11.4.2　第1课时　课后达标检测（教师版）

INCLUDEPICTURE "课后达标检测LLL.TIF"
INCLUDEPICTURE "基础达标.TIF"
1.如图，在长方体ABCD A1B1C1D1中，BB1＝BC，P为C1D1的中点，则二面角B PC1 C的大小为(　　)
INCLUDEPICTURE "25SX-75.TIF"
A．30° B．45° C．60° D．90°
解析：选B.在长方体ABCD A1B1C1D1中，PC1⊥平面BCC1B1，CC1，BC1 平面BCC1B1，所以PC1⊥CC1，PC1⊥BC1，所以∠BC1C即为二面角B PC1 C的平面角．又BB1＝BC，所以CC1＝BC，所以∠BC1C＝45°.
2．已知直线l⊥平面α，则过l与α垂直的平面　(　　)
A.有1个 B．有2个
C.有无数个 D．不存在
解析：选C.由面面垂直的判定定理知，凡过l的平面都垂直于平面α，这样的平面有无数个．
INCLUDEPICTURE "RSXA56.TIF"
3．如图，在三棱锥A BCD中，AD⊥BC，BD⊥AD，且△BCD是锐角三角形，那么必有(　　)
A.平面ABD⊥平面ADC
B.平面ABD⊥平面ABC
C.平面ADC⊥平面BCD
D.平面ABC⊥平面BCD
解析：选C.因为AD⊥BC，BD⊥AD，BC∩BD＝B，BC，BD 平面BCD，所以AD⊥平面BCD，因为AD 平面ADC，所以平面ADC⊥平面BCD，故C正确；由△BCD为锐角三角形知A错误；易知B，D错误．故选C.
4．已知锐二面角α l β，P∈α，点P到β的距离为m，点P到l的距离为2m，则二面角的α l β的大小为(　　)
A.75° B．60°
C.45° D．30°
INCLUDEPICTURE "25SX-76.TIF"
解析：选D.如图所示，过P作PO⊥β，垂足为O，则PO＝m.作PH⊥l，垂足为H，则PH＝2m.连接HO.因为PO⊥β，l β，所以PO⊥l.又PH∩PO＝P，所以l⊥平面OPH，所以OH⊥l，所以二面角α l β的平面角为∠PHO.在Rt△POH中，sin ∠PHO＝＝＝，所以∠PHO＝30°.
5．把正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角，则折叠后的△ABC是(　　)
A.等边三角形 B．直角三角形
C.锐角(非等边)三角形 D．钝角三角形
解析：选A.如图1，设正方形ABCD的边长为1，AC与BD相交于点O，则折成直二面角后如图2，AB＝BC＝1，AC＝＝ ＝1，则△ABC是等边三角形．
INCLUDEPICTURE "22AB71.TIF"
6.(多选)如图，PA垂直于以AB为直径的圆所在的平面，C为圆上异于A，B的任意一点，AE⊥PC，垂足为E，点F是PB上一点，则下列判断正确的是(　　)
INCLUDEPICTURE "25SX-77.TIF"
A.BC⊥平面PAC
B.AE⊥EF
C.AC⊥PB
D.平面AEF⊥平面PBC
解析：选ABD.对于A，由PA垂直于以AB为直径的圆所在的平面，BC 底面圆，得PA⊥BC.又由圆的性质可知AC⊥BC，且PA∩AC＝A，PA，AC 平面PAC，所以BC⊥平面PAC，A正确；对于B，因为AE 平面PAC，所以BC⊥AE，又AE⊥PC，且BC∩PC＝C，BC，PC 平面PBC，所以AE⊥平面PBC.又EF 平面PBC，所以AE⊥EF，B正确；对于C，由B可知AE⊥平面PBC，AE与AC相交，因而AC与平面PBC不垂直，所以AC⊥PB不成立，C错误；对于D，由B可知，AE⊥平面PBC，又AE 平面AEF，所以平面AEF⊥平面PBC，D正确．
7．正六棱柱相邻两个侧面所成的二面角的大小为____________．
解析： 如图，由正六棱柱的几何特征可知BB′⊥AB，BB′⊥CB，AB∩BC＝B，则∠ABC为正六棱柱相邻两个侧面所成的二面角的平面角，所以∠ABC＝.
