2026年高考数学8+3+3专题训练：圆锥曲线的方程（含解析）
文档属性
| 名称 | 2026年高考数学8+3+3专题训练：圆锥曲线的方程（含解析） |
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| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 983.5KB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 通用版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2026-03-02 00:00:00 | ||
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文档简介
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2026年高考数学8+3+3专题训练：圆锥曲线的方程
一、选择题
1．（2025·湖南模拟）已知曲线，设，q：曲线C是焦点在x轴上的椭圆，则p是q的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
2．（2025·涪城模拟）若为双曲线：上异于，的动点，且直线与的斜率之积为5，则的渐近线方程为（ ）
A． B． C． D．
3．（2025·四川模拟）抛物线的焦点为F，是抛物线C上一点，则（ ）
A．10 B．8 C．6 D．4
4．（2025·自贡模拟）双曲线的离心率为，则该双曲线的焦点到它的渐近线距离为（ ）
A．1 B．2 C． D．3
5．（2025·上虞模拟）已知点，分别为双曲线的左右焦点，过双曲线C上一点作的平分线交x轴于点B，记的面积分别为，内切圆半径分别为，，则（ ）
A． B． C． D．
6．（2025·临沂模拟）已知分别为双曲线的左、右焦点，为左支上一点，满足，与的右支交于点，若，则的离心率为（ ）
A． B． C． D．
7．（2025·四川模拟）已知抛物线的焦点为，纵坐标为的点在上．若以为圆心，为半径的圆被轴截得的弦长为，则（ ）
A． B．2 C． D．
8．（2025·靖远模拟）已知椭圆与双曲线有相等的焦距，离心率分别为，它们的四个公共点刚好是正方形的四个顶点，则的最小值为（ ）
A．1 B． C． D．
二、多项选择题
9．（2025·自贡模拟）斜率为的直线过抛物线的焦点，且与抛物线交于M、N两点，为抛物线的准线上任意一点.则（ ）
A．
B．以为直径的圆与直线相切
C．为等边三角形，则
D．为抛物线的切线，则
10．（2025·长沙模拟）已知A，B，C是抛物线上不同的动点，F为抛物线W的焦点，直线l为抛物线W的准线，AB的中点为，则（ ）
A．当时，的最大值为32
B．当时，的最小值为22
C．当时，直线AB的斜率为
D．当时，点P到直线l的距离的最小值为14
11．（2025·长沙模拟）已知双曲线的左右焦点分别为、，过其右焦点的直线与它的右支交于、两点，与轴相交于点，的内切圆与边相切于点，设，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则；
B．记，则的面积；
C．若，过点且斜率为的直线与有2个交点，则；
D．若，则的内切圆与的内切圆的面积之和的最小值为.
三、填空题
12．（2025·娄底模拟）已知椭圆C：上一动点到其两个焦点的距离之和为2m，则 ．
13．（2025·成都模拟）双曲线的两个焦点分别是与，焦距为4，M是双曲线上的一点，且，则的面积是 .
14．（2025·浙江模拟）已知直线与抛物线相交于A，B两点，D为抛物线的准线与y轴的交点，若的面积为4，则 ．
答案解析部分
1．【答案】A
【解析】【解答】解：曲线C是焦点在x轴上的椭圆的充要条件是，即．
所以当时，成立，所以p是q的充分条件，
反之当时，不一定成立．所以p是q的充分不必要条件．
故答案为：A．
【分析】要判断是的什么条件，需先明确曲线是焦点在轴上的椭圆时的取值范围（即成立的充要条件 ），再对比中的范围与该充要条件的关系，若能推出，且不能推出，则是的充分不必要条件；反之同理.
2．【答案】C
【解析】【解答】解：设，则，即，
则，所以，
则双曲线的渐近线方程为.
故答案为：C.
【分析】设，根据点在双曲线上和两点求直线斜率的公式，从而可得的值，进而可得双曲线C的渐近线方程.
3．【答案】D
【解析】【解答】解：由题意，得，解得，
则.
故答案为：D.
【分析】由点在抛物线上求出参数p的值，再由抛物线的定义求出焦半径AF的长.
4．【答案】B
【解析】【解答】解：中，，故，
故，故，
所以双曲线的焦点坐标为，渐近线方程为，
所以该双曲线的焦点到它的渐近线距离为.
故答案为：B.
【分析】先由离心率求出c，再结合a的值算出b，进而确定焦点坐标和渐近线方程，最后用点到直线距离公式求距离.
