2025-2026学年青岛版八年级数学下册 8.3 第4课时 正方形性质及判定 课件(共25张PPT)

(共25张PPT)
青岛版八年级数学下册
第8章 平行四边形
8.3 特殊的平行四边形
第4课时 正方形的性质及判定
情 境 导 入
观察图片，你能发现它们含有哪些特殊的图形吗？
第4课时 正方形的性质及判定
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用一张长方形的纸片(如图所示)折出一个正方形．
问题：什么样的四边形是正方形？
正方形的定义：有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形叫作正方形．
新 课 探 究
第4课时 正方形的性质及判定
探究1
正方形的定义
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情境导入
课堂小结
1. 图中CD在平移时，这个图形始终是怎样的图形？
2. 当CD移动到C D 的位置，此时AD ＝AB，四边形ABCD还是矩形吗？
A
B
C
D
★ 正方形是特殊的矩形.
C′
D′
A
B
C′
D′
矩形
正方形
一组邻边相等
思考
菱形
正方形
有一个角是直角
★ 正方形是特殊的菱形
有一个角是直角的菱形是正方形.
做一做：
新课探究
情境导入
课堂小结
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新课探究
情境导入
课堂小结
议一议，想一想:
1.正方形是矩形吗 是菱形吗
2.你认为正方形有哪些性质 与同伴交流.
探究2 正方形的性质
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课堂小结
正方形既是矩形，又是菱形，它具有平行四边形、矩形和菱形的一切性质.
正方形的性质1:正方形的四个角都是直角，四条边都相等.
正方形的性质2:正方形的对角线相等且互相垂直平分.
正方形的对称性：
正方形是轴对称图形，有4条对称轴.
①两条对角线所在直线，
②过每一组对边中点的直线.
A
B
C
D
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课堂小结
例 如图，正方形ABCD中，P为BD上一点，PM⊥BC于MPN⊥DC于N.
求证：AP＝MN.
A
B
C
D
P
M
N
证明:如图，连接PC.
∵PM⊥BC ， PN⊥DC，四边形ABCD是正方形，
∴∠NCM＝90°.
∴四边形PMCN是矩形.
∴PC＝MN.
又∵四边形BAPC关于BD成轴对称，
∴AP＝PC，
∴AP＝MN.
典例
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课堂小结
正方形
菱形
一内角是直角
2.菱形法：
矩形
一组邻边相等
正方形
3.矩形法：
平行四边形
正方形
一组邻边相等
一内角是直角
1.定义法：
探究3 正方形的判定
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情境导入
课堂小结
具备什么条件的平行四边形是正方形？
1.先说明它是矩形，再说明这个矩形有一组邻边相等．
2.先说明它是菱形，再说明这个菱形有一个角是直角．
判定一个四边形是正方形，只要判定这个四边形既是矩形又是菱形即可.
正方形的判定方法1：有一组邻边相等的矩形是正方形.
正方形的判定方法2：有一个角是直角的菱形是正方形.
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课堂小结
四边形、平行四边形、矩形、菱形、正方形间的转化关系如图：
四边形
平行四边形
菱形
正方形
矩形
两条对角线互相平分
两组对角分别相等
一组对边平行且相等
有一个角是直角
对角线相等
四个角都是直角
一组邻边相等
对角线互相垂直
对角线相等
有一个角是直角
两组对边分别相等
两组对边分别平行
四条边都相等
一组邻边相等
对角线互相垂直
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新课探究
情境导入
课堂小结
求证: 对角线相等的菱形是正方形.
分析：要证明四边形ABCD是正方形，可转化为证明有一组邻边相等的矩形(或有一个角是直角的菱形)即可.
已知: 四边形ABCD是菱形，且对角线 AC＝BD.
求证: 四边形ABCD是正方形.
A
B
C
D
O
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新课探究
情境导入
课堂小结
∴AB＝BC，四边形ABCD是平行四边形.
∵AC＝BD，
∴四边形ABCD是矩形.
∵AB＝BC，
证明:四边形ABCD是菱形，
∴四边形ABCD是正方形.
已知: 四边形ABCD是菱形，且对角线 AC＝BD.
求证: 四边形ABCD是正方形.