INCLUDEPICTURE "RSXA57.TIF"
答案：
8．已知在△ABC中，∠BAC＝90°，P为平面ABC外一点，且PA＝PB＝PC，则平面PBC与平面ABC的位置关系是____________．
INCLUDEPICTURE "25sx-78.TIF"
解析：因为PA＝PB＝PC，所以P在△ABC所在平面上的射影必落在△ABC的外心上，又Rt△ABC的外心为BC的中点，设为O，则PO⊥平面ABC，又PO 平面PBC，所以平面PBC⊥平面ABC.
答案：垂直
9.(2024·威海月考)如图所示，在四棱锥P ABCD中，PA⊥底面ABCD，且底面各边都相等，AC∩BD＝O，M是PC上的一动点，当点M满足__________时，平面MBD⊥平面PCD.(只要填写一个你认为正确的条件即可)
INCLUDEPICTURE "25SX-79.TIF"
解析：由题知底面ABCD为菱形，则AC⊥BD.因为PA⊥平面ABCD，BD 平面ABCD，所以PA⊥BD，又PA∩AC＝A，PA，AC 平面PAC，所以BD⊥平面PAC，又PC 平面PAC，所以BD⊥PC.若假设DM⊥PC，又BD∩DM＝D，BD，DM 平面MBD，所以PC⊥平面MBD，又PC 平面PCD，所以平面MBD⊥平面PCD，假设成立．故答案可以为DM⊥PC.(注：其他满足题意的答案均可，如BM⊥PC，OM⊥PC等．)
答案：DM⊥PC(答案不唯一)
10.如图，在四面体ABCD中，△ABC是正三角形，△ACD是直角三角形，∠ABD＝∠CBD，AB＝BD.证明：平面ACD⊥平面ABC.
INCLUDEPICTURE "23bA75.TIF"
证明：由题意得△ABD≌△CBD，从而AD＝CD.
又△ACD为直角三角形，
INCLUDEPICTURE "23bA76.TIF"
所以∠ADC＝90°，
取AC的中点O，
连接DO，BO，
则在Rt△ACD中，
DO⊥AC，DO＝AO，
又△ABC是正三角形，故BO⊥AC，
所以∠DOB为二面角D AC B的平面角．
在Rt△AOB中，BO2＋AO2＝AB2，又AB＝BD，
所以BO2＋DO2＝BO2＋AO2＝AB2＝BD2，
故∠DOB＝90°，
所以平面ACD⊥平面ABC.
INCLUDEPICTURE "能力提升.TIF"
11．(多选)在四棱锥P ABCD中，已知PA⊥底面ABCD，且底面ABCD为矩形，则下列结论中正确的是(　　)
A.平面PAB⊥平面PAD
B.平面PAB⊥平面PBC
C.平面PBC⊥平面PCD
D.平面PCD⊥平面PAD
解析：选ABD.
INCLUDEPICTURE "RSXA62.TIF"
已知PA⊥底面ABCD，可得PA⊥AD，PA⊥CD，又底面ABCD为矩形，所以AD⊥AB，CD⊥AD，而 AB∩PA＝A，AD∩PA＝A，AB，PA 平面PAB，AD，PA 平面PAD，
所以AD⊥平面PAB，CD⊥平面PAD，又AD 平面PAD，CD 平面PCD，
所以平面PAD⊥平面PAB，平面PCD⊥平面PAD，所以A，D正确；
又BC∥AD，所以BC⊥平面PAB，
又BC 平面PBC，所以平面PBC⊥平面PAB，所以B正确；因为平面PCD⊥平面PAD，显然C选项不正确．故选ABD.
12．(2024·德州期末)如图，在三棱锥P ABC中，已知PA⊥平面ABC，PA＝3，PB＝PC＝BC＝6，则二面角P BC A的正弦值为__________．
INCLUDEPICTURE "25SX-80.TIF"
INCLUDEPICTURE "25sx-81.TIF"
解析：如图，取BC的中点D，连接PD，AD.因为PB＝PC，所以PD⊥BC.因为PA⊥平面ABC，所以PA⊥BC，又PD∩PA＝P，PD，PA 平面PAD，所以BC⊥平面PAD，因为AD 平面PAD，所以BC⊥AD，所以∠PDA为二面角P BC A的平面角．因为PB＝PC＝BC＝6，所以PD＝×6＝3，所以在Rt△PAD中，sin ∠PDA＝＝＝，即二面角P BC A的正弦值是.