5．【答案】D
【解析】【解答】根据题意，画出图像
由双曲线可知：，
所以，，
令，则，解得：，不妨设，
所以，
因为为的角平分线，所以由角平分线定理可得：，
所以，又因为，所以，，
所以，所以，
因为，所以的高为，
所以，
又因为，
解得：，同理，
所以.
故答案为：D.
【分析】根据题意，将A点的横坐标代入曲线方程求出其坐标，进而求出的边长，求出其面积，结合面积公式以及等面积法求出内切圆半径，进而代入式子进行化简即可得到结果.
6．【答案】D
【解析】【解答】
因为，，所以的三个内角都是，
从而，结合双曲线定义得，故，
又，故，结合，
故由余弦定理得，化简得，解得.
故答案为：D.
【分析】根据题意，利用焦点三角形得到，接着利用定义结合余弦定理进行化简即可得到结果.
7．【答案】A
【解析】【解答】解：根据题意，作图如下：
设点坐标为，因其在抛物线上，故；
以为圆心，为半径圆，其圆心到轴的距离为，半径；
由题可知：，整理得：，故，.
故答案为：A.
【分析】首先设出点M坐标，代入抛物线方程得到p与的一个关系式，这是基础条件，然后根据圆被y轴截得弦长，利用圆的弦长与圆心到弦距离、半径的几何关系（勾股定理 ），列出另一个关于p和的方程，最后将两个方程联立，消去，求解得出p的值.
8．【答案】A
【解析】【解答】解：设椭圆的焦点为，双曲线的焦点为，
根据椭圆、双曲线、正方形的对称性可知，两曲线位于第一象限的公共点为，
则，
所以，
所以，
则，
当且仅当时取等号.
故答案为：A.
【分析】利用椭圆和双曲线的基本性质和椭圆的定义、椭圆的离心率公式，从而得出，再利用函数求最值的方法，从而得出的最小值.
9．【答案】B,C,D
【解析】【解答】解：A、抛物线的准线为，则，解得，A错误.
B、设，则，
线段的中点到准线的距离为，因此以为直径的圆与直线相切，B正确.
C、由（1）知，，设直线方程为，由得，
则，线段的中点，线段中垂线方程为
，则点，，
而，由为等边三角形，
得，即，解得，C正确.
D、由求导得，直线的方程为，
则，直线的斜率，
因此，，D正确.
故答案为：BCD.
【分析】抛物线基本量：利用准线方程求a，确定抛物线方程.
定义应用：结合抛物线定义（到焦点与准线距离相等 ），判断圆与准线相切.
联立与韦达定理：设直线方程联立抛物线，用韦达定理求弦长、中点，结合等边三角形性质求 k.
导数与切线：利用导数几何意义求切线方程，验证向量垂直.
10．【答案】A,C,D
【解析】【解答】解：对于A，如图：
设直线的方程为，
代入，可得：，
由，可得，
设，则，
因为的中点为，所以，
则，
所以，即，则，
则
所以，当时，取最大值为32，故A正确；
对于B，如图，分别过点作准线的垂线，垂足分别为，
设交抛物线于点，
因为，所以，
由图知，当且仅当三点共线时，取得最小值为，
因为的中点为，
所以为梯形的中位线，且，
则此时，
即的最小值为15，故B错误；
对于C，由选项A，得到，
因为，所以，解得，
所以，直线的斜率为，故C正确；
对于D，由，可得直线经过点，
可设直线的方程为，
代入，可得：，
设，则，
仿照选项B作图，
则点P到直线l的距离为：
，
则当时，点P到直线l的距离的最小值为14，故D正确.
故答案为：ACD.
【分析】设直线的方程为，将直线AB的方程与抛物线方程联立，从而得出韦达定理式，由得出，再由弦长公式得出的值，利用二次函数求最值的方法，从而得出的最大值，则判断出选项A；利用抛物线的定义转化，利用三点共线时线段和最小原则，从而得到的最小值为，再借助于梯形中位线定理得出的最小值，则判断出选项B；由选项A的结论可得，从而求出的值，进而得出直线的斜率，则判断出选项C；由判断直线过焦点，设直线的方程为，联立直线方程和抛物线方程得出韦达定理式，再仿照选项B作图转化得出，利用二次函数图象求最值的方法，从而得出PH的最值，进而得出当时，点P到直线l的距离的最小值，则判断出选项D，从而找出正确的选项.
