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第二十七章 相似 单元综合复习提升卷
（时间：100分钟 满分：120分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．能判定 与 相似的条件是（ ）
A． B． ，且
C． 且 D． ，且
2．“今有井径五尺，不知其深，立五尺木于井上，从木末望水岸，入径四寸，问井深几何？”这是我们古代数学著作九章算术中的“井深几何”问题，其题意可以出示意图表示设井深为尺，所列方程正确的是（ ）
A． B． C． D．
3．如图，在中，，于点，，，则的长为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
4．如图，线段，在线段AB上找一点C，C把分为和两段，其中，若，则点C就叫做线段的黄金分割点，其中（或）的值叫做黄金分割数．则黄金分割数是（ ）
A． B． C． D．
5．如图，已知点D是AB边的中点，AF∥BC，CG：GA=3：1，BC=8，则AF等于（ ）
A．2 B．4 C．16 D．8
6．如图，在 ABCD中，AB=4，AD=3，过点A作AE⊥BC于E，且AE=3，连结DE，若F为线段DE上一点，满足∠AFE=∠B，则AF=（ ）
A．2 B． C．6 D．2
7．如图，点 ， 都在反比例函数 的图象上， 的延长线交 轴于点 .已知 ， 的面积为6，则 的值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
8．如图，△ABC，△FGH中，D，E两点分别在AB，AC上，F点在DE上，G、H两点在BC上，且DE∥BC，FG∥AB，FH∥AC，若BG：GH：HC=4：6：5，则△ADE与△FGH的面积比为何？（ ）
A．2：1 B．3：2 C．5：2 D．9：4
9．如图，正方形ABCD中，点E，F分别在边CD，BC上，且∠EAF=45°，BD分别交AE，AF于点M，N，以点A为圆心，AB长为半径画弧BD．下列结论：①DE+BF=EF；②BN2+DM2=MN2；③△AMN∽△AFE；④ 与EF相切；⑤EF∥MN．其中正确结论的个数是（ ）
A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
10．如图，正方形 的边长为4，延长 至 使 ，以 为边在上方作正方形 ，延长 交 于 ，连接 、 ， 为 的中点，连接 分别与 、 交于点 、 .则下列结论：① ；② ；③ ；④ .其中符合题意的结论有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．如图，在正方形ABCD内有一折线段，其中AE丄EF，EF丄FC，并且AE=6，EF=8，FC=10，则正方形与其外接圆之间形成的阴影部分的面积为 ．
12．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，点D在边AB上，线段DC绕点D逆时针旋转，端点C恰巧落在边AC上的点E处．如果=m，=n．那么m与n满足的关系式是：m= （用含n的代数式表示m）．
13．如图，在 中， ，垂足为 ， ， ，四边形 和四边形 均为正方形，且点 、 、 、 、 、 都在 的边上，那么 与四边形 的面积比为 ．
14．如图，在中，点F、G在上，点E、H分别在、上，四边形是矩形，是的高．，那么的长为 ．
15．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD是BC边上的高，点B关于AD的对称点为B'，点A关于BC的对称点为A'，连接A'B'并延长，交AC于点E，若AB＝3，AC＝4，则线段CE的长为 .
16．如图，把某矩形纸片ABCD沿EF，GH折叠（点E，H在AD边上，点F，G在BC边上），使点B和点C落在AD边上同一点P处，A点的对称点为A′点，D点的对称点为D′点，若∠FPG=90°，△A′EP的面积为4，△D′PH的面积为1，则矩形ABCD的面积等于 ．
三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21题每题8分，22、23每题9分，24、25每题10分，共计72分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．如图，在四边形ABCD中，E是对角线BD上的一点，EF//AB，EM//CD，求 的值.