答案：
13．已知在正四棱锥P ABCD中，底面边长为2，二面角P AB C为45°，则该四棱锥的高的值为____________．
解析：如图所示，取AB的中点E，连接AC，BD交于点O，则底面中心为O，连接PE，OE，PO.因为四棱锥P ABCD为正四棱锥，所以AB⊥PE，在△ABC中，OE∥BC，因为底面ABCD为正方形，所以AB⊥BC，即AB⊥OE，所以∠PEO是二面角P AB C的平面角，即∠PEO＝45°，又在Rt△PEO中，OE＝BC＝1，所以PO＝1，即该四棱锥的高为1.
INCLUDEPICTURE "RSXA63.TIF"
答案：1
14.如图，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊥BC，BC＝CD＝AB＝2，E为AB的中点．以DE为折痕把△ADE折起，使点A到达点P的位置，且PC＝2.
INCLUDEPICTURE "25SX-82.TIF"
(1)求证：PE⊥平面ABCD；
(2)求二面角P DC B的大小．
解：(1)证明：在直角梯形ABCD中，AB∥CD且AB＝2CD，又E为AB的中点，所以DC綉EB，所以四边形DEBC为平行四边形，又AB⊥BC，所以AE⊥DE，即PE⊥DE.
连接EC(图略)，易知EC＝2，PE＝2，
又PC＝2，
所以PE2＋EC2＝PC2，所以PE⊥EC，
又DE∩EC＝E，DE，EC 平面ABCD，
所以PE⊥平面ABCD.
(2)由(1)知PE⊥平面ABCD，
又DC 平面ABCD，
所以PE⊥DC，
又由(1)知DE⊥DC，PE∩DE＝E，PE，
DE 平面PDE，
所以DC⊥平面PDE，又DP 平面PDE，
所以DC⊥PD，
则∠PDE即为二面角P DC B的平面角．
在Rt△PDE中，PE＝DE＝2，所以∠PDE＝，
所以二面角P DC B的大小为.
INCLUDEPICTURE "素养拓展.TIF"
15．(多选)(2024·周口月考)如图，在棱长为1的正方体ABCD A1B1C1D1中，已知E，F是线段B1D1上的两个动点，且EF＝，则(　　)
INCLUDEPICTURE "25sr63.TIF"
A.△BEF的面积为定值
B.EF⊥AC
C.点A到直线EF的距离为定值
D.平面DEB与平面ABC所成的角为60°
解析：选ABC.对于A，因为在△BEF中，高为点B到EF的距离，即BB1的长度，为定值1，底边为EF的长度，为定值，所以△BEF的面积为××1＝，是定值，故A正确；
对于B，因为EF在B1D1上，B1D1∥BD，BD⊥AC，所以B1D1⊥AC，即EF⊥AC，故B正确；
对于C，点A到直线EF的距离等于点A到D1B1的距离，为定值，故C正确；
对于D，在该正方体中，D1D⊥平面ABCD，又D1D 平面D1DBB1，所以平面D1DBB1⊥平面ABCD，即平面DEB⊥平面ABC，故平面DEB与平面ABC所成的角为90°，故D错误．
INCLUDEPICTURE "RSXA65.TIF"
16．如图，在四棱锥P ABCD中，底面ABCD为正方形，PA⊥底面ABCD，PA＝AB，E为线段PB的中点，若F为线段BC上的动点(不含B).
(1)平面AEF与平面PBC是否垂直？若是，请证明；若不是，请说明理由．
(2)线段BC上是否存在点F，使二面角B AE F的平面角的大小为45°？
解：(1)垂直．证明如下：因为PA⊥底面ABCD，BC 平面ABCD，所以PA⊥BC，又因为底面ABCD为正方形，所以BC⊥AB，又PA∩AB＝A，PA，AB 平面PAB，所以BC⊥平面PAB.
因为AE 平面PAB，所以BC⊥AE.
因为PA＝AB，E为线段PB的中点，所以AE⊥PB，
因为PB∩BC＝B，PB，BC 平面PBC，
所以AE⊥平面PBC.
因为AE 平面AEF，所以平面AEF⊥平面PBC.
(2)存在．由(1)可知，AE⊥平面PBC，所以二面角B AE F的平面角为∠BEF.
若∠BEF＝45°，由(1)可知BC⊥平面PAB，又BE 平面PAB，所以BC⊥BE，
则BF＝BE＝AB＝BC故线段BC上存在点F，使二面角B AE F的平面角的大小为45°.