11.4.1　第1课时　直线与平面垂直的判定（教师版）

11．4　空间中的垂直关系
11．4.1　直线与平面垂直
第1课时　直线与平面垂直的判定
学习目标??1.理解异面直线所成的角，会求任意两条直线所成的角．　2.理解直线与平面垂直的定义．
3．掌握直线与平面垂直的判定定理，并能初步利用定理解决相关问题．
INCLUDEPICTURE "新知学习探究LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "新知学习探究LLL.TIF" \* MERGEFORMAT
INCLUDEPICTURE "新课导学1LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "新课导学1LLL.TIF" \* MERGEFORMAT
木工要检查一根木棒是否和板面垂直，只需用曲尺在不同的方向(但不是相反的方向)检查两次，如图．如果两次检查时，曲尺的两边都分别与木棒和板面密合，便可以判定木棒与板面垂直．
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思考1　通过观察木棒和板面垂直，思考什么叫直线和平面垂直？
提示：一条直线l和平面α内的任意一条直线都垂直，叫做直线l和平面α垂直．
思考2　用“L”形木尺检查一次能判定木棒与板面垂直吗？
提示：不能．这样检查不能保证木棒与板面内任意一条直线垂直．
一　直线与直线所成角
(1)定义：一般地，如果a，b是空间中的两条异面直线，过空间中任意一点，分别作与a，b____________的直线a′，b′，则a′与b′所成角的大小，称为异面直线a与b所成角的大小．两条直线所成的角也称为这两条直线的夹角．
(2)特别地，空间中两条直线l，m所成角的大小为____________时，称l与m垂直，记作____________．
[答案自填] 平行或重合　90°　l⊥m
INCLUDEPICTURE "例1LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "例1LLL.TIF" \* MERGEFORMAT 　(1)如图，在直三棱柱ABC A1B1C1中，D为A1B1的中点，AB＝BC＝2，BB1＝1，AC＝2，则异面直线BD与AC所成的角的大小为(　　)
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A．30° B．45°
C．60° D．90°
(2)已知O为等腰直角三角形POD的直角顶点，以OP所在直线为旋转轴旋转一周得到如图所示几何体，CD是底面圆O上的弦，△COD为等边三角形，则异面直线OC与PD所成的角的余弦值为(　　)
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A． B．
C． D．
【解析】　(1)如图，取B1C1的中点E，连接BE，DE，
则AC∥A1C1∥DE，
INCLUDEPICTURE "25SX-4.TIF" INCLUDEPICTURE "25SX-4.TIF" \* MERGEFORMAT
则∠BDE(或其补角)即为异面直线BD与AC所成的角．
由条件可知BD＝DE＝EB＝，
所以∠BDE＝60°.
INCLUDEPICTURE "25SX-5.TIF" INCLUDEPICTURE "25SX-5.TIF" \* MERGEFORMAT
(2)设OP＝r，过点D作OC的平行线交圆O于点E，连接PE，OE，
所以∠PDE(或其补角)即为异面直线OC与PD所成的角，
则OE＝OC＝CD＝OD＝DE＝r，PD＝PE＝r，
所以在△PDE中，cos ∠PDE＝＝＝.
【答案】　(1)C　(2)B
INCLUDEPICTURE "解题技法LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "解题技法LLL.TIF" \* MERGEFORMAT
求两异面直线所成角的步骤
(1)作：根据所成角的定义，用平移法作出异面直线所成的角；
(2)证：证明作出的角就是所要求的角；
(3)计算：求角的值，常利用解三角形得出．
[注意]　可用“一作二证三计算”来概括，同时注意异面直线所成角的范围是0°<θ≤90°.
[跟踪训练1] 如图，AB与DC是圆柱的两个底面的直径．E为的中点，若四边形ABCD是正方形，则AE与DB所成的角的大小为(　　)
INCLUDEPICTURE "24XH22.TIF" INCLUDEPICTURE "24XH22.TIF" \* MERGEFORMAT
A. B．
C． D．
解析：
选C.如图，取另一段的中点F，连接BF与DF，则AE∥BF，故∠DBF(或其补角)即是AE与DB所成的角．设圆柱的底面半径R＝1，则BF＝，BD＝2，DF＝，在△DBF中，由余弦定理得
cos ∠DBF＝＝
INCLUDEPICTURE "24XH23.TIF" INCLUDEPICTURE "24XH23.TIF" \* MERGEFORMAT
＝，
因为∠DBF∈(0，]，所以∠DBF＝.故选C.