18．如图，小强和小华共同站在路灯下，小强的身高EF=1.8m，小华的身高MN=1.5m，他们的影子恰巧等于自己的身高，即BF=1.8m，CN=1.5m，且两人相距4.7m，求路灯AD的高度是多少？
19．如图，中，，，是直径，且平分，交于点，是的切线．
（1）求的长；
（2）求直径和的值．
20．如图所示，在△ABC中，点D在边AB上，且BD=DC=AC，已知∠ACE=108°，BC=2．
（1）求∠B的度数．
（2）我们把有一个内角等于36°的等腰三角形称为黄金三角形．它的腰长与底边长的比(或者底边长与腰长的比)等于黄金比
①写出图中所有的黄金三角形，选一个说明理由；
②求AD的长．
21．已知x：y＝2：3，求：
（1）的值；
（2）若x+y＝15，求x，y的值．
22．如图F为平行四边形ABCD的边AD延长线上一点，BF分别交CD，AC于G，E.
（1）求证：；
（2）若EF=12，GE=4，求BE的长.
23．已知：如图，在△ABC中，AB=AC，点E在边BC上移动(点E不与点B，C重合)，点D，F分别在边AB，AC上，且满足∠DEF=∠B．
（1）求证：△BDE∽△CEF．
（2）当点E移动到BC的中点时，求证：FE平分∠DFC．
24．如图，在菱形ABCD中，P是它对角线上面的一个点，连接CP后并延长，交CD于点E，交BA的延长线于点F．
（1）求证：∠DCP＝∠DAP；
（2）如果PE＝4，EF＝7，求线段PC的长．
25．如图，已知抛物线y＝-x2+bx+c与x轴交于A、B两点（点A在点B左边），与y轴交于点C，⊙M是△ABC的外接圆．若抛物线的顶点D的坐标为（1，4）．
（1）求抛物线的解析式，及A、B、C三点的坐标；
（2）求⊙M的半径和圆心M的坐标；
（3）如图2，在x轴上有点P（7，0），试在直线BC上找点Q，使B、Q、P三点构成的三角形与△ABC相似．若存在，请直接写出点坐标；若不存在，请说明理由．
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第二十七章 相似 单元综合复习提升卷
（时间：100分钟 满分：120分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．能判定 与 相似的条件是（ ）
A． B． ，且
C． 且 D． ，且
【答案】C
【解析】【解答】解：A、 ，
B、 ，且 ，
D、 ，且 ，
均不能判断 与 相似，故错误；
C、 且 ，能判定 与 相似，本选项正确.
故答案为：C.
【分析】相似三角形的判定方法：有两对角分别相等的两个三角形相似；两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似，据此即可判断得出答案.
2．“今有井径五尺，不知其深，立五尺木于井上，从木末望水岸，入径四寸，问井深几何？”这是我们古代数学著作九章算术中的“井深几何”问题，其题意可以出示意图表示设井深为尺，所列方程正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】【解答】设井深为尺，
根据题意可得，△EDF∽△ECB，
∴，
∴，
故答案为：B.
【分析】根据图象可得△EDF∽△ECB，再利用相似三角形的性质可得，再将数据代入可得.
3．如图，在中，，于点，，，则的长为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】D
【解析】【解答】解：
在中，，，
由勾股定理得：，
，
，
，
，
，
即，
解得.
故答案为：D．
【分析】先利用勾股定理求出，由同角的余角相等得∠ACD=∠BAD，再根据有两组角对应相等的两个三角形相似证明，利用相似三角形对应边成比例，即可求出的长．
4．如图，线段，在线段AB上找一点C，C把分为和两段，其中，若，则点C就叫做线段的黄金分割点，其中（或）的值叫做黄金分割数．则黄金分割数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】【解答】设，则，
∵，
∴，
整理，得：，
解得：，
经检验，是原分式方程的解．
∵，
∴，
∴，
∴．
故答案为：B．
【分析】设，则，代入中建立关于x方程并解之，即可求出BC的长，从而求出黄金分割数.
