2025-2026学年青岛版八年级数学下册 8.3 第2课时 矩形的判定 课件(共30张PPT)

(共30张PPT)
青岛版八年级数学下册
第8章 平行四边形
8.3 特殊的平行四边形
第2课时 矩形的判定
情 境 导 入
1.矩形的定义是什么？
有一个角是直角的平行四边形叫作矩形.
2.矩形有哪些性质？
矩形的性质定理1：矩形的四个角都是直角.
矩形的性质定理2：矩形的对角线相等.
如何判定一个四边形是矩形呢？
第2课时 矩形的判定
新 课 探 究
我们知道平行四边形的定义也是判定平行四边形的一种方法.同样的，矩形的定义也是判定矩形的一种方法.
问题1 除定义外，还有没有其他的方法能判定四边形是矩形呢？
矩形是特殊的平行四边形.
类似地，那我们研究矩形的性质的逆命题是否成立.
探究1
第2课时 矩形的判定
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新课探究
情境导入
课堂小结
问题2 我们已经研究了矩形的四个角，知道它们都是直角，它的逆命题是什么？是真命题吗？
逆命题：四个角是直角的四边形是矩形.
是真命题
问题3 至少有几个角是直角的四边形是矩形？
A
B
D
C
(有一个角是直角)
A
B
D
C
(有两个角是直角)
A
B
D
C
(有三个角是直角)
猜测：有三个角是直角的四边形是矩形.
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情境导入
课堂小结
已知：如图，在四边形ABCD中，∠A=∠B=∠C=90°.
求证：四边形ABCD是矩形.
证明：∵ ∠A=∠B=∠C=90°,
∴∠A+∠B=180°,∠B+∠C=180°，
∴AD∥BC, AB∥CD.
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵∠A=90°,
∴平行四边形ABCD是矩形.
A
B
C
D
矩形的判定定理1：有三个角是直角的四边形是矩形.
理论验证
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情境导入
课堂小结
矩形的判定定理1：有三个角是直角的四边形是矩形.
A
B
C
D
∵ ∠A=∠B=∠C=90°，
∴四边形ABCD是矩形.
符号语言：
结论
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新课探究
情境导入
课堂小结
分析：
要证明四边形EFGH是矩形，由于已知ABCD的四个内角的平分线分别相交于点E，F，G，H，因此可选用“有三个角是直角的四边形是矩形”来证明．
例 如图， ABCD的四个内角的平分线分别相交于点E，F，G，H.
求证：四边形EFGH是矩形.
典例
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课堂小结
证明：∵AB∥CD，∴∠ABC+∠BCD=180°.
∵BG平分∠ABC，CG平分∠BCD，
∴∠GBC+∠GCB=∠ABC+∠BCD=×180°=90°，
∴∠BGC=90°.
同理可得，∠GFE=∠FEH=90°.
∴四边形EFGH是矩形．
例 如图, ABCD的四个内角的平分线分别相交于点E，F，G，H.求证：四边形EFGH是矩形.
典例
我猜想：对角线相等的平行四边形是矩形.
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课堂小结
思考：你能证明壮壮的这一猜想吗？
不对，等腰梯形的对角线也相等.
不对，矩形是特殊的平行四边形，所以它的对角线相等且平分.
小兰
我们已经知道“矩形的对角线相等”，反过来，小明猜想“对角线相等的四边形是矩形”，你觉得对吗？
探究2
小芳
壮壮
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课堂小结
已知:如图，在 ABCD中，AC=BD.
求证： ABCD是矩形.
证明：∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AD∥BC，AD=BC.
在△ABD和△BAC中，
又∵AD∥BC，∠DAB+∠CBA=180°，∴∠DAB=∠CBA=90°.
证一证
∴ ABCD是矩形.
矩形的判定定理2：对角线相等的平行四边形是矩形.
∴△ABD≌△BAC.∴∠DAB=∠CBA.
新课探究
情境导入
课堂小结
矩形的判定定理2：对角线相等的平行四边形是矩形.
∵ 四边形ABCD是平行四边形，AC=BD（或OA=OC=OB=OD），
∴四边形ABCD是矩形.
符号语言：
A
B
C
D
O
结论
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新课探究
情境导入
课堂小结
例 已知:如图,在矩形ABCD中,E,F,G,H分别为AO,OB,OC,OD的中点.求证：四边形EFGH是矩形.
证明：∵四边形ABCD是矩形,
∴AC=BD,且OA=OC,OB=OD.∴OA=OC=OB=OD.
又∵E,F,G,H分别是OA,OB,OC,OD的中点,
∴OE=OG=OF=OH. ∴四边形EFGH是平行四边形.
又∵EG=OE+OG=OF+OH=HF,
∴四边形EFGH是矩形.
典例
新课探究
情境导入
课堂小结
1.已知：如图，在 ABCD中，AC，BD相交于点O，△AOB是等边三角形，求∠ACB的度数.
解：∵△AOB是等边三角形，∴OA=OB.
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA=OC，OB=OD.∴AC=BD.
A
B
C
D
O
在Rt△ABC中，∵∠BAC=60°，
∴∠ACB=30°.
∴ ABCD是矩形.
课堂检测
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新课探究
情境导入
课堂小结
2.如图,在平行四边形ABCD中,延长AD到点E,使DE=AD,连接B,EC,DB.请你添加一个条件为 　　　 ,使四边形DBCE是矩形.
