2026届高三数学一轮专题练习：数列

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数列
一、单选题
1．若等比数列的前n项和为（p为常数），且的公比为q，则（ ）
A．4 B．2 C．1 D．0
2．在等差数列中， ，则的公差为（ ）
A．-3 B． C．3 D．
3．已知数列满足，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
4．数列满足，数列的前n项和为（ ）
A． B．
C． D．
5．已知正项数列的前项和为，且，则满足的的最大值为（ ）
A．9 B．10 C．11 D．12
6．《九章算术》中有问题：“今有蒲生一日，长三尺，莞生一日，长一尺.蒲生日自半，莞生日自倍.”意思是说今有蒲第一天长高三尺，莞第一天长高一尺，以后蒲每天长高为前一天的一半，莞每天长高为前一天的两倍.要使莞的长度大于蒲的长度（蒲与莞原先的长度忽略不计），需要经过的时间最少为（ ）
A．天 B．天 C．天 D．天
7．已知，则通过数列图象上所有点的直线方程为（ ）
A． B． C． D．
8．已知为数列的前n项和，，是公差为1的等差数列，则下列选项中不正确的是（ ）
A． B．当且仅当时，取得最小值
C． D．数列中第5项的值最大
二、多选题
9．设数列的前项和为，且，则（ ）
A． B．
C．是等差数列 D．
10．已知等差数列的前项和为，则（ ）
A．数列是递减数列 B．
C．时，的最大值是18 D．
11．已知数列的前项和为，下列说法正确的有（ ）
A．若，则数列是等差数列
B．若数列是等差数列且，，则当时，取得最大值
C．若数列是等比数列，则，，成等比数列
D．若数列是等差数列，则
三、填空题
12．若数列是等比数列，，则公比 .
13．已知数列中，，则 .
14．已知，将数列与的公共项从小到大排列得到新数列，则 ．
四、解答题
15．已知等差数列的前n项和为，且
(1)求的通项公式；
(2)求数列的前n项和.
16．已知数列满足，（）．
(1)求证：数列是等差数列；
(2)求数列的通项公式．
17．已知是公差为2的等差数列，是公比为4的等比数列，满足，.
(1)求数列，的通项公式；
(2)记，的前n项和分别为，，若，求m的值.
18．记，分别为数列，的前项和，其中满足，，且，.
(1)求及；
(2)比较与的大小.
19．如图，已知正方体顶点处有一质点，点每次会随机地沿一条棱向相邻的某个顶点移动，且向每个顶点移动的概率相同，从一个顶点沿一条棱移动到相邻顶点称为移动一次，若质点的初始位置位于点处，记点移动次后仍在底面上的概率为．
(1)求的值；
(2)①求证：数列是等比数列；
②求．
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B B A D A A D B ACD BCD
题号 11
答案 BD
1．B
【分析】求得等比数列的前项，进而求得，从而求得正确答案.
【详解】等比数列的前n项和为，
则，
，
所以，则，
即，
所以.
故选：B
2．B
【分析】根据给定条件，利用等差数列通项公式列式运算得解.
【详解】设等差数列的公差为，由，得，
所以.
故选：B
3．A
【分析】根据题意，利用叠加法，求得，得到，结合函数的单调性，以及，即可求解.
【详解】由数列满足，
则
，
所以，
又由函数在上单调递减，在上单调递增，
因为，
当时，可得；当时，可得，
因为，所以的最小值为.
故选：A.
4．D
【分析】利用已知条件构造是等比数列，即可求出通项公式，再由错位相减法进行求和即可.
【详解】，可得，又，
是首项为，公比为的等比数列，，，
，①
则，②
①②可得，
.
故选：D.
5．A
【分析】由对数运算性质及等比数列的定义得是首项、公比都为2的等比数列，应用等比数列前n项和公式及求的最大值.
【详解】由题设，又，即是首项、公比都为2的等比数列，
所以，则，
由，则，即.
所以满足的的最大值为9.
故选：A.
6．A
【分析】根据题干确定各等比数列，结合等比数列求和公式，列不等式，解不等式即可.
【详解】由题意，蒲第一天长高尺，以后蒲每天长高为前一天的一半，
所以蒲每天生长的高构成首项为，公比为的等比数列，
其前项和，
又由莞第一天长高尺，以后每天长高为前一天的两倍，
所以莞每天生长的高构成首项为，公比为的等比数列，
其前项和，令，
解得或，
因为，所以，
故选：A.
7．D
【分析】由求得通项公式判断.
【详解】由，可知是以18为首项，以-3为公差的等差数列，
所以 ，即，
所以通过数列图象上所有点的直线方程为，
故选：D
8．B
【分析】根据等差数列的通项公式、与的关系，结合二次函数的性质逐一判断即可.