5．如图，已知点D是AB边的中点，AF∥BC，CG：GA=3：1，BC=8，则AF等于（ ）
A．2 B．4 C．16 D．8
【答案】B
【解析】【解答】解：
∵AF∥BC，
∴△AFD∽△BED，
∴AF：BE=AD：BD，
∵D为AB中点，
∴AF：BE=1，即AF=BE，
∵AF∥BC，
∴△AFG∽△CEG，
∴CE：AF=CG：GA=3：1，
∴CE=3AF，
∴BC=2AF=8，
∴AF=4，
故选B．
【分析】由△AFD∽△BED可求得AF=BE，由△AFG∽△CEG可求得CE：AF=3：1，可知BC=2AF，可求得答案．
6．如图，在 ABCD中，AB=4，AD=3，过点A作AE⊥BC于E，且AE=3，连结DE，若F为线段DE上一点，满足∠AFE=∠B，则AF=（ ）
A．2 B． C．6 D．2
【答案】D
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∵AE⊥BC，
∴AE⊥AD，即△AED是直角三角形，
∵Rt△AED中，AE=3，AD=3，
∴DE= ，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AB∥CD，
∴∠ADF=∠CED，∠B+∠C=180°；
∵∠AFE+∠AFD=180°，∠AFE=∠B，
∴∠AFD=∠C，
∴△ADF∽△DEC，
∴．
故选D．
【分析】先根据AD∥BC，AE⊥BC得出△AED是直角三角形，根据勾股定理求出DE的长，再根据相似三角形的判定定理得出△ADF∽△DEC，由相似三角形的对应边成比例即可得出结论．
7．如图，点 ， 都在反比例函数 的图象上， 的延长线交 轴于点 .已知 ， 的面积为6，则 的值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】C
【解析】【解答】解：过点A作AD⊥x轴于点D，过点B作BE⊥x轴于点E，如图所示：
∴ 轴，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ， ，
设点 ，即 ，
∴ ，
∴ ，即点A的纵坐标为2b，
∴代入反比例函数解析式得： ，解得： ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ 的面积为6，
∴根据反比例函数k的几何意义可得 ，
∴ ；
故答案为：C.
【分析】过点A作AD⊥x轴于点D，过点B作BE⊥x轴于点E，证明，利用相似三角形的性质可得 ， ，设点 ，可得，从而求出，即得点A的纵坐标为2b，将其代入反比例函数解析式中可求出点A的横坐标，从而得出OD=DE=EC，继而求出 =2，根据反比例函数k的几何意义即得结论.
8．如图，△ABC，△FGH中，D，E两点分别在AB，AC上，F点在DE上，G、H两点在BC上，且DE∥BC，FG∥AB，FH∥AC，若BG：GH：HC=4：6：5，则△ADE与△FGH的面积比为何？（ ）
A．2：1 B．3：2 C．5：2 D．9：4
【答案】D
【解析】【解答】解：∵BG：GH：HC=4：6：5，可以假设BG=4k，GH=6k，HC=5k，
∵DE∥BC，FG∥AB，FH∥AC，
∴四边形BGFD是平行四边形，四边形EFHC是平行四边形，
∴DF=BG=4k，EF=HC=5k，DE=DF+EF=9k，∠FGH=∠B=∠ADE，∠FHG=∠C=∠AED，
∴△ADE∽△FGH，
∴ ．
故答案为：D．
【分析】根据已知条件FG∥AB，FH∥AC可易证得△ADE∽△FGH，所以根据相似三角形的性质可得，由已知条件BG：GH：HC=4：6：5用待定系数法可将BG、GH、HC用含k的代数式表示，则DE和GH也可用含k的代数式表示，然后代入所得比例式即可求解。
9．如图，正方形ABCD中，点E，F分别在边CD，BC上，且∠EAF=45°，BD分别交AE，AF于点M，N，以点A为圆心，AB长为半径画弧BD．下列结论：①DE+BF=EF；②BN2+DM2=MN2；③△AMN∽△AFE；④ 与EF相切；⑤EF∥MN．其中正确结论的个数是（ ）