11．【答案】A,D
【解析】【解答】解：A、因为的内切圆与边相切于点，如图，，为另外两个切点，
由切线长定理可知，，，因为在轴上，所以，
所以
，
，，，
双曲线的方程为：，
若，则，所以，A正确；
B、因为的面积，B错误；
C、若，则，，，双曲线的方程为，
直线的方程为，联立，消得，
则，
解得且，C错误；
D、若，则，，，双曲线的方程为，
如图，设两内切圆圆心分别为，，半径分别为，，设、、与圆分别相切于点，，，
由切线长定理得
，
而，两式相加得，所以是双曲线的右顶点，
轴，所以的横坐标为，
同理可求得的横坐标为，则，
设直线的倾斜角为，则，
在，中有
，，
设，所以，
显然，当，即，即取得最小值8，
记的内切圆面积为，的内切圆面积为，
故的内切圆与的内切圆的面积之和的最小值为，D正确.
故答案为：BD.
【分析】A、利用双曲线定义（双曲线上任意一点到两焦点距离差的绝对值为 ），结合三角形内切圆切线长定理（从圆外一点引圆的两条切线，切线长相等 ），建立与的关系，进而判断.
B、依据双曲线焦点三角形面积公式（ ，为两焦点与双曲线上点形成角 ），通过推导或公式记忆判断.
C、先由选项A的关系求出双曲线方程，再联立过定点的直线与双曲线方程，根据直线与双曲线右支有两个交点的条件（判别式、韦达定理结合 ），确定斜率的范围.
D、利用切线长定理得出内切圆与双曲线实轴的关系，设出两个内切圆半径，结合直线与双曲线相交时的性质，通过均值不等式求面积和的最小值.
12．【答案】3
【解析】【解答】解：若椭圆的焦点在x轴上，则，由得（舍去）；
若椭圆的焦点在y轴上，则，由得.
故答案为：3．
【分析】分焦点在x轴或者y轴上，利用椭圆的定义即可求解.
13．【答案】6
【解析】【解答】解：已知双曲线的焦距为4，即，解得，
由，，解得或，
当时，点为双曲线离焦点较近的顶点，与共线，不符合要求，
因此，，为直角三角形，
所以的面积是.
故答案为：6
【分析】先利用双曲线定义和焦距为4可得=5，再利用三角形面积公式即可求解.
14．【答案】2
【解析】【解答】解：将代入得，所以，
由抛物线的对称性可得，所以为等腰三角形，
设抛物线的焦点为F，所以，
又，所以，解得．
故答案为：2.
【分析】联立直线与抛物线方程求解可得，根据抛物线的对称性得为等腰三角形，根据面积公式列方程求解即可求得p的值.
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2026年高考数学8+3+3专题训练：圆锥曲线的方程
一、选择题
1．（2025·湖南模拟）已知曲线，设，q：曲线C是焦点在x轴上的椭圆，则p是q的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
2．（2025·涪城模拟）若为双曲线：上异于，的动点，且直线与的斜率之积为5，则的渐近线方程为（ ）
A． B． C． D．
3．（2025·四川模拟）抛物线的焦点为F，是抛物线C上一点，则（ ）
A．10 B．8 C．6 D．4
4．（2025·自贡模拟）双曲线的离心率为，则该双曲线的焦点到它的渐近线距离为（ ）
A．1 B．2 C． D．3
5．（2025·上虞模拟）已知点，分别为双曲线的左右焦点，过双曲线C上一点作的平分线交x轴于点B，记的面积分别为，内切圆半径分别为，，则（ ）
A． B． C． D．
6．（2025·临沂模拟）已知分别为双曲线的左、右焦点，为左支上一点，满足，与的右支交于点，若，则的离心率为（ ）
A． B． C． D．
7．（2025·四川模拟）已知抛物线的焦点为，纵坐标为的点在上．若以为圆心，为半径的圆被轴截得的弦长为，则（ ）
A． B．2 C． D．
8．（2025·靖远模拟）已知椭圆与双曲线有相等的焦距，离心率分别为，它们的四个公共点刚好是正方形的四个顶点，则的最小值为（ ）
A．1 B． C． D．
二、多项选择题
9．（2025·自贡模拟）斜率为的直线过抛物线的焦点，且与抛物线交于M、N两点，为抛物线的准线上任意一点.则（ ）
A．
B．以为直径的圆与直线相切
C．为等边三角形，则
D．为抛物线的切线，则
10．（2025·长沙模拟）已知A，B，C是抛物线上不同的动点，F为抛物线W的焦点，直线l为抛物线W的准线，AB的中点为，则（ ）
A．当时，的最大值为32
B．当时，的最小值为22
C．当时，直线AB的斜率为
D．当时，点P到直线l的距离的最小值为14
11．（2025·长沙模拟）已知双曲线的左右焦点分别为、，过其右焦点的直线与它的右支交于、两点，与轴相交于点，的内切圆与边相切于点，设，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则；
B．记，则的面积；
C．若，过点且斜率为的直线与有2个交点，则；
D．若，则的内切圆与的内切圆的面积之和的最小值为.