解析：∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AD∥BC,且AD=BC,
∴DE∥BC.
又∵DE=AD, ∴DE=BC,
∴四边形DBCE为平行四边形.
又∵EB=DC（或∠EDB=90°等）,
∴四边形DBCE是矩形.
故答案为EB=DC（答案不唯一）.
EB=DC（答案不唯一）
课堂检测
新课探究
情境导入
课堂小结
3.如图，在 ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，且OA=OD∠OAD=50°．
求∠OAB的度数．
　
A　
B　
C　
D　
O
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA=OC，OB=OD.
∵OA=OD，∴AC=BD.
∴四边形ABCD是矩形.
∴∠DAB=90°.
∵∠OAD=50°，∴∠OAB=40°.
课堂检测
新课探究
情境导入
课堂小结
A
B
C
D
O
解：四边形ABCD是矩形.
理由如下：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AO=CO，DO=BO.
又∵∠1=∠2，
∴AO=BO，
∴AC=BD，
∴四边形ABCD是矩形.
4.如图, ABCD中, ∠1=∠2.四边形ABCD是矩形吗？为什么？
1
2
课堂检测
5．(2024长春)如图，在四边形ABCD中，∠A=∠B=90°，
O是边AB的中点，∠AOD=∠BOC．求证：四边形ABCD是矩形．
证明：∵O是边AB的中点，∴OA=OB，
在△AOD和△BOC中，，
∴△AOD≌△BOC(ASA)，∴DA=CB，
∵∠A+∠B=180°，∴DA∥CB，
∴四边形ABCD是平行四边形，
又∵∠A=90°，∴四边形ABCD是矩形.
6．(人教8下P67、北师9上P15)如图，你能用一根绳子检查一个平行四边形书架的侧边是否和上、下底都垂直吗 为什么
解：能用一根绳子检查一个平行四边形书架的侧边是否和上、下底都垂直.
理由：用一根绳子比较两对角线的长度，若二者长度相等，则该书架的侧边与上、下底都垂直，因为对角线相等的平行四边形是矩形，矩形的四个角都是直角.
7．(北师9上P28)如图，在 ABCD中，AF，BH，CH，DF分别是∠BAD，∠ABC，∠BCD，∠ADC的平分线．求证：四边形EFGH是矩形．
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，∴∠DAB+∠ABC=180°.
∵AF，BH分别平分∠DAB，∠ABC，
∴∠FAB+∠HBA=(∠DAB+∠ABC)=×180°=90°，∴∠HEF=∠AEB=90°，
同理：∠H=90°，∠EFG=90°，∴四边形EFGH是矩形.
8． (2024泸州)已知四边形ABCD是平行四边形，下列条件中，不能判定 ABCD为矩形的是(　　)
A．∠A=90° B．∠B=∠C
C．AC=BD D．AC⊥BD
小结:掌握矩形的判定方法.
D
9．在四边形ABCD中，对角线AC和BD相交于点O．在下列所给的条件中：①AB∥CD，AD∥BC，AC=BD;②AO=CO，BO=DO，∠ABC=90°;③AB=CD，AD=BC，AC⊥BC;
④OA=OB=OC=OD．能判定四边形ABCD是矩形的条件是
(　　)
A．①②④　 B．①②③
C．②③④　 D．①③④
A
10．如图，在 ABCD中，∠ABC和∠BCD的平分线相交于点E，BF∥CE，CF∥BE．求证：四边形BFCE是矩形．
小结:平行四边形+有一个角是直角 矩形.
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，∴∠ABC+∠DCB=180°，
又∵∠EBC=∠ABC，∠ECB=∠DCB，
∴∠EBC+∠ECB=90°，∴∠E=90°.
又∵BF∥CE，CF∥BE，∴四边形BFCE是矩形.
11．(北师9上P19)(2024襄阳模拟)如图，在△ABC中，AB=BC，BD平分∠ABC．四边形ABED是平行四边形，DE交BC于点F，连接CE．求证：四边形BECD是矩形．
证明：∵AB=BC，BD平分∠ABC，
∴BD⊥AC，AD=CD.
∵四边形ABED是平行四边形，
∴BE∥AD，BE=AD，∴BE∥CD，BE=CD.
∴四边形BECD是平行四边形.
∵BD⊥AC，∴∠BDC=90°，∴四边形BECD是矩形.
★12． (北师9上P16改编)如图，在△ABC中，点D，E分别是边BC，AC的中点，过点A作AF∥BC交DE的延长线于点F，连接AD，CF．
(1)求证：四边形ADCF是平行四边形;
(2)若AB=3，BC=5，当AC=　　　　时，
四边形ADCF是矩形，并说明理由．
0.45
3
(1)证明：∵点D，E分别是边BC，AC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，BD=DC，∴DE∥AB.
∵AF∥BC，∴四边形ABDF是平行四边形，
∴AF=BD，∴AF=DC.
∵AF∥BC，∴四边形ADCF是平行四边形.
(2) 解：∵AB=3，AC=3，∴AB=AC，
由(1)知四边形ABDF是平行四边形，∴AB=DF，
∴AC=DF，∴平行四边形ADCF是矩形.
课 堂 小 结
有一个角是直角的平行四边形是矩形.
对角线相等的平行四边形是矩形 .
（对角线相等且互相平分的四边形是矩形.）
有三个角是直角的四边形是矩形 .
方法1：
方法2：
方法3：
矩形的判定方法
第2课时 矩形的判定
THANK YOU