A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
【答案】B
【解析】【解答】延长CB到G，使BG=DE，连接AG．
在△ABG和△ADE中， ，
∴△ABG≌△ADE，
∴AG=AE，∠DAE=∠BAG，
又∵∠EAF=45°，∠DAB=90°，
∴∠DAE+∠BAF=45°
∴∠GAF=∠EAF=45°．
在△AFG和△AFE中，
，
∴△AFG≌△AFE，
∴GF=EF=BG+BF，
又∵DE=BG，
∴EF=DE+BF；故①正确；
在AG上截取AH=AM．
在△AHB和△AMD中， ，
∴△AHB≌△AMD，
∴BH=DM，∠ABH=∠ADB=45°，
又∵∠ABD=45°，
∴∠HBN=90°．
∴BH2+BN2=HN2．
在△AHN和△AMN中，
，
∴△AHN≌△AMN，
∴MN=HN．
∴BN2+DM2=MN2；故②正确；
∵AB∥CD，
∴∠DEA=∠BAM．
∵∠AEF=∠AED，∠BAM=180°﹣∠ABM﹣∠AMN=180°﹣∠MAN﹣∠AMN=∠AND，
∴∠AEF=∠ANM，
又∠MAN=∠FAE，
∴△AMN∽△AFE，故③正确；
过A作AP⊥EF于P，
∵∠AED=∠AEP，AD⊥DE，
∴AP=AD，
∴ 与EF相切；故④正确；
∵∠ANM=∠AEF，而∠ANM不一定等于∠AMN，
∴∠AMN不一定等于∠AEF，
∴MN不一定平行于EF，故⑤错误，
故答案为：B．
【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，切线的判定，勾股定理，作出辅助线延长CB到G，使BG=DE，连接AG．根据全等三角形的性质得到AG=AE，∠DAE=∠BAG，求得∠GAF=∠EAF=45°．证得△AFG≌△AFE，根据全等三角形的性质即可得到EF=DE+BF；故①正确；在AG上截取AH=AM．根据全等三角形的性质得到BH=DM，∠ABH=∠ADB=45°，证得∠HBN=90°．根据勾股定理得到BH2+BN2=HN2．根据全等三角形的性质得到MN=HN．等量代换得到BN2+DM2=MN2；故②正确；根据平行线的性质得到∠DEA=∠BAM．推出∠AEF=∠ANM，又∠MAN=∠FAE，于是得到△AMN∽△AFE，故③正确；过A作AP⊥EF于P，根据角平分线的性质得到AP=AD，于是得到
与EF相切；故④正确；由∠ANM=∠AEF，而∠ANM不一定等于∠AMN，于是得到MN不一定平行于EF，故⑤错误，即得到所求结论.
10．如图，正方形 的边长为4，延长 至 使 ，以 为边在上方作正方形 ，延长 交 于 ，连接 、 ， 为 的中点，连接 分别与 、 交于点 、 .则下列结论：① ；② ；③ ；④ .其中符合题意的结论有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【解析】【解答】∵四边形ABCD、BEFG是正方形，
∴∠BAD=∠C=∠E=∠EFB=∠BGF=90°，AD//BC，
∴四边形CEFM是矩形，∠AGF=180°-∠BGF=90°
∴FM=EC，CM=EF=2，FM//EC，
∴AD//FM，DM=2，
∵H为AD中点，AD=4，
∴AH=2，
∵FG=2，
∴AH=FG，
∵∠NAH=∠NGF，∠ANH=∠GNF，
∴△ANH≌△GNF(AAS)，故①符合题意；
∴∠NFG=∠AHN，NH=FN，AN=NG，
∵AF>FG，
∴AF≠AH，
∴∠AFN≠∠AHN，即∠AFN≠∠HFG，故②不符合题意；
∵EC=BC+BE=4+2=6，
∴FM=6，
∵AD//FM，
∴△AHK∽△MFK，
∴ ，
∴FK=3HK，
∵FH=FK+KH，FN=NH，FN+NH=FH，
∴FN=2NK，故③符合题意；
∵AN=NG，AG=AB-BG=4-2=2，
∴AN=1，
∴S△ANF= ，S△AMD= ，
∴S△ANF：S△AMD=1：4，故④符合题意，
故答案为： C.
