11.4.1 第1课时 课后达标检测（教师版）
文档属性
| 名称 | 11.4.1 第1课时 课后达标检测（教师版） |
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| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 389.0KB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教B版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2026-02-27 00:00:00 | ||
图片预览
文档简介
INCLUDEPICTURE "课后达标检测LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "课后达标检测LLL.TIF" \* MERGEFORMAT
INCLUDEPICTURE "基础达标.TIF" INCLUDEPICTURE "基础达标.TIF" \* MERGEFORMAT
1．下列条件中，能使直线m⊥平面α的是( )
A．m⊥b，m⊥c，b α，c α
B．m⊥b，b∥α
C．m∩b＝A，b⊥α
D．a，b α，m⊥a，m⊥b，a∩b＝A
解析：选D.由线面垂直的判定定理知D正确．
2．如图，P为△ABC所在平面α外一点，PB⊥α，PC⊥AC，则△ABC的形状为( )
INCLUDEPICTURE "CR2-6.TIF" INCLUDEPICTURE "CR2-6.TIF" \* MERGEFORMAT
A.锐角三角形
B．直角三角形
C．钝角三角形
D．等腰三角形
解析：选B.由PB⊥α，AC α得PB⊥AC，又AC⊥PC，PC∩PB＝P，PC，PB 平面PBC，所以AC⊥平面PBC，又BC 平面PBC，所以AC⊥BC.所以△ABC是直角三角形．故选B.
3．设P是直线l外一定点，过点P且与l成30°角的异面直线( )
A．有无数条 B．有两条
C．至多有两条 D．有一条
解析：选A.过点P且与l成30°角的异面直线有无数条，并且异面直线在以P为顶点的圆锥的侧面上．故选A.
4．(2024·葫芦岛月考)如图所示，在长方体ABCD A1B1C1D1中，AA1＝AB＝2，AD＝1，E，F，G分别是DD1，AB，CC1的中点，则异面直线A1E与GF所成的角的大小为( )
INCLUDEPICTURE "25SX-18.TIF" INCLUDEPICTURE "25SX-18.TIF" \* MERGEFORMAT
A.30° B．45° C．60° D．90°
解析：选D.连接GB1，B1F，EG(图略).因为点E，G分别是DD1，CC1的中点，所以EG綉D1C1，又D1C1綉A1B1，所以EG綉A1B1，所以四边形A1EGB1为平行四边形，则GB1∥A1E，故∠B1GF或其补角为A1E与GF所成的角．因为B1G＝ eq \r(C1B＋C1G2) ＝＝，B1F＝＝＝，GF＝＝＝，所以B1G2＋GF2＝B1F2，所以∠B1GF＝90°.
5．(多选)已知平面α和α外的一条直线l，下列说法不正确的是( )
A．若l垂直于α内的两条平行线，则l⊥α
B．若l⊥α，则l垂直于α内的任一条直线
C．若l垂直于α内的两条相交直线，则l⊥α
D．若l垂直于α内的无数条直线，则l⊥α
解析：选AD.根据线面垂直的判定定理可知，直线需垂直于平面内的两条相交直线，故A不正确，C正确；根据线面垂直的定义可知，B正确；若直线l垂直于α内的无数条平行直线，不可说明l⊥α，故D不正确．故选AD.
6．(多选)如图，在三棱锥P ABC中，PA⊥平面ABC，AB⊥BC，PA＝AB，D为PB的中点，则下列判断正确的是( )
INCLUDEPICTURE "23bA43.TIF" INCLUDEPICTURE "23bA43.TIF" \* MERGEFORMAT
A.BC⊥平面PAB
B．AD⊥PC
C．AD⊥平面PBC
D．PB⊥平面ADC
解析：选ABC.因为PA⊥平面ABC，BC 平面ABC，所以PA⊥BC，又AB⊥BC，AB∩PA＝A，AB，PA 平面PAB，所以BC⊥平面PAB，故A正确；由BC⊥平面PAB，AD 平面PAB，得BC⊥AD，因为PA＝AB，D为PB的中点，所以AD⊥PB，又PB∩BC＝B，PB，BC 平面PBC，从而AD⊥平面PBC，故C正确；因为PC 平面PBC，所以AD⊥PC，故B正确；在平面PBC中，PB⊥BC，所以PB与CD不垂直，所以PB不垂直于平面ADC，故D不正确．
7．若∠AOB＝120°，直线a∥OA，a与OB为异面直线，则a和OB所成的角的大小为____________________________________．
解析：因为直线a∥OA，a与OB为异面直线，所以∠AOB的补角为a与OB所成的角，又∠AOB＝120°，所以a与OB所成的角的大小为180°－120°＝60°.