三、填空题
12．（2025·娄底模拟）已知椭圆C：上一动点到其两个焦点的距离之和为2m，则 ．
13．（2025·成都模拟）双曲线的两个焦点分别是与，焦距为4，M是双曲线上的一点，且，则的面积是 .
14．（2025·浙江模拟）已知直线与抛物线相交于A，B两点，D为抛物线的准线与y轴的交点，若的面积为4，则 ．
答案解析部分
1．【答案】A
【解析】【解答】解：曲线C是焦点在x轴上的椭圆的充要条件是，即．
所以当时，成立，所以p是q的充分条件，
反之当时，不一定成立．所以p是q的充分不必要条件．
故答案为：A．
【分析】要判断是的什么条件，需先明确曲线是焦点在轴上的椭圆时的取值范围（即成立的充要条件 ），再对比中的范围与该充要条件的关系，若能推出，且不能推出，则是的充分不必要条件；反之同理.
2．【答案】C
【解析】【解答】解：设，则，即，
则，所以，
则双曲线的渐近线方程为.
故答案为：C.
【分析】设，根据点在双曲线上和两点求直线斜率的公式，从而可得的值，进而可得双曲线C的渐近线方程.
3．【答案】D
【解析】【解答】解：由题意，得，解得，
则.
故答案为：D.
【分析】由点在抛物线上求出参数p的值，再由抛物线的定义求出焦半径AF的长.
4．【答案】B
【解析】【解答】解：中，，故，
故，故，
所以双曲线的焦点坐标为，渐近线方程为，
所以该双曲线的焦点到它的渐近线距离为.
故答案为：B.
【分析】先由离心率求出c，再结合a的值算出b，进而确定焦点坐标和渐近线方程，最后用点到直线距离公式求距离.
5．【答案】D
【解析】【解答】根据题意，画出图像
由双曲线可知：，
所以，，
令，则，解得：，不妨设，
所以，
因为为的角平分线，所以由角平分线定理可得：，
所以，又因为，所以，，
所以，所以，
因为，所以的高为，
所以，
又因为，
解得：，同理，
所以.
故答案为：D.
【分析】根据题意，将A点的横坐标代入曲线方程求出其坐标，进而求出的边长，求出其面积，结合面积公式以及等面积法求出内切圆半径，进而代入式子进行化简即可得到结果.
6．【答案】D
【解析】【解答】
因为，，所以的三个内角都是，
从而，结合双曲线定义得，故，
又，故，结合，
故由余弦定理得，化简得，解得.
故答案为：D.
【分析】根据题意，利用焦点三角形得到，接着利用定义结合余弦定理进行化简即可得到结果.
7．【答案】A
【解析】【解答】解：根据题意，作图如下：
设点坐标为，因其在抛物线上，故；
以为圆心，为半径圆，其圆心到轴的距离为，半径；
由题可知：，整理得：，故，.
故答案为：A.
【分析】首先设出点M坐标，代入抛物线方程得到p与的一个关系式，这是基础条件，然后根据圆被y轴截得弦长，利用圆的弦长与圆心到弦距离、半径的几何关系（勾股定理 ），列出另一个关于p和的方程，最后将两个方程联立，消去，求解得出p的值.
8．【答案】A
【解析】【解答】解：设椭圆的焦点为，双曲线的焦点为，
根据椭圆、双曲线、正方形的对称性可知，两曲线位于第一象限的公共点为，
则，
所以，
所以，
则，
当且仅当时取等号.
故答案为：A.
【分析】利用椭圆和双曲线的基本性质和椭圆的定义、椭圆的离心率公式，从而得出，再利用函数求最值的方法，从而得出的最小值.
9．【答案】B,C,D
【解析】【解答】解：A、抛物线的准线为，则，解得，A错误.
B、设，则，
线段的中点到准线的距离为，因此以为直径的圆与直线相切，B正确.
C、由（1）知，，设直线方程为，由得，
则，线段的中点，线段中垂线方程为
，则点，，
而，由为等边三角形，
得，即，解得，C正确.
D、由求导得，直线的方程为，
则，直线的斜率，
因此，，D正确.
故答案为：BCD.
【分析】抛物线基本量：利用准线方程求a，确定抛物线方程.
定义应用：结合抛物线定义（到焦点与准线距离相等 ），判断圆与准线相切.