【分析】根据全等三角形的判定定理（AAS）和相似三角形的性质以及三角形的面积表示方法，可进行判断。
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．如图，在正方形ABCD内有一折线段，其中AE丄EF，EF丄FC，并且AE=6，EF=8，FC=10，则正方形与其外接圆之间形成的阴影部分的面积为 ．
【答案】80π﹣160
【解析】【解答】解：连接AC，
∵AE丄EF，EF丄FC，
∴∠E=∠F=90°，
∵∠AME=∠CMF，
∴△AEM∽△CFM，
∴ ，
∵AE=6，EF=8，FC=10，
∴ ，
∴EM=3，FM=5，
在Rt△AEM中，AM= =3 ，
在Rt△FCM中，CM= =5 ，
∴AC=8 ，
在Rt△ABC中，AB=AC sin45°=8 =4 ，
∴S正方形ABCD=AB2=160，
圆的面积为：π （ ）2=80π，
∴正方形与其外接圆之间形成的阴影部分的面积为80π﹣160．
故答案为：80π﹣160．
【分析】首先连接AC，然后依据有两组角对应相等的三角形相似可证明△AEM∽△CFM，接下来，依据相似三角形的对应边成比例可求得EM与FM的长，然后，再由勾股定理求得AM与CM的长，最后，依据阴影部分的面积=圆的面积-正方形的面积求解即可.
12．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，点D在边AB上，线段DC绕点D逆时针旋转，端点C恰巧落在边AC上的点E处．如果=m，=n．那么m与n满足的关系式是：m= （用含n的代数式表示m）．
【答案】2n+1
【解析】【解答】解：作DH⊥AC于H，如图，
∵线段DC绕点D逆时针旋转，端点C恰巧落在边AC上的点E处，
∴DE=DC，
∴EH=CH，
∵=n，即AE=nEC，
∴AE=2nEH=2nCH，
∵∠C=90°，
∴DH∥BC，
∴= ，即m= =2n+1．
故答案为：2n+1．
【分析】作DH⊥AC于H，如图，根据旋转的性质得DE=DC，则利用等腰三角形的性质得EH=CH，由=n可得AE=2nEH=2nCH，再根据平行线分线段成比例，由DH∥BC得到= ，所以m= ，然后用等线段代换后约分即可．
13．如图，在 中， ，垂足为 ， ， ，四边形 和四边形 均为正方形，且点 、 、 、 、 、 都在 的边上，那么 与四边形 的面积比为 ．
【答案】1∶3
【解析】【解答】解：∵四边形 和四边形 均为正方形，
∴设四边形 和四边形 的边长为x，
则EM＝2x，EF＝x，EF⊥BC，EM∥BC，
∵AD⊥BC，
∴PD＝EF＝x，
∵AD＝5，
∴AP＝AD－PD＝5－x，
∵EM BC，
∴ AEM∽ ABC，
∴ ，
∴ ，
解得：x＝2.5，
∴AP＝2.5，EM＝5，
∴S△AEM＝ ＝ ，
又∵S△ABC＝ ＝25，
∴S四边形BCME＝S△ABC－S△AEM
＝25－
＝ ，
∴S△AEM∶S四边形BCME＝ ∶ ＝1∶3，
故答案为：1∶3．
【分析】通过证明 AEM∽ ABC，得出 ，可求出EF的长，由相似三角形的性质得出S△AEM＝ ＝ ，S△ABC＝ ＝25，即可求解。
14．如图，在中，点F、G在上，点E、H分别在、上，四边形是矩形，是的高．，那么的长为 ．
【答案】
【解析】【解答】∵四边形EFGH是矩形，
∴，
∴，
∵AM和AD分别是△AEH和△ABC的高，
∴，
∴，
∵，
代入可得：，
解得，
∴，
故答案为：．
【分析】先证明可得，再将数据代入可得，求出，即可得到。
15．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD是BC边上的高，点B关于AD的对称点为B'，点A关于BC的对称点为A'，连接A'B'并延长，交AC于点E，若AB＝3，AC＝4，则线段CE的长为 .
【答案】
【解析】【解答】解：∵点B关于AD的对称点为B'，点A关于BC的对称点为A'，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
在 和 中，
∠C＝∠C，
，
∴ ，
∴ ，
在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝3，AC＝4，
∴BC＝5，
∴AD＝ ＝ ，
BD＝ ＝ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
解得CE＝ .