答案：60°
8．已知平面α，β和直线m，给出条件：①m∥α；②m⊥α；③m α；④α∥β.当满足条件________时，有m⊥β.(选填其中的两个条件)
解析：因为当一条直线垂直于两个平行平面中的一个时，此直线也垂直于另一个平面，结合所给的条件知由②④可推出m⊥β.即②④是m⊥β的充分条件，所以满足条件②④时，有m⊥β.
答案：②④
9.如图，在直三棱柱ABC A1B1C1中，BC＝CC1，当底面A1B1C1满足条件__________时，有AB1⊥BC1.(注：填上你认为正确的一种条件即可，不必考虑所有可能的情况)
INCLUDEPICTURE "23bA52.TIF" INCLUDEPICTURE "23bA52.TIF" \* MERGEFORMAT
解析：
INCLUDEPICTURE "23bA53.TIF" INCLUDEPICTURE "23bA53.TIF" \* MERGEFORMAT
如图所示，连接B1C，由BC＝CC1，可得BC1⊥B1C，因此，要证AB1⊥BC1，则只需证BC1⊥平面AB1C，即证AC⊥BC1，由直三棱柱可知，只要证AC⊥BC即可．因为A1C1∥AC，B1C1∥BC，故只要证A1C1⊥B1C1即可(或者能推出A1C1⊥B1C1的条件，如∠A1C1B1＝90°等).
答案：∠A1C1B1＝90°(答案不唯一)
10．正四棱锥P ABCD的所有棱长均相等，E是PC的中点，求异面直线BE与PA所成的角的余弦值．
INCLUDEPICTURE "QA23.TIF" INCLUDEPICTURE "QA23.TIF" \* MERGEFORMAT
解：连接AC，BD相交于O，连接OE，则O为AC的中点，因为E是PC的中点，所以OE是△PAC的中位线，
INCLUDEPICTURE "QA24.TIF" INCLUDEPICTURE "QA24.TIF" \* MERGEFORMAT
则OE綉PA，则OE与BE所成的角即为异面直线BE与PA所成的角．
设四棱锥的棱长为1，
则OE＝PA＝，OB＝BD＝，BE＝，
则cos ∠OEB＝＝＝.
INCLUDEPICTURE "能力提升.TIF" INCLUDEPICTURE "能力提升.TIF" \* MERGEFORMAT
11．如图，α∩β＝l，点A，C∈α，点B∈β，且BA⊥α，BC⊥β，那么直线l与直线AC的关系是( )
INCLUDEPICTURE "QA25.TIF" INCLUDEPICTURE "QA25.TIF" \* MERGEFORMAT
A.异面 B．平行
C．垂直 D．相交但不垂直
解析：选C.因为AB⊥α，l α，所以AB⊥l.
又因为BC⊥β，l β，所以BC⊥l.
因为AB∩BC＝B，AB，BC 平面ABC，
所以l⊥平面ABC，
又AC 平面ABC，所以l⊥AC.
12．(多选)如图，在以下四个正方体中，直线AB与平面CDE垂直的是( )
INCLUDEPICTURE "QA26a.tif" INCLUDEPICTURE "QA26a.tif" \* MERGEFORMAT
INCLUDEPICTURE "QA26b.tif" INCLUDEPICTURE "QA26b.tif" \* MERGEFORMAT
解析：选BD.对于A，由AB与CE所成角为45°，可得直线AB与平面CDE不垂直；对于B，由AB⊥CE，AB⊥ED，且CE∩ED＝E，CE，ED 平面CDE，可得AB⊥平面CDE；对于C，由AB与CE所成角为60°，可得直线AB与平面CDE不垂直；对于D，连接AC(图略)，由ED⊥平面ABC，AB 平面ABC，可得ED⊥AB，连接AD(图略)，同理可得EC⊥AB，又ED∩EC＝E，ED，EC 平面CDE，所以AB⊥平面CDE.