联立与韦达定理：设直线方程联立抛物线，用韦达定理求弦长、中点，结合等边三角形性质求 k.
导数与切线：利用导数几何意义求切线方程，验证向量垂直.
10．【答案】A,C,D
【解析】【解答】解：对于A，如图：
设直线的方程为，
代入，可得：，
由，可得，
设，则，
因为的中点为，所以，
则，
所以，即，则，
则
所以，当时，取最大值为32，故A正确；
对于B，如图，分别过点作准线的垂线，垂足分别为，
设交抛物线于点，
因为，所以，
由图知，当且仅当三点共线时，取得最小值为，
因为的中点为，
所以为梯形的中位线，且，
则此时，
即的最小值为15，故B错误；
对于C，由选项A，得到，
因为，所以，解得，
所以，直线的斜率为，故C正确；
对于D，由，可得直线经过点，
可设直线的方程为，
代入，可得：，
设，则，
仿照选项B作图，
则点P到直线l的距离为：
，
则当时，点P到直线l的距离的最小值为14，故D正确.
故答案为：ACD.
【分析】设直线的方程为，将直线AB的方程与抛物线方程联立，从而得出韦达定理式，由得出，再由弦长公式得出的值，利用二次函数求最值的方法，从而得出的最大值，则判断出选项A；利用抛物线的定义转化，利用三点共线时线段和最小原则，从而得到的最小值为，再借助于梯形中位线定理得出的最小值，则判断出选项B；由选项A的结论可得，从而求出的值，进而得出直线的斜率，则判断出选项C；由判断直线过焦点，设直线的方程为，联立直线方程和抛物线方程得出韦达定理式，再仿照选项B作图转化得出，利用二次函数图象求最值的方法，从而得出PH的最值，进而得出当时，点P到直线l的距离的最小值，则判断出选项D，从而找出正确的选项.
11．【答案】A,D
【解析】【解答】解：A、因为的内切圆与边相切于点，如图，，为另外两个切点，
由切线长定理可知，，，因为在轴上，所以，
所以
，
，，，
双曲线的方程为：，
若，则，所以，A正确；
B、因为的面积，B错误；
C、若，则，，，双曲线的方程为，
直线的方程为，联立，消得，
则，
解得且，C错误；
D、若，则，，，双曲线的方程为，
如图，设两内切圆圆心分别为，，半径分别为，，设、、与圆分别相切于点，，，
由切线长定理得
，
而，两式相加得，所以是双曲线的右顶点，
轴，所以的横坐标为，
同理可求得的横坐标为，则，
设直线的倾斜角为，则，
在，中有
，，
设，所以，
显然，当，即，即取得最小值8，
记的内切圆面积为，的内切圆面积为，
故的内切圆与的内切圆的面积之和的最小值为，D正确.
故答案为：BD.
【分析】A、利用双曲线定义（双曲线上任意一点到两焦点距离差的绝对值为 ），结合三角形内切圆切线长定理（从圆外一点引圆的两条切线，切线长相等 ），建立与的关系，进而判断.
B、依据双曲线焦点三角形面积公式（ ，为两焦点与双曲线上点形成角 ），通过推导或公式记忆判断.
C、先由选项A的关系求出双曲线方程，再联立过定点的直线与双曲线方程，根据直线与双曲线右支有两个交点的条件（判别式、韦达定理结合 ），确定斜率的范围.
D、利用切线长定理得出内切圆与双曲线实轴的关系，设出两个内切圆半径，结合直线与双曲线相交时的性质，通过均值不等式求面积和的最小值.
12．【答案】3
【解析】【解答】解：若椭圆的焦点在x轴上，则，由得（舍去）；
若椭圆的焦点在y轴上，则，由得.
故答案为：3．
【分析】分焦点在x轴或者y轴上，利用椭圆的定义即可求解.
13．【答案】6
【解析】【解答】解：已知双曲线的焦距为4，即，解得，
由，，解得或，
当时，点为双曲线离焦点较近的顶点，与共线，不符合要求，
因此，，为直角三角形，
所以的面积是.
故答案为：6
【分析】先利用双曲线定义和焦距为4可得=5，再利用三角形面积公式即可求解.
14．【答案】2
【解析】【解答】解：将代入得，所以，
由抛物线的对称性可得，所以为等腰三角形，
设抛物线的焦点为F，所以，
又，所以，解得．
故答案为：2.
【分析】联立直线与抛物线方程求解可得，根据抛物线的对称性得为等腰三角形，根据面积公式列方程求解即可求得p的值.
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