2026年高考数学专题练习：圆锥曲线的方程

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2026年高考数学专题练习：圆锥曲线的方程
一、选择题
1．“”是“方程表示焦点在x轴上的椭圆”的（　　）条件
A．充分不必要 B．必要不充分
C．充要 D．既不充分也不必要
2．已知双曲线的一条渐近线方程为，则（　　）
A． B． C． D．3
3．如图所示，分别为椭圆的左、右焦点，点P在椭圆上，是面积为的正三角形，则的值为（　　）
A． B． C． D．
4．已知F为抛物线的焦点，，A为抛物线在第一象限上的点，且满足，则点A的横坐标为（　　）
A．5 B．4 C．3 D．2
5．已知A，B是双曲线上的两点，是双曲线的左焦点，满足，，，则双曲线C的离心率为（　　）
A． B． C． D．
6．椭圆与双曲线有公共的焦点，，，抛物线的方程为，P为，，的一个公共点，若，则，，离心率的乘积为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
7．如图，一个玩具由矩形竖屏，底面圆盘及斜杆构成，竖屏垂直于圆盘且固定不动，圆盘可以转动，斜杆以恰当的方式固定在圆盘上，可随着圆盘转动．当竖屏上的孔隙形状是合适的双曲线的一支时，斜杆可以自由穿过竖屏的孔隙，所以这个玩具被称为曲线狭缝玩具．若斜杆与圆盘所成角的大小为，斜杆与过底面圆心且与底面垂直的边的距离为1cm，则合适孔隙的曲线线方程可能是（　　）
A． B．
C． D．
8．已知双曲线：的一条渐近线与抛物线：的准线相交于点，点的横坐标为，双曲线的左、右焦点分别为和．若过点的直线交的左支于，两点，且（为坐标原点），记点到直线的距离为，则（　　）
A． B． C． D．
二、多项选择题
9．已知曲线C的方程为，则下列说法正确的为（ ）
A．曲线C可以是圆
B．若，则曲线C为椭圆
C．曲线C可以表示抛物线
D．若曲线C为双曲线，则或
10．已知双曲线：的上焦点为，直线：是的一条渐近线，是上支上的一点，为坐标原点，则（　　）
A．到的距离为2
B．的焦距为
C．的离心率为
D．若，则的最小值为4
11．抛物线的焦点为F，过F的直线交抛物线于A，B，以下说法正确的有（　　）
A．以为直径的圆与y轴相切
B．以为直径的圆与抛物线的准线相离
C．若点D为抛物线准线与x轴交点，则一定有
D．过线段的中点M作y轴的垂线，交抛物线于点P，交抛物线的准线于点N，则
三、填空题
12．已知抛物线的焦点为，则的标准方程为　 　；设点，点在上，则的最小值为　 　.
13．双曲线的左、右焦点分别为，以为直径的圆与的一个交点的纵坐标为，则的离心率为　 　.
14．椭圆的焦点为，，过原点的直线与该椭圆交于A，B两点，若，的面积为1，则该椭圆的焦距为　 　，的周长为　 　．
四、解答题
15．拋物线的顶点为坐标原点，焦点为，过且斜率为的直线与交于两点．
（1）当时，求；
（2）若的面积为，求的值．
16．已知椭圆：经过点，且.
（1）求的方程；
（2）设椭圆的左焦点为，过的直线交于两点. 是否存在点，使得恒成立？若存在，求出的值；若不存在，说明理由.
17．已知双曲线：的实轴长为2，右焦点F到双曲线的渐近线距离为.
（1）求双曲线的方程；
（2）过点作直线交双曲线的右支于A，B两点，连接并延长交双曲线左支于点P（O为坐标原点），求的面积的最小值；
（3）设定点，过点T的直线交双曲线于M，N两点，M，N不是双曲线的顶点，若在双曲线上存在一点S，使得直线的斜率与直线的斜率之和为定值，求实数t的取值范围.
18．在椭圆上有两点．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）在线段上取一点（不包括端点），过作斜率为的直线交椭圆于两点（在左侧）．
（i）判断是否为定值.若是定值，求出定值；若不是定值，请说明理由；
（ii）设中点为，中点为，为椭圆中心，证明：四边形为平行四边形．
19．如图1，圆C：，点，P是圆C上任意一点，线段AP的垂直平分线和直线CP相交于点Q.当点P在圆上运动时，点Q的轨迹为E.
（1）求轨迹E的方程；
（2）过点C且与x轴不重合的直线l与E相交于M，N两点.设点，记直线BM，BN的斜率分别为，，求的值；
（3）过点作直线l交E于G，H两点（G在上方），设点，，若直线GS与HR相交于点T，证明：动点T在某定直线上.
答案解析部分
1．【答案】A
2．【答案】A
3．【答案】B
4．【答案】C
5．【答案】A
6．【答案】D
7．【答案】B
8．【答案】C
9．【答案】A,D
10．【答案】C,D
11．【答案】A,C,D
12．【答案】；4
13．【答案】
14．【答案】；
15．【答案】（1）解：拋物线的焦点，
则直线的方程为．
设，
由，得，
则，所以，
所以，
当时，．
（2）解：因为，
点到直线的距离，
所以，
化简得，解得，即．
16．【答案】（1）解：因为点在椭圆上，所以，
因为，所以，
解得，，，
所以椭圆C的方程为.
（2）解：假设存在点，使得恒成立，易知点，设点，
若直线斜率不存在，则当时，恒成立.
若直线斜率存在，如图所示：
设其方程为：，
由，得，
依题意，
所以，，（*）
若满足，则，即，
整理得，，
又，，
所以，
整理得，，
将（*）式代入得，，
整理得
依题意不恒为0，则，
所以存在点使得恒成立.
17．【答案】（1）解：因为双曲线的实轴长为2，故，
而双曲线的渐近线为，
故右焦点到渐近线的距离为，
故双曲线的方程为：.
（2）解：显然直线与轴不垂直，设：，，，
由双曲线的对称性知的中点为，故，
联立
故，，
由于A，均在双曲线右支，故，故，
而，
代入韦达定理得，
令，则，
易知在上为减函数，则当时，，
综上：的面积的最小值为12.
（3）解：不妨设，，，
若直线的斜率为，则直线与双曲线的交点为双曲线的顶点，与条件矛盾，
所以可设直线的方程为，且，
联立，消可得，
方程的判别式，
所以，
所以，，
所以，
，
，
，
所以
所以
所以，
因为直线的斜率与直线的斜率之和为定值，
所以，故，
故为定值，
所以，
因为或，，，
所以或，存在双曲线上的点满足，
使得直线的斜率与直线的斜率之和为定值，定值为，
所以的范围为.
18．【答案】（1）解： 由题设，可得，
则椭圆方程为；
（2）解：（ i）设，联立椭圆方程，
所以，
由韦达定理，得到，
，
同理，设，得，
且，，
故.
（ii）设直线方程为，联立椭圆方程，
所以，由韦达定理，得到，
由于都在上，故，
联立直线和，得到点坐标，
要证四边形为平行四边形，只需证明与相互平分（或通过向量），即证明，
而，
，得证.
19．【答案】（1）解：由已知得.所以.
又因为点A在圆内，所以，连接QA，
根据椭圆的定义，点Q的轨迹是以C，A为焦点，2为长轴长的椭圆.
（2）解：由，，设直线MN的方程为，，，
联立方程得，
，
由韦达定理得，，
则
.
（3）证明：设直线l的方程为，，，将椭圆方程与直线方程联立
可得，
如图所示：
时，，
，，
所以，
∴：，：，
∴，整理得，
所以动点T在定直线上.
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