13．在四棱柱ABCD A1B1C1D1中，侧面都是矩形，底面四边形ABCD是菱形，且AB＝BC＝2，∠ABC＝120°，若异面直线A1B和AD1所成的角是90°，则AA1的长度是________．
INCLUDEPICTURE "25SX-11.TIF" INCLUDEPICTURE "25SX-11.TIF" \* MERGEFORMAT
INCLUDEPICTURE "25SX-12.TIF" INCLUDEPICTURE "25SX-12.TIF" \* MERGEFORMAT
解析：连接CD1，AC，在四棱柱ABCD A1B1C1D1中，
A1D1綉BC，
所以四边形A1BCD1是平行四边形，
所以A1B∥CD1，
所以∠AD1C(或其补角)为A1B和AD1所成的角．
因为异面直线A1B和AD1所成的角为90°，
所以∠AD1C＝90°，
因为四棱柱ABCD A1B1C1D1中，
AB＝BC＝2，∠ABC＝120°，
所以AC＝2sin 60°×2＝6，
所以AD1＝AC＝3，
所以AA1＝ eq \r(AD－A1D) ＝＝.
答案：
14．如图，已知PA⊥平面ABCD，且四边形ABCD为矩形，M，N分别是AB，PC的中点．
INCLUDEPICTURE "22AB38.TIF" INCLUDEPICTURE "22AB38.TIF" \* MERGEFORMAT
(1)求证：MN⊥CD；
(2)若∠PDA＝45°，求证：MN⊥平面PCD.
证明：(1)如图所示，取PD的中点E，连接AE，NE.
INCLUDEPICTURE "22AB39.TIF" INCLUDEPICTURE "22AB39.TIF" \* MERGEFORMAT
因为N为PC的中点，E为PD的中点，所以NE∥CD，且NE＝CD.因为AM∥CD，且AM＝AB＝CD，所以NE∥AM且NE＝AM，所以四边形AMNE为平行四边形，所以MN∥AE.又PA⊥平面ABCD，CD 平面ABCD，所以PA⊥CD.又因为四边形ABCD为矩形，所以AD⊥CD.又AD∩PA＝A，AD，PA 平面PAD，所以CD⊥平面PAD，
又因为AE 平面PAD，所以CD⊥AE.又AE∥MN，所以MN⊥CD.
(2)由(1)可知CD⊥AE，MN∥AE.因为∠PDA＝45°，所以△PAD为等腰直角三角形，又E为PD的中点，所以AE⊥PD.因为PD∩CD＝D，PD，CD 平面PCD，所以AE⊥平面PCD.又AE∥MN，所以MN⊥平面PCD.
INCLUDEPICTURE "素养拓展.TIF" INCLUDEPICTURE "素养拓展.TIF" \* MERGEFORMAT
15．(2024·日照月考)当动点P在正方体ABCD A1B1C1D1的棱DC上运动时，异面直线D1P与BC1所成的角的取值范围是( )
A． B．
C． D．
解析：选C.设正方体棱长为1，DP＝x，则x∈[0，1]，
连接AD1，AP(图略)，
由AD1∥BC1可知，∠AD1P(或其补角)即为异面直线D1P与BC1所成的角，
在△AD1P中，AD1＝，AP＝D1P＝，
由勾股定理得cos ∠AD1P＝，
又因为x∈[0，1]，
所以cos ∠AD1P＝∈，
又∠AD1P∈(0，π)，
所以∠AD1P∈.
所以异面直线D1P与BC1所成的角的取值范围为.
16．在棱长为1的正方体ABCD A1B1C1D1中，E，F分别为AB，AD的中点，在AA1上是否存在一点G，使得C1G⊥平面A1EF，若存在，求出AG的长；若不存在，请说明理由．
解：存在点G，使得C1G⊥平面A1EF，AG＝.取AA1的中点G，取CC1的中点M，
INCLUDEPICTURE "RSXA39.TIF" INCLUDEPICTURE "RSXA39.TIF" \* MERGEFORMAT
连接AC交EF于点H，连接BD，A1H，A1C1，GM，
则GM∥AC，
因为E，F分别为AB，AD的中点，所以EF∥BD，
因为AC⊥BD，所以EF⊥AC，
因为AA1⊥平面ABCD，EF 平面ABCD，所以AA1⊥EF，
因为AA1∩AC＝A，AA1，AC 平面ACC1A1，
所以EF⊥平面ACC1A1，
又因为A1H，C1G 平面ACC1A1，
所以EF⊥A1H，EF⊥C1G，
因为AH＝AC＝，C1M＝，
GM＝，AA1＝1，
故＝＝，＝＝，
故＝，
又∠A1AH＝∠GMC1＝90°，
所以△A1AH∽△GMC1，
故∠C1GM＝∠HA1A，
故∠HA1A＋∠A1GC1＝∠C1GM＋∠A1GC1＝90°，
所以A1H⊥C1G，
因为EF∩A1H＝H，EF，A1H 平面A1EF，
所以C1G⊥平面A1EF.