故线段CE的长为 .
故答案为： .
【分析】利用轴对称的性质可证得AD=A＇D，BD=B＇D，利用SAS证明△ABD≌△A＇B＇D，利用全等三角形的性质可证得∠B=∠A＇B＇D，利用平行线的性质可得到∠BAC=∠A＇EC；再证明△ABC∽△EB＇C，利用相似三角形的对应边成比例，利用三角形的面积公式可求出AD的长；利用勾股定理求出BD，B＇D的长，从而可求出B＇C的长；然后求出CE的长.
16．如图，把某矩形纸片ABCD沿EF，GH折叠（点E，H在AD边上，点F，G在BC边上），使点B和点C落在AD边上同一点P处，A点的对称点为A′点，D点的对称点为D′点，若∠FPG=90°，△A′EP的面积为4，△D′PH的面积为1，则矩形ABCD的面积等于 ．
【答案】
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB=CD，
由折叠可知 ：PA'=AB，PD'=CD，
∴PD＇=PA＇，
∵∠FPG=90 ，∠EPF=∠D'PH，∠GPH=∠A'PE，
∴∠A＇PE+∠D'PH=∠EPF+∠GPH=90 ，
∵∠A＇EP+A'PE=90 ，
∴∠A＇EP=∠D'PH，
∴ A＇EP∽ D'PH，
∵△A′EP的面积为4，△D′PH的面积为1，
∴，
设D＇H=k，则A＇P=PD＇=2k，A＇E=4k，
∵S D＇PH=PD＇·D＇H=·k·2k=1，
∴k=1，
∴PH=，
PE=，
∴AD=AE+EP+PH+HP=4+2++1=5+3，
∵AB=2k=2，
∴S矩形ABCD=AB·AD=2（5+3）=10+6.
故答案为：10+6.
【分析】先证出 A＇EP∽ D'PH，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，得出，设D＇H=k，则A＇P=PD＇=2k，A＇E=4k，再根据S D'PH=1，求出k的值，从而求出PH，PE，AD，AB的长，即可求出矩形ABCD的面积.
三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21题每题8分，22、23每题9分，24、25每题10分，共计72分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．如图，在四边形ABCD中，E是对角线BD上的一点，EF//AB，EM//CD，求 的值.
【答案】解：∵EF//AB，EM//CD，
∴ ， ，
∴ .
【解析】【分析】由平行线分线段成比例的性质可得，，然后将两式相加即可.
18．如图，小强和小华共同站在路灯下，小强的身高EF=1.8m，小华的身高MN=1.5m，他们的影子恰巧等于自己的身高，即BF=1.8m，CN=1.5m，且两人相距4.7m，求路灯AD的高度是多少？
【答案】解：设路灯的高度为x(m)，∵EF∥AD，∴△BEF∽△BAD，∴ ，即 ，解得：DF=x﹣1.8，∵MN∥AD，∴△CMN∽△CAD，∴ ，即 ，解得：DN=x﹣1.5，∵两人相距4.7m，∴FD+ND=4.7，∴x﹣1.8+x﹣1.5=4.7，解得：x=4m，答：路灯AD的高度是4m
【解析】【分析】根据平行于三角形一边的直线和其他两边(或两边的延长线)相交，所构成的三角形与原三角形相似可得△BEF∽△BAD，△CMN∽△CAD，由相似三角形的性质可得比例式，，由第一个比例式可将DF用含路灯的高的长表示出来，由第二个比例式可将DN用含路灯的高的长表示出来，再根据FD+ND=4.7可得关于路灯的高的长的方程，解方程即可求解。
19．如图，中，，，是直径，且平分，交于点，是的切线．
（1）求的长；
（2）求直径和的值．
【答案】（1）解：连接，，
是直径，
，
平分，
，
，
，
，
．
（2）解：是的切线，
．
∽，
．
，
，
，
的直径 ，
．