正方形的判定方法3：对角线相等的菱形是正方形.
A
B
C
D
O
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课堂小结
求证: 对角线互相垂直的矩形是正方形.
分析：要证明四边形ABCD是正方形，将其转化为证明有一角是直角的菱形(或有一组邻边相等的矩形或对角线相等的菱形)即可.
已知: 四边形ABCD是矩形，且AC⊥BD.
求证: 四边形ABCD是正方形.
A
B
C
D
O
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情境导入
课堂小结
∴∠ABC＝90°，四边形ABCD是平行四边形.
∵AC⊥BD，
∴四边形ABCD是菱形.
∵∠ABC＝90°，
证明:∵四边形ABCD是矩形，
∴四边形ABCD是正方形.
已知: 四边形ABCD是矩形，且 AC⊥BD.
求证: 四边形ABCD是正方形.
正方形的判定方法4：对角线互相垂直的矩形是正方形.
A
B
C
D
O
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新课探究
情境导入
课堂小结
挑战自我
如图，P是正方形ABCD内的一点，△PBC为等边三角形，连接PA,PD.探索△PAD的形状，并求△PAD各角的大小.
解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=AB，∠DAB=∠CBA=90°.
∵△PBC是等边三角形，
∴∠PBC=∠PCB=60°，PB=PC=BC.
∴∠ABP=∠DCP=30°.
∵AB=BP=PC=CD，
∴∠BAP=∠DCP=75°．
∴∠PAD=∠PDA=15°,∠APD=150°.
新课探究
情境导入
课堂小结
1. ABCD是正方形须加的条件是（ ）
A.对角线互相垂直且相等 B.对角线相等
C.一组邻边相等 D.对角互补
2.矩形、菱形、正方形都有的性质是（ ）
A.对角线相等 B.对角线互相平分
C.对角线互相垂直 D.对角线平分一组对角
A
B
课堂检测
新课探究
情境导入
课堂小结
3.在平行四边形、菱形、矩形、正方形中，能找到一点，使该点到各边距离相等的四边形是（ ）
A.平行四边形、菱形、 B.菱形、矩形
C.矩形、正方形 D.菱形、正方形
D
课堂检测
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课堂小结
4.如图，四边形ABCD是正方形，延长BC到点E，使CE＝AC，连接AE，交CD于点F. 求∠AFC的度数.
解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AC平分∠BCD，∠BCD＝∠DCE＝90°.
∴∠ACB＝45°.
∵CE＝AC，∠CAE＋∠E＝∠ACB，
∴∠E＝22.5°，
∴∠AFC＝∠DCE＋∠E＝90°＋22.5°＝112.5°.
A
B
D
C
E
F
课堂检测
A
B
C
D
E
F
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新课探究
情境导入
课堂小结
5.在Rt△ABC中，CD平分∠ACB交AB于点D，DE⊥AC，DF⊥BC.
求证：四边形CEDF是正方形.
∴四边形CEDF是正方形（有一组邻边相等的矩形是正方形）.
∴∠FCD＝∠ECD＝45°.∴∠FDC＝45°.
∵CD平分∠ACB，
∴四边形CEDF为矩形.
又∵∠ACB＝90°，
∴∠DEC＝90°，∠DFC＝90°.
证明：∵DE⊥AC，DF⊥BC，
∴CF＝FD.
课堂检测
课 堂 小 结
1. 正方形的性质：
正方形的性质
性质
定义
有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形叫作正方形.
1.四个角都是直角.
2.四条边都相等.
3.对角线相等且互相垂直平分.
第4课时 正方形的性质及判定
2.正方形的判定方法：
(1)从四边形出发：
①有四条边相等，四个角都是直角的四边形是正方形.
②对角线互相平分、垂直且相等的四边形是正方形.
(2)从平行四边形出发：
①有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形是正方形.
②对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形.
情境导入
课堂小结
新课探究
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(3)从矩形出发：
①有一组邻边相等的矩形是正方形.
②对角线互相垂直的矩形是正方形.
(4)从菱形出发：
①有一个角是直角的菱形是正方形.
②对角线相等的菱形是正方形．
2.正方形的判定方法：
情境导入
课堂小结
新课探究
THANK YOU