二　直线和平面垂直的定义
自然语言 图形语言 符号语言
直线l与平面α垂直的充要条件是，直线l与平面α内过它们公共点的________直线都垂直 INCLUDEPICTURE "QA1.tif" INCLUDEPICTURE "QA1.tif" \* MERGEFORMAT l⊥α m α，l⊥m
[答案自填] 所有
【即时练】
1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)若直线l与平面α不垂直，则平面α内一定没有直线与l垂直．(　　)
(2)若直线l垂直于平面α，则l与平面α内的直线可能相交，可能异面，也可能平行．(　　)
(3)如果一条直线与一个平面内的一条直线不垂直，那么这条直线就一定不与这个平面垂直．(　　)
答案：(1)× 　(2)× 　(3)√
2．已知直线l，m和平面α，m α，则“l⊥m”是“l⊥α”的(　　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
解析：选B.若l⊥α，则l⊥m一定成立，即必要性成立．若l⊥m，则l⊥α不一定成立，故充分性不成立．综上所述，“l⊥m”是“l⊥α”的必要不充分条件．故选B.
3．设l，m是两条不同的直线，α是一个平面，则下列命题正确的是(　　)
A．若l⊥m，m⊥α，则l∥α
B．若l⊥α，l∥m，则m⊥α
C．若l∥α，m α，则l∥m
D．若l∥α，m∥α，则l∥m
解析：选B.对于A，l∥α或l α，故A错误；对于B，因为l⊥α，则l垂直α内任意一条直线，又l∥m，则m与平面α内任意一条直线所成的角都是90°，即m⊥α，故B正确；对于C，也有可能是l，m异面，故C错误；对于D，l，m还可能相交或异面，故D错误．
INCLUDEPICTURE "解题技法LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "解题技法LLL.TIF" \* MERGEFORMAT
(1)直线和平面垂直的定义是描述性定义，对直线的任意性要注意理解．实际上，“任意一条”与“所有”表达相同的含义．当直线与平面垂直时，该直线就垂直于这个平面内的任何直线．由此可知，如果一条直线与一个平面内的一条直线不垂直，那么这条直线就一定不与这个平面垂直．
(2)由定义可得线面垂直 线线垂直，即若a⊥α，b α，则a⊥b.
三　直线与平面垂直的判定定理
自然语言 图形语言 符号语言
如果一条直线与一个平面内的两条______直线垂直，则这条直线与这个平面垂直 INCLUDEPICTURE "QA2.tif" INCLUDEPICTURE "QA2.tif" \* MERGEFORMAT 如果m α，n α，m∩n≠ ，l⊥m，l⊥n，则l⊥α　
[答案自填] 相交
INCLUDEPICTURE "例2LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "例2LLL.TIF" \* MERGEFORMAT 　(对接教材例2)如图所示，Rt△ABC所在的平面外有一点S，SA＝SB＝SC，点D为斜边AC的中点．求证：直线SD⊥平面ABC.
INCLUDEPICTURE "25SX-28.TIF" INCLUDEPICTURE "25SX-28.TIF" \* MERGEFORMAT
【证明】　因为SA＝SC，点D为斜边AC的中点，所以SD⊥AC.
如图，连接BD，
INCLUDEPICTURE "25SX-29.TIF" INCLUDEPICTURE "25SX-29.TIF" \* MERGEFORMAT
在Rt△ABC中，AD＝DC＝BD，
所以△ADS≌△BDS，
所以∠ADS＝∠BDS，
所以SD⊥BD.
又AC∩BD＝D，AC，BD 平面ABC，
所以SD⊥平面ABC.
【变式探究】
(综合变式)在本例中，若AB＝BC，其他条件不变，则BD与平面SAC的位置关系是什么？
解：因为AB＝BC，点D为斜边AC的中点，所以BD⊥AC.又由例题解析知SD⊥BD，AC∩SD＝D，AC，SD 平面SAC，故BD⊥平面SAC.