【解析】【分析】（1）根据直径所对的角是圆周角定理先作辅助线得到两个直角三角形，易由已知条件证得它们全等，则AC=EC，进而由BE=BC-EC求得BE的长；
（2）根据切线性质得到直角三角形，有共同锐角的三个直角三角形相似，只需求DE，故证明∽ 即可，根据对应边成比例的性质可得DE，用勾股定理可求出直径；在（1）全等的条件下，根据正切函数定义可直接求值。
20．如图所示，在△ABC中，点D在边AB上，且BD=DC=AC，已知∠ACE=108°，BC=2．
（1）求∠B的度数．
（2）我们把有一个内角等于36°的等腰三角形称为黄金三角形．它的腰长与底边长的比(或者底边长与腰长的比)等于黄金比
①写出图中所有的黄金三角形，选一个说明理由；
②求AD的长．
【答案】（1）解：设∠B=x，
∵BD=DC，
∴∠DCB=∠B=x，
∴∠ADC=∠B+∠DCB=2x，
∵AC=DC，
∴∠A=∠ADC=2x，
∵∠ACE=∠B+∠A，
∴x+2x=108°，
解得：x=36°，
∴∠B的度数为36°．
（2）解：①△ABC，△DBC，△CAD都是黄金三角形．理由如下：
∵DB=DC，∠B=36°，
∴△DBC为黄金三角形．
∵∠BCA=180°-∠ACE=72°，而∠A=2×36°=72°，
∴∠A=∠ACB，
∵∠B=36°，
∴△ABC为黄金三角形．
∵∠ACD=∠ACB-∠DCB=72°-36°=36°，而CA=CD，
∴△CAD为黄金三角形．
②∵△BAC为黄金三角形，
∴
∵BC=2，
∴AC=-1，
∴BD=CD=CA=-1，
∴AD=AB-BD=2-(-1)=3-．
【解析】【分析】（1）设∠B=x，利用等边对等角的性质及角的运算可得∠ADC=∠B+∠DCB=2x，再结合∠ACE=∠B+∠A，可得x+2x=108°，再求出x的值即可；
（2）①利用三角形的内角和及角的运算求出∠A=2×36°=72°，∠ACD=∠ACB-∠DCB=72°-36°=36°，再利用黄金三角形的定义分析求解即可；
②利用黄金分割的定义可得，再求出AC的长，最后利用线段的和差求出AD的长即可.
21．已知x：y＝2：3，求：
（1）的值；
（2）若x+y＝15，求x，y的值．
【答案】解：（1）∵x：y＝2：3，可设x＝2k，y＝3k
∴2；
（2）由（1）可知，x＝2k，y＝3k，
∵x+y＝15
∴2k+3k＝15
∴k＝3
∴x＝6，y＝9．
【解析】【分析】（1）结合题意，设x＝2k，y＝3k，代入代数式计算，即可得到答案；
（2）由（1）得x＝2k，y＝3k，结合x+y＝15，可计算得k的值，从而得到答案．
22．如图F为平行四边形ABCD的边AD延长线上一点，BF分别交CD，AC于G，E.
（1）求证：；
（2）若EF=12，GE=4，求BE的长.
【答案】（1）证明：，
，
．
（2）解：，
，
，
由（1）知，
，
，
，，
，
或（舍，
．
【解析】【分析】（1）先根据相似三角形的判定与性质证明得到；
（2）根据相似三角形的判定与性质证明得到，由（1）知，等量代换得到，则，再代入数值化简即可求解。
23．已知：如图，在△ABC中，AB=AC，点E在边BC上移动(点E不与点B，C重合)，点D，F分别在边AB，AC上，且满足∠DEF=∠B．
（1）求证：△BDE∽△CEF．
（2）当点E移动到BC的中点时，求证：FE平分∠DFC．
【答案】（1）证明：∵ AB=AC，∴∠B=∠C．
∵∠BDE=180°-∠B-∠DEB，∠CEF=180°-∠DEF-∠DEB，∠DEF=∠B，
∴∠BDE=∠CEF．∴△BDE∽△CEF．
（2）证明：∵△BDE∽△CEF，∴，∵BE=CE，∴，
∵∠DEF=∠B=∠C，∴△DEF∽△CEF，∴∠DFE=∠CFE，即FE平分∠DFC．
【解析】【分析】（1）由等腰三角形的性质可得∠B=∠C，再由三角形的内角和和平角的定义可得∠BDE=∠CEF，继而可证.
