA1D．
又BE∩BC＝B，BE，BC 平面BCE，
所以平面BCE∥平面AA1D，
又平面A1DCE∩平面BCE＝EC，
平面A1DCE∩平面AA1D＝A1D，所以EC∥A1D．
三 面面平行的综合应用
INCLUDEPICTURE "例3lll.TIF" INCLUDEPICTURE "例3lll.TIF" \* MERGEFORMAT (对接教材例2)如图，已知平面α∥β，P α，且P β，过点P的直线m与α，β分别交于点A，C，过点P的直线n与α，β分别交于点B，D，且PA＝6，AC＝9，PD＝8，求BD的长．
INCLUDEPICTURE "22Db112.TIF" INCLUDEPICTURE "22Db112.TIF" \* MERGEFORMAT
【解】 因为AC∩BD＝P，所以经过直线AC与BD可确定平面PCD，因为α∥β，α∩平面PCD＝AB，β∩平面PCD＝CD，
所以AB∥CD，所以＝，即＝，解得BD＝，故BD的长为.
【变式探究】
(条件变式)将本例改为：若点P位于平面 α，β之间(如图)，其他条件不变，试求BD的长．
INCLUDEPICTURE "22Db113.TIF" INCLUDEPICTURE "22Db113.TIF" \* MERGEFORMAT
解：与本例同理，可证得AB∥CD．
所以＝，即＝，解得BD＝24，故BD的长为24.
INCLUDEPICTURE "解题技法LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "解题技法LLL.TIF" \* MERGEFORMAT
(1)空间中各种平行关系相互转化
INCLUDEPICTURE "25R7-198A.TIF" INCLUDEPICTURE "25R7-198A.TIF" \* MERGEFORMAT
(2)平行平面分线段成比例定理
类比平面内的平行直线分线段成比例定理，在空间中有平行平面分线段成比例定理：三个平行平面截两条直线所得的对应线段成比例．
[跟踪训练3] (1)如图所示，P是△ABC所在平面外一点，平面α∥平面ABC，α分别交线段PA，PB，PC于A′，B′，C′，若PA′∶AA′＝2∶3，则S△A′B′C′∶S△ABC＝________．
INCLUDEPICTURE "25R7-199.TIF" INCLUDEPICTURE "25R7-199.TIF" \* MERGEFORMAT
解析：因为平面α∥平面ABC，平面PAB∩平面α＝A′B′，平面PAB∩平面ABC＝AB，所以A′B′∥AB，同理B′C′∥BC，易得△A′B′C′∽△ABC，同理易知△PA′B′∽△PAB，则△S△A′B′C′∶S△ABC＝()2＝()2＝4∶25.
答案：4∶25
(2)(2024·大连月考)在正四棱柱ABCD A1B1C1D1中，O为底面ABCD的中心，P是DD1的中点，设Q是CC1上的点，则点Q满足条件__________时，有平面D1BQ∥平面PAO.
解析：如图所示，设Q为CC1的中点，因为P为DD1的中点，所以QB∥PA，连接DB，因为P，O分别是DD1，DB的中点，所以D1B∥PO，
INCLUDEPICTURE "RSXA17a.TIF" INCLUDEPICTURE "RSXA17a.TIF" \* MERGEFORMAT
又D1B 平面PAO，QB 平面PAO，且PO 平面PAO，PA 平面PAO，
所以D1B∥平面PAO，QB∥平面PAO，
又D1B∩QB＝B，D1B，QB 平面D1BQ，
所以平面D1BQ∥平面PAO.
故Q为CC1的中点时，有平面D1BQ∥平面PAO.
答案：Q为CC1的中点
INCLUDEPICTURE "课堂巩固自测LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "课堂巩固自测LLL.TIF" \* MERGEFORMAT
INCLUDEPICTURE "25R7-200.TIF" INCLUDEPICTURE "25R7-200.TIF" \* MERGEFORMAT
1．如图是长方体被一平面所截得到的几何体，四边形EFGH为截面，长方形ABCD为底面，则四边形EFGH的形状为( )
A．梯形
B．平行四边形
C．可能是梯形也可能是平行四边形
D．以上都不对
解析：选B．由长方体的性质：各对面平行，易知HG∥EF，EH∥FG，所以四边形EFGH 为平行四边形．故选B．
2．(多选)以下条件能够判断平面α与平面β平行的是( )
A．平面α内有两条直线与平面β平行
B．两不同平面α，β平行于同一个平面
C．平面α内的任意一条直线与平面β无公共点
D．夹在平面α与平面β间的两条平行线段相等
解析：选BC．对于A，由面面平行的判定定理可知，若平面α内有两条相交直线与平面β平行，则平面α与平面β平行，则A不正确；对于B，平行于同一个平面的两个平面平行，则B正确；对于C，两个平面的位置关系有平行和相交两种，平面α内的任意一条直线与平面β无公共点，则平面α与平面β无公共点，即平面α与平面β平行，则C正确；对于D，相交平面也存在夹在两平面间的两条平行线段相等的情况，则D不正确．故选BC．
3．如图所示，正方体ABCD?A1B1C1D1的棱长为3，M，N分别是棱A1B1，B1C1的中点，P是棱AD上的一点，AP＝1，过P，M，N三点的平面交上底面于PQ，Q在CD上，则PQ＝__________．
INCLUDEPICTURE "25R7-201.TIF" INCLUDEPICTURE "25R7-201.TIF" \* MERGEFORMAT
解析：因为平面ABCD∥平面A1B1C1D1，平面ABCD∩平面PQNM＝PQ，平面A1B1C1D1∩平面PQNM＝MN，所以MN∥PQ.连接A1C1，AC(图略)，则MN∥A1C1，A1C1∥AC，所以MN∥AC，PQ∥AC．又AP＝1，所以＝＝，所以PQ＝AC＝×3＝2.
答案：2
4．(教材P108T4改编)如图所示，在长方体ABCD?A′B′C′D′中，E，F，E′，F′分别是AB，CD，A′B′，C′D′的中点．求证：平面A′EFD′∥平面BCF′E′.
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证明：因为E，E′分别是AB，A′B′的中点，
所以A′E′綉BE，
所以四边形A′EBE′为平行四边形，
所以A′E∥BE′.
又A′E 平面BCF′E′，BE′ 平面BCF′E′，
所以A′E∥平面BCF′E′，
同理可证A′D′∥平面BCF′E′，
又A′D′∩A′E＝A′，A′D′，A′E 平面A′EFD′，
所以平面A′EFD′∥平面BCF′E′.
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1．已学面与平面平行的判定定理、性质定理．
2．须贯通：应用面面平行的判定定理，只要找出一个平面内两条相交直线分别与另一个平面平行即可；应用面面平行的性质定理，一般是找到或作出与两个平行平面相交的辅助面，辅助面与两个平行平面相交，那么两条交线必定平行；面面平行的判定定理与性质定理体现了线线平行、线面平行、面面平行之间的相互转化．
3．应注意：(1)平面与平面平行的条件是否充分；(2)证明面面平行一般要用判定定理．