2026年高考数学专题练习：空间向量与立体几何

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2026年高考数学专题练习：空间向量与立体几何
一、选择题
1．设，向量，，，则（　　）
A． B． C． D．
2．已知是空间中两个不同平面，是两条不同直线，则下列命题中正确的是（　　）
A．若，，，则
B．若，，，则
C．若，，，则
D．若，，，则
3．在棱长为2的正方体中，若，则平面与平面夹角的余弦值（　　）
A． B． C． D．
4．设，，，则的中点M到点C的距离（　　）
A． B． C． D．
5．设，向量，且，则（　　）
A．3 B． C． D．
6．如图，已知空间四边形，其对角线是边上一点，且，为的中点，若，则的值为（　　）
A． B． C． D．
7．阅读材料：空间直角坐标系中，过点且一个法向量为的平面的方程为.阅读上面材料，解决下面问题：已知平面的方程为，直线是平面与平面的交线，则直线与平面所成角的正弦值为（　　）
A． B． C． D．
8．已知点是棱长都为2的正四棱锥的棱的中点，空间中一点满足，其中，，，且．当最小时，有（　　）
A．为钝角三角形
B．
C．与底面所成的角是
D．四棱锥的外接球被二面角所夹的几何体的体积为
二、多项选择题
9．已知正方体的棱长为分别是棱和的中点，是棱上的一点，是正方形内一动点，且点到直线与直线的距离相等，则（　　）
A．
B．点到直线的距离为
C．存在点，使得平面
D．动点在一条抛物线上运动
10．如图，在直四棱柱中，，，，分别为，的中点，则（　　）
A． B．
C． D．
11．如图，在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，平面，，，则（　　）
A．
B．
C．异面直线与夹角的余弦值为
D．点到平面的距离为1
三、填空题
12．已知与共线，则　 　．
13．如图，已知二面角的大小为，，，，且，，则　 　.
14．如图，在长方体中，为棱的中点，点是侧面上的动点，满足，给出下列四个结论：
①动点的轨迹是一段圆弧；
②动点的轨迹长度为；
③动点的轨迹与线段有且只有一个公共点；
④三棱锥的体积的最大值为.
其中所有正确结论的序号是　 　.
四、解答题
15．已知六面体的底面是矩形，，，且.
（1）求证：平面；
（2）若平面，求直线与平面夹角的正弦值.
16．如图，平行四边形中，，，为的中点，将沿翻折至，使得平面平面，是线段上的一个动点.
（1）证明：平面；
（2）当的面积最小时，求平面与平面夹角的余弦值.
17．如图，在直三棱柱中，AB⊥AC，，点E，F分别为棱AB、的中点．
（1）求直线与直线AF的夹角的余弦值；
（2）求点F到平面的距离．
18．如图，在平行六面体中，，且，设与的交于点.
（1）证明：平面；
（2）若，且，求直线与平面所成角的正弦值.
19．如图，在正三棱柱中，底面边长为，侧棱长为，是的中点.
（1）证明： 平面；
（2）求直线与平面所成角的正弦值；
（3）在线段上是否存在一点，使得点到平面ADE的距离为 若存在，请求出的值； 若不存在， 请说明理由.
答案解析部分
1．【答案】C
2．【答案】C
3．【答案】D
4．【答案】C
5．【答案】C
6．【答案】C
7．【答案】A
8．【答案】D
9．【答案】A,D
10．【答案】A,C,D
11．【答案】A,C,D
12．【答案】18
13．【答案】
14．【答案】①②④
15．【答案】（1）证明：取中点，连接如图所示：
∵且，∴，，
∴四边形是平行四边形，∴，，
∵四边形是矩形，∴，，
∴，，
∴四边形是平行四边形，∴，
∵平面，平面，
∴平面.
（2）解：∵平面，∴，∵四边形是矩形，∴，
以为原点建立如图所示的空间直角坐标系，如图所示：
则，，
∴，，.
设平面一个法向量为，
则，即，
令，则，即，
设直线与平面所成角为，
则，
∴直线与平面夹角的正弦值为.
16．【答案】（1）证明：由，为的中点，
得，则，
因为平面平面，平面平面，平面，
所以平面，
又因为平面，所以，
由，，
得，
又因为，，
由，得，
所以，
又因为，
所以与相似，
则，
所以，
则，
又因为，，、平面，
所以平面.
（2）解：由（1）可得、、两两垂直，
则以为原点，建立如图所示空间直角坐标系，
所以、、、、，
则、、 ，
设，，
则，
所以，点到直线的距离为：
，
由，
则当点到直线的距离最小时，的面积最小，此时所以，
设平面的法向量为，
则，
取，则，，所以，
由轴平面，
则平面的法向量可为，
所以，
则平面与平面夹角的余弦值为.
17．【答案】（1）解：因为丄平面ABC，AB⊥AC，
以点A为坐标原点，AB、AC、所在直线分别为x，y，z轴建立如下图所示的空间直角坐标系，
因为，
所以A(0，0，0)、、E(1，0，0)、F(1，0，2)，
则，，
所以，
则直线与直线AF的夹角的余弦值为．
（2）解：易知，，，
设平面的法向量为，
则，
取x=2，可得，
所以平面的一个法向量为，且，
则点F到平面的距离为．
18．【答案】（1）证明： 因为底面为平行四边形，且，
所以为菱形，所以.
又，，平面，且，
所以平面.
因为平面，所以.
在和中：
（）.
所以.
又为中点，所以.
又，平面，且，
所以平面.
（2）解： 由（1）可知，，，两两垂直，所以以为原点，建立如图空间直角坐标系：
因为，，，
所以，，.
所以，，，.
所以，，.
设平面的法向量为，
则，
取，得.
所以，，.
设直线与平面所成的角为，
则.

19．【答案】（1）证明： 连接交于点O，连接，如图所示：
因为点O为的中点，D是的中点，所以为的中位线，所以，
又因为平面，平面，所以平面；
（2）解：因为在正中，D是的中点，故，
以D为坐标原点，取的中点F，分别以为轴，建立空间直角坐标系，如图所示：
，，，，，，，
，，，
设平面的法向量为，则，取，可得，
设直线与平面所成角为，则，
即直线与平面所成角的正弦值为；
（3）解：存在点，理由如下：
设，其中，
，
，，
设平面的法向量为，则，取，可得，
则点到平面的距离，化简得，解得，
综上，存在点E使得点到平面ADE的距离为．此时.
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