INCLUDEPICTURE "解题技法LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "解题技法LLL.TIF" \* MERGEFORMAT
(1)线线垂直和线面垂直的相互转化
INCLUDEPICTURE "22AB24.TIF" INCLUDEPICTURE "22AB24.TIF" \* MERGEFORMAT
(2)证明线面垂直的方法
①线面垂直的定义．
②线面垂直的判定定理．
③如果两条平行直线中的一条直线垂直于一个平面，那么另一条直线也垂直于这个平面．
④如果一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，那么它也垂直于另一个平面．
[跟踪训练2] 如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，SA⊥平面ABC，AD⊥SC于点D，求证：AD⊥平面SBC.
INCLUDEPICTURE "25SX-30.tif" INCLUDEPICTURE "25SX-30.tif" \* MERGEFORMAT
证明：因为∠ACB＝90°，所以BC⊥AC，
又SA⊥平面ABC，BC 平面ABC，
所以SA⊥BC，
又AC∩SA＝A，SA，AC 平面SAC，
所以BC⊥平面SAC，
因为AD 平面SAC，所以BC⊥AD.
又SC⊥AD，SC∩BC＝C，SC，BC 平面SBC，
所以AD⊥平面SBC.
INCLUDEPICTURE "课堂巩固自测LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "课堂巩固自测LLL.TIF" \* MERGEFORMAT
1．(教材P117练习AT1改编)已知直线a，b，c和平面α，其中a α，b α，则命题“c⊥a，c⊥b”是命题“c⊥α”的(　　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
解析：选B.由线面垂直的判定定理可知，当直线a，b不相交时，c不一定垂直于α，充分性不成立；当c⊥α，且a α，b α，则c⊥a，c⊥b，必要性成立，故命题“c⊥a，c⊥b”是命题“c⊥α”的必要不充分条件．
2．(多选)(教材P118T3改编)若一条直线a与下列平面中的两条直线垂直，则可以保证直线与该平面垂直的是(　　)
A．四边形的两边
B．正六边形的两边
C．圆的两条直径
D．三角形的两边
解析：选CD.对于A，四边形中的两条边可能平行，如平行四边形的对边，此时不能保证线面垂直；对于B，若直线垂直于正六边形的两条平行的边，此时不能保证线面垂直；对于C，圆的两条直径交于圆心，故能保证线面垂直；对于D，三角形的任意两边一定相交，故能保证线面垂直．故选CD.
3．(2024·营口月考)如图，在三棱锥A BCD中，E，F，G分别是AB，BC，AD的中点，∠GEF＝120°，则BD与AC所成的角的大小为________．
INCLUDEPICTURE "25SX-15.TIF" INCLUDEPICTURE "25SX-15.TIF" \* MERGEFORMAT
解析：依题意知，EG∥BD，EF∥AC，所以∠GEF或其补角即为异面直线AC与BD所成的角，又∠GEF＝120°，所以异面直线BD与AC所成的角为60°.
答案：60°
4.如图，在四面体ABCD中，AC＝BD，E，F分别为AD，BC的中点，且EF＝AC，∠BDC＝90°，求证：BD⊥平面ACD.
INCLUDEPICTURE "25sr47.TIF" INCLUDEPICTURE "25sr47.TIF" \* MERGEFORMAT
证明：取CD的中点G，连接EG，FG，如图所示．
INCLUDEPICTURE "25SR48.TIF" INCLUDEPICTURE "25SR48.TIF" \* MERGEFORMAT
因为E，F分别为AD，BC的中点，
所以EG綉AC，FG綉BD.
又因为AC＝BD，
所以FG＝EG＝AC.
在△EFG中，因为EG2＋FG2＝AC2＝EF2，
所以EG⊥FG，
所以BD⊥AC.
因为∠BDC＝90°，所以BD⊥CD.
又因为AC∩CD＝C，AC，CD 平面ACD，
所以BD⊥平面ACD.
INCLUDEPICTURE "课堂小结.TIF" INCLUDEPICTURE "课堂小结.TIF" \* MERGEFORMAT
1．已学习：异面直线所成的角、直线与平面垂直的定义及判定定理．
2．须贯通：直线与平面的判定定理体现了“线线垂直 线面垂直”的转化过程．
3．应注意：“平面内两条相交直线”在判定定理中的关键作用．