【详解】A：因为是公差为1的等差数列，
所以，
因此，所以A正确；
B：由上可知：，
因为，所以当或6时，取得最小值，因此B不正确；
C：由上可知：，
于是当时，，
显然，符合，所以C正确；
D：由上可知：，
令，
显然当时，因为，
所以，而，
显然数列中第5项的值最大，故D正确，
故选：B
9．ACD
【分析】代入计算判断A；由求解判断B；利用等差数列定义判断C；结合选项C利用等差数列通项公式求得，代入题干即可求解判断D.
【详解】当时，，解得，故A正确；
由，得，上述两式作差，得，
即，故B错误；
由，得，所以是公差为1的等差数列，故C正确；
因为，所以，即，
所以，故D正确.
故选：ACD.
10．BCD
【分析】根据等差数列的性质和前n项求和公式可得，结合通项公式和前n项求和公式计算，依次判断选项即可.
【详解】设等差数列的公差为，
由，得，
解得，因为，所以.
A:由，可得
所以等差数列为递增数列，故A错误；
B：，故B正确；
C：，
由可得，所以，又，
所以的最大值是18，故C正确；
D：，
由，得，故D正确.
故选：BCD.
11．BD
【分析】对于A，利用与间的关系，求出，即可求解；对于B，根据条件得，，即可求解；对于C，取，当为偶数时，，即可求解；对于D，利用等差数列的前项和公式及等差数列的性质，即可求解.
【详解】对于选项A，因为①，当时，②，
由①②得到，又时，，不满足，
所以，则，数列不是等差数列，故选项A错误，
对于选项B，因为，且，则公差，由，得到，
所以，故当时，取得最大值，所以选项B正确，
对于选项C，取，为等比数列，且首项为，公比为，
当为偶数时，，此时，，不成等比数列，所以选项C错误，
对于选项D，因数列是等差数列，则，所以选项D正确，
故选：BD.
12．1或
【分析】根据等比数列的项与前项和的基本量运算列方程求解即得.
【详解】由，可得，
两式相除，可得，即，
解得或.
故答案为：1或.
13．
【分析】根据已知条件，利用累乘法求通项.
【详解】，，
，即，
.
故答案为：.
14．
【分析】由确定数列与数列的公共项为，再通过裂项求和即可.
【详解】由题意设，即，
因为为偶数，所以也为偶数，
所以数列与数列的公共项为，
所以，
所以，
故答案为：.
15．(1)
(2)答案见解析
【分析】（1）利用与的关系可求；
（2）分和两种情况，当时直接用等差数列的求和公式可得；当时，利用可求.
【详解】（1），时
两式相减得：，
又也符合，
所以
（2）①
②
综上：
16．(1)证明见解析；
(2).
【分析】（1）由给定的递推公式两边减去2，再取倒数并利用等差数列定义推理得证.
（2）由（1）求出数列的通项，进而求出数列的通项.
【详解】（1）数列中，由，得，
显然，否则，矛盾，则，
所以数列是等差数列.
（2）由（1）知，等差数列的首项为，公差为，
则，整理得，
所以数列的通项公式为.
17．(1)，.
(2)
【分析】（1）根据题意结合等差、等比数列通项公式可得，，即可得结果；
（2）根据等差、等比数列求和公式可得，，代入求解即可.
【详解】（1）由题意得：，，
解得，，
所以，.
（2）由（1）可得，，
若，即，
整理可得，解得或（舍去），
所以m的值为15.
18．(1)，；
(2).
【分析】（1）根据给定条件可得是等差数列，再列出关于首项、公差的方程组求解，进而求出通项公式及前项和.
（2）利用前项和的意义，结合等差数列前项和公式比较大小即得.
【详解】（1）数列中，由，得数列是等差数列，设公差为，
而，
由，，得，解得，
所以，.
（2）依题意，
.
19．(1)，
(2)①证明见解析；②
【分析】（1）每一个顶点有3个相邻的顶点，其中两个在同一底面，即点在下底面时，随机移动一次仍在下底面的概率为，在上底面时，随机移动一次回到下底面的概率为，即可求解；
（2）①由即可得证；
②由得，利用错位相减法与分组求和即可求解.
【详解】（1）依题意，每一个顶点有3个相邻的顶点，其中两个在同一底面．
所以当点在下底面时，随机移动一次仍在下底面的概率为，
在上底面时，随机移动一次回到下底面的概率为，
所以
．
（2）①因为，
所以．
又因为，所以，
所以数列是首项为公比为的等比数列．
②因为，
所以，所以．
设，
则，
则，
所以，
所以，
所以，
又因为，
所以．
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