故存在点G，使得C1G⊥平面A1EF，此时AG＝.
INCLUDEPICTURE "基础达标.TIF" INCLUDEPICTURE "基础达标.TIF" \* MERGEFORMAT
1．下列条件中，能使直线m⊥平面α的是( )
A．m⊥b，m⊥c，b α，c α
B．m⊥b，b∥α
C．m∩b＝A，b⊥α
D．a，b α，m⊥a，m⊥b，a∩b＝A
解析：选D.由线面垂直的判定定理知D正确．
2．如图，P为△ABC所在平面α外一点，PB⊥α，PC⊥AC，则△ABC的形状为( )
INCLUDEPICTURE "CR2-6.TIF" INCLUDEPICTURE "CR2-6.TIF" \* MERGEFORMAT
A.锐角三角形
B．直角三角形
C．钝角三角形
D．等腰三角形
解析：选B.由PB⊥α，AC α得PB⊥AC，又AC⊥PC，PC∩PB＝P，PC，PB 平面PBC，所以AC⊥平面PBC，又BC 平面PBC，所以AC⊥BC.所以△ABC是直角三角形．故选B.
3．设P是直线l外一定点，过点P且与l成30°角的异面直线( )
A．有无数条 B．有两条
C．至多有两条 D．有一条
解析：选A.过点P且与l成30°角的异面直线有无数条，并且异面直线在以P为顶点的圆锥的侧面上．故选A.
4．(2024·葫芦岛月考)如图所示，在长方体ABCD A1B1C1D1中，AA1＝AB＝2，AD＝1，E，F，G分别是DD1，AB，CC1的中点，则异面直线A1E与GF所成的角的大小为( )
INCLUDEPICTURE "25SX-18.TIF" INCLUDEPICTURE "25SX-18.TIF" \* MERGEFORMAT
A.30° B．45° C．60° D．90°
解析：选D.连接GB1，B1F，EG(图略).因为点E，G分别是DD1，CC1的中点，所以EG綉D1C1，又D1C1綉A1B1，所以EG綉A1B1，所以四边形A1EGB1为平行四边形，则GB1∥A1E，故∠B1GF或其补角为A1E与GF所成的角．因为B1G＝ eq \r(C1B＋C1G2) ＝＝，B1F＝＝＝，GF＝＝＝，所以B1G2＋GF2＝B1F2，所以∠B1GF＝90°.
5．(多选)已知平面α和α外的一条直线l，下列说法不正确的是( )
A．若l垂直于α内的两条平行线，则l⊥α
B．若l⊥α，则l垂直于α内的任一条直线
C．若l垂直于α内的两条相交直线，则l⊥α
D．若l垂直于α内的无数条直线，则l⊥α
解析：选AD.根据线面垂直的判定定理可知，直线需垂直于平面内的两条相交直线，故A不正确，C正确；根据线面垂直的定义可知，B正确；若直线l垂直于α内的无数条平行直线，不可说明l⊥α，故D不正确．故选AD.
6．(多选)如图，在三棱锥P ABC中，PA⊥平面ABC，AB⊥BC，PA＝AB，D为PB的中点，则下列判断正确的是( )
INCLUDEPICTURE "23bA43.TIF" INCLUDEPICTURE "23bA43.TIF" \* MERGEFORMAT
A.BC⊥平面PAB
B．AD⊥PC
C．AD⊥平面PBC
D．PB⊥平面ADC
解析：选ABC.因为PA⊥平面ABC，BC 平面ABC，所以PA⊥BC，又AB⊥BC，AB∩PA＝A，AB，PA 平面PAB，所以BC⊥平面PAB，故A正确；由BC⊥平面PAB，AD 平面PAB，得BC⊥AD，因为PA＝AB，D为PB的中点，所以AD⊥PB，又PB∩BC＝B，PB，BC 平面PBC，从而AD⊥平面PBC，故C正确；因为PC 平面PBC，所以AD⊥PC，故B正确；在平面PBC中，PB⊥BC，所以PB与CD不垂直，所以PB不垂直于平面ADC，故D不正确．
7．若∠AOB＝120°，直线a∥OA，a与OB为异面直线，则a和OB所成的角的大小为____________________________________．
解析：因为直线a∥OA，a与OB为异面直线，所以∠AOB的补角为a与OB所成的角，又∠AOB＝120°，所以a与OB所成的角的大小为180°－120°＝60°.