（2）由相似三角形的性质可得，进而可得，再根据相似三角形的性质可得证.
24．如图，在菱形ABCD中，P是它对角线上面的一个点，连接CP后并延长，交CD于点E，交BA的延长线于点F．
（1）求证：∠DCP＝∠DAP；
（2）如果PE＝4，EF＝7，求线段PC的长．
【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AD＝CD，BD平分∠ADC，
∴∠ADP＝∠CDP，
在△DAP与△DCP中，
，
∴△DAP＝△DCP（SAS），
∴∠DCP＝∠DAP；
（2）解：由（1）得：△DAP≌△DCP，
∴∠DCP＝∠DAP，
∵CD∥AB，
∴∠DCF＝∠DAP＝∠CFB，
又∵∠FPA＝∠FPA，
∴△APE∽△FPA，
∴，
∴PA2＝PE PF，
∵△ADP≌△CDP，
∴PA＝PC，
∴PC2＝PE PF，
∵PE＝4，EF＝7，
∴PF=PE+EF=4+7＝11，
∴PC2=PE PF=4×11=44，
∴．
【解析】【分析】（1）利用菱形的性质和角平分线的概念，可证得AD＝CD，∠ADP＝∠CDP，利用SAS可证得△DAP≌△DCP，然后利用全等三角形的对应角相等，可证得结论.
（2）利用平行线的性质可证∠DCF＝∠DAP＝∠CFB，利用有两组对应角分别相等的两三角形相似，可知△APE∽△FPA，利用相似三角形的对应边成比例可推出∴PA2＝PE PF；由（1）可知△DAP≌△DCP可证得PA＝PC，由此可得到PC2＝PE PF，代入计算可求出CP的长.
25．如图，已知抛物线y＝-x2+bx+c与x轴交于A、B两点（点A在点B左边），与y轴交于点C，⊙M是△ABC的外接圆．若抛物线的顶点D的坐标为（1，4）．
（1）求抛物线的解析式，及A、B、C三点的坐标；
（2）求⊙M的半径和圆心M的坐标；
（3）如图2，在x轴上有点P（7，0），试在直线BC上找点Q，使B、Q、P三点构成的三角形与△ABC相似．若存在，请直接写出点坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）解：∵抛物线y＝-x2+bx+c的顶点D的坐标为（1，4），
∴， 解得
抛物线的解析式为y＝-x2+2x+3，
令y＝0，则-x2+2x+3＝0，解得x＝-1或3，
令x＝0，y＝3，
∴A（-1，0），B（3，0），C（0，3）；
（2）解：如图1，连接MB，MC，
∵三角形外心为三边中垂线交点，
∴设M（1，m），
∵MB＝MC，
∴
解得m＝1，
∴M（1，1），
∴MB＝
∴⊙M的半径为，圆心M的坐标为（1，1）；
（3）解：由（1）知，，
，
设直线的函数解析式为，
将点代入得：，解得，
则直线的函数解析式为，
设点的坐标为，
则，
要使三点构成的三角形与相似，则或，此时，
，
①当时，
则，即，
解得，
经检验，是原方程的解，
则此时点的坐标为；
②当时，
则，即，
解得，
经检验，是原方程的解，
则此时点的坐标为；
综上，点的坐标为或．
【解析】【分析】（1）由顶点坐标公式直接求出，抛物线的解析式为y＝-x2+2x+3，再令、即可求得点的坐标；
（2）根据三角形外心为三边中垂线交点，设M（1，m），根据两点间的距离公式，即可求得的半径和圆心的坐标；
（3）先算出，再求出直线的函数解析式，设，表示出，分两种情况讨论：①和②，然后根据相似三角形的性质求解即可．
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