答案：60°
8．已知平面α，β和直线m，给出条件：①m∥α；②m⊥α；③m α；④α∥β.当满足条件________时，有m⊥β.(选填其中的两个条件)
解析：因为当一条直线垂直于两个平行平面中的一个时，此直线也垂直于另一个平面，结合所给的条件知由②④可推出m⊥β.即②④是m⊥β的充分条件，所以满足条件②④时，有m⊥β.
答案：②④
9.如图，在直三棱柱ABC A1B1C1中，BC＝CC1，当底面A1B1C1满足条件__________时，有AB1⊥BC1.(注：填上你认为正确的一种条件即可，不必考虑所有可能的情况)
INCLUDEPICTURE "23bA52.TIF" INCLUDEPICTURE "23bA52.TIF" \* MERGEFORMAT
解析：
INCLUDEPICTURE "23bA53.TIF" INCLUDEPICTURE "23bA53.TIF" \* MERGEFORMAT
如图所示，连接B1C，由BC＝CC1，可得BC1⊥B1C，因此，要证AB1⊥BC1，则只需证BC1⊥平面AB1C，即证AC⊥BC1，由直三棱柱可知，只要证AC⊥BC即可．因为A1C1∥AC，B1C1∥BC，故只要证A1C1⊥B1C1即可(或者能推出A1C1⊥B1C1的条件，如∠A1C1B1＝90°等).
答案：∠A1C1B1＝90°(答案不唯一)
10．正四棱锥P ABCD的所有棱长均相等，E是PC的中点，求异面直线BE与PA所成的角的余弦值．
INCLUDEPICTURE "QA23.TIF" INCLUDEPICTURE "QA23.TIF" \* MERGEFORMAT
解：连接AC，BD相交于O，连接OE，则O为AC的中点，因为E是PC的中点，所以OE是△PAC的中位线，
INCLUDEPICTURE "QA24.TIF" INCLUDEPICTURE "QA24.TIF" \* MERGEFORMAT
则OE綉PA，则OE与BE所成的角即为异面直线BE与PA所成的角．
设四棱锥的棱长为1，
则OE＝PA＝，OB＝BD＝，BE＝，
则cos ∠OEB＝＝＝.
INCLUDEPICTURE "能力提升.TIF" INCLUDEPICTURE "能力提升.TIF" \* MERGEFORMAT
11．如图，α∩β＝l，点A，C∈α，点B∈β，且BA⊥α，BC⊥β，那么直线l与直线AC的关系是( )
INCLUDEPICTURE "QA25.TIF" INCLUDEPICTURE "QA25.TIF" \* MERGEFORMAT
A.异面 B．平行
C．垂直 D．相交但不垂直
解析：选C.因为AB⊥α，l α，所以AB⊥l.
又因为BC⊥β，l β，所以BC⊥l.
因为AB∩BC＝B，AB，BC 平面ABC，
所以l⊥平面ABC，
又AC 平面ABC，所以l⊥AC.
12．(多选)如图，在以下四个正方体中，直线AB与平面CDE垂直的是( )
INCLUDEPICTURE "QA26a.tif" INCLUDEPICTURE "QA26a.tif" \* MERGEFORMAT
INCLUDEPICTURE "QA26b.tif" INCLUDEPICTURE "QA26b.tif" \* MERGEFORMAT
解析：选BD.对于A，由AB与CE所成角为45°，可得直线AB与平面CDE不垂直；对于B，由AB⊥CE，AB⊥ED，且CE∩ED＝E，CE，ED 平面CDE，可得AB⊥平面CDE；对于C，由AB与CE所成角为60°，可得直线AB与平面CDE不垂直；对于D，连接AC(图略)，由ED⊥平面ABC，AB 平面ABC，可得ED⊥AB，连接AD(图略)，同理可得EC⊥AB，又ED∩EC＝E，ED，EC 平面CDE，所以AB⊥平面CDE.
13．在四棱柱ABCD A1B1C1D1中，侧面都是矩形，底面四边形ABCD是菱形，且AB＝BC＝2，∠ABC＝120°，若异面直线A1B和AD1所成的角是90°，则AA1的长度是________．
INCLUDEPICTURE "25SX-11.TIF" INCLUDEPICTURE "25SX-11.TIF" \* MERGEFORMAT
INCLUDEPICTURE "25SX-12.TIF" INCLUDEPICTURE "25SX-12.TIF" \* MERGEFORMAT
解析：连接CD1，AC，在四棱柱ABCD A1B1C1D1中，
A1D1綉BC，
所以四边形A1BCD1是平行四边形，
所以A1B∥CD1，
所以∠AD1C(或其补角)为A1B和AD1所成的角．
因为异面直线A1B和AD1所成的角为90°，
所以∠AD1C＝90°，
因为四棱柱ABCD A1B1C1D1中，
AB＝BC＝2，∠ABC＝120°，
所以AC＝2sin 60°×2＝6，
所以AD1＝AC＝3，
所以AA1＝ eq \r(AD－A1D) ＝＝.
答案：
14．如图，已知PA⊥平面ABCD，且四边形ABCD为矩形，M，N分别是AB，PC的中点．
INCLUDEPICTURE "22AB38.TIF" INCLUDEPICTURE "22AB38.TIF" \* MERGEFORMAT
(1)求证：MN⊥CD；
(2)若∠PDA＝45°，求证：MN⊥平面PCD.
证明：(1)如图所示，取PD的中点E，连接AE，NE.
INCLUDEPICTURE "22AB39.TIF" INCLUDEPICTURE "22AB39.TIF" \* MERGEFORMAT
因为N为PC的中点，E为PD的中点，所以NE∥CD，且NE＝CD.因为AM∥CD，且AM＝AB＝CD，所以NE∥AM且NE＝AM，所以四边形AMNE为平行四边形，所以MN∥AE.又PA⊥平面ABCD，CD 平面ABCD，所以PA⊥CD.又因为四边形ABCD为矩形，所以AD⊥CD.又AD∩PA＝A，AD，PA 平面PAD，所以CD⊥平面PAD，
又因为AE 平面PAD，所以CD⊥AE.又AE∥MN，所以MN⊥CD.
(2)由(1)可知CD⊥AE，MN∥AE.因为∠PDA＝45°，所以△PAD为等腰直角三角形，又E为PD的中点，所以AE⊥PD.因为PD∩CD＝D，PD，CD 平面PCD，所以AE⊥平面PCD.又AE∥MN，所以MN⊥平面PCD.
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15．(2024·日照月考)当动点P在正方体ABCD A1B1C1D1的棱DC上运动时，异面直线D1P与BC1所成的角的取值范围是( )
A． B．
C． D．
解析：选C.设正方体棱长为1，DP＝x，则x∈[0，1]，
连接AD1，AP(图略)，
由AD1∥BC1可知，∠AD1P(或其补角)即为异面直线D1P与BC1所成的角，
在△AD1P中，AD1＝，AP＝D1P＝，
由勾股定理得cos ∠AD1P＝，
又因为x∈[0，1]，
所以cos ∠AD1P＝∈，
又∠AD1P∈(0，π)，
所以∠AD1P∈.
所以异面直线D1P与BC1所成的角的取值范围为.
16．在棱长为1的正方体ABCD A1B1C1D1中，E，F分别为AB，AD的中点，在AA1上是否存在一点G，使得C1G⊥平面A1EF，若存在，求出AG的长；若不存在，请说明理由．
解：存在点G，使得C1G⊥平面A1EF，AG＝.取AA1的中点G，取CC1的中点M，
INCLUDEPICTURE "RSXA39.TIF" INCLUDEPICTURE "RSXA39.TIF" \* MERGEFORMAT
连接AC交EF于点H，连接BD，A1H，A1C1，GM，
则GM∥AC，
因为E，F分别为AB，AD的中点，所以EF∥BD，
因为AC⊥BD，所以EF⊥AC，
因为AA1⊥平面ABCD，EF 平面ABCD，所以AA1⊥EF，
因为AA1∩AC＝A，AA1，AC 平面ACC1A1，
所以EF⊥平面ACC1A1，
又因为A1H，C1G 平面ACC1A1，
所以EF⊥A1H，EF⊥C1G，
因为AH＝AC＝，C1M＝，
GM＝，AA1＝1，
故＝＝，＝＝，
故＝，
又∠A1AH＝∠GMC1＝90°，
所以△A1AH∽△GMC1，
故∠C1GM＝∠HA1A，
故∠HA1A＋∠A1GC1＝∠C1GM＋∠A1GC1＝90°，
所以A1H⊥C1G，
因为EF∩A1H＝H，EF，A1H 平面A1EF，
所以C1G⊥平面A1EF.
故存在点G，使得C1G⊥平面A1EF，此时AG＝.