2026年高考数学8+3+3专题训练：抛物线
文档属性
| 名称 | 2026年高考数学8+3+3专题训练：抛物线 |
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| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 983.1KB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 通用版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2026-03-02 00:00:00 | ||
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文档简介
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2026年高考数学8+3+3专题训练：抛物线
一、选择题
1．（2025·四川模拟）抛物线的焦点为F，是抛物线C上一点，则（ ）
A．10 B．8 C．6 D．4
2．（2025·顺德模拟）已知抛物线上的点的横坐标为4，抛物线的焦点为．若，则的值为（ ）
A．18 B．9 C．4 D．2
3．（2025·郴州模拟）已知抛物线的焦点为，是抛物线上一点，以点为圆心的圆与直线相切于点．若，则圆的标准方程为（ ）
A． B．
C． D．
4．（2025·天河模拟）已知抛物线的焦点为，点为上的不同两点，若线段的中点到轴的距离为2，则的最大值为（ ）
A．3 B．6 C．9 D．36
5．（2025·白云模拟）已知点为抛物线上一点．则点到抛物线的焦点的距离为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
6．（2025·四川模拟）设抛物线C：的焦点为F，P为抛物线C上任意一点，O为坐标原点，M为线段的中点，则直线斜率的最大值为（ ）
A． B．1 C． D．p
7．（2025·长沙模拟）某隧道的垂直剖面图近似为一抛物线，如图所示．已知隧道高为，宽为，隧道内设置两条车道，且隧道内行车不准跨过中间的实线．若载有集装箱的货车要经过此隧道，货车宽度为，集装箱宽度与货车宽度相同，则货车高度（即集装箱最高点距地面的距离）的最大值为（ ）
A． B． C． D．
8．（2025·嘉兴模拟）已知抛物线，其准线为，焦点为，过的直线与和从左到右依次相交于，，三点，且，则和的面积之比为（ ）
A． B． C． D．
二、多项选择题
9．（2025·自贡模拟）斜率为的直线过抛物线的焦点，且与抛物线交于M、N两点，为抛物线的准线上任意一点.则（ ）
A．
B．以为直径的圆与直线相切
C．为等边三角形，则
D．为抛物线的切线，则
10．（2025·长沙模拟）已知A，B，C是抛物线上不同的动点，F为抛物线W的焦点，直线l为抛物线W的准线，AB的中点为，则（ ）
A．当时，的最大值为32
B．当时，的最小值为22
C．当时，直线AB的斜率为
D．当时，点P到直线l的距离的最小值为14
11．（2025·长沙模拟）已知P为抛物线C：上一点，F为C的焦点，直线l的方程为，则下列说法正确的有（ ）
A．若，则
B．点P到直线l与到直线的距离之和的最小值为2
C．若存在点P，使得过点P可作两条垂直的直线与圆相切，则r的取值范围为
D．过直线l上一点E（点E不在x轴上）作抛物线的两条切线，切线分别交x轴于点A，B，外接圆面积的最小值为
三、填空题
12．（2025·白银模拟）已知是抛物线的焦点，是上一点，则 .
13．（2025·淄博模拟）已知O为坐标原点，在抛物线上存在两点E，F，使得是边长为4的正三角形，则 ．
14．（2024咸阳高考模拟）如图，在平面直角坐标系中，，圆过坐标原点且与圆外切，若抛物线与圆，圆均恰有一个公共点，则 .
答案解析部分
1．【答案】D
【解析】【解答】解：由题意，得，解得，
则.
故答案为：D.
【分析】由点在抛物线上求出参数p的值，再由抛物线的定义求出焦半径AF的长.
2．【答案】D
【解析】【解答】解： 抛物线上的点的横坐标为4 ，即，
由抛物线定义得：，解得．
故答案为：D.
【分析】由题意，根据抛物线的焦半径公式直接求解即可.
3．【答案】A
【解析】【解答】解：过点作垂直于直线，垂足为，如图所示：
由抛物线的定义可得：，
因为，所以，解得①，
又因为是抛物线上一点，所以②，
由①②解得：，即，
则圆的标准方程为.
故答案为：A.
【分析】过点作垂直于直线，垂足为，由抛物线的定义，以及点在抛物线上和，列方程组求得和，从而确定抛物线的方程即可.
4．【答案】C
【解析】【解答】解：易知抛物线的焦点为，准线方程为，
设，
因为点在抛物线上，所以，，
又因为线段的中点到轴的距离为2，所以，
由抛物线的定义可得：，
则，
因为的横坐标均大于0，所以，所以的最大值为4，
当时，即时，取最大值为9.
故答案为：C.
【分析】易知抛物线的焦点为，准线方程为，设，根据中点求出点的横坐标的关系，再利用抛物线的定义求得，表示，最后利用基本不等式求最大值即可.
5．【答案】B
【解析】【解答】解：由题意可知，，解得，所以点到抛物线的焦点的距离为，
故选：B.
【分析】将点M坐标代入方程中即可求得p的值，进而抛物线的定义求解即可.
6．【答案】B
【解析】【解答】由已知，，设（因为需要确定最大值，不妨设），则，于是直线的斜率满足：
，当且仅当即时取等．
【分析】利用已知条件先得到的坐标，进而得到直线斜率的表达式，结合基本不等式求解即可得到结果.
7．【答案】C
【解析】【解答】解：如图所示，以抛物线的顶点为原点建立平面直角坐标系，
设抛物线方程为，
由图可知抛物线过点，即，解得，所以抛物线方程为.
因为车道宽2米，两车道中间有隔离带，车宽2米，
所以车行驶时，的取值范围为.
当时，，
要使载货最高的货车通过隧道，则货车高度的最大值为米.
故选：C.
【分析】建立如图平面直角坐标系，设抛物线方程为，利用待定系数法求出抛物线方程，根据已知条件可知车行驶时，的取值范围为，令得，则即为货车高度的最大值.
8．【答案】B
【解析】【解答】解：如图所示：不妨设点在第一象限，
抛物线，则准线，交点，
由抛物线的定义可得：，解得，则，
因为，所以，则，
因为，所以直线，
联立，消元整理得，解得，
代入抛物线方程得，则，易得，
，，则.
故答案为：B.
【分析】由题意求出，得出直线，与抛物线联立得出，，然后求出两个三角形的底边求解即可.
9．【答案】B,C,D
【解析】【解答】解：A、抛物线的准线为，则，解得，A错误.
B、设，则，
线段的中点到准线的距离为，因此以为直径的圆与直线相切，B正确.
C、由（1）知，，设直线方程为，由得，
则，线段的中点，线段中垂线方程为
，则点，，
而，由为等边三角形，
得，即，解得，C正确.
D、由求导得，直线的方程为，
则，直线的斜率，
因此，，D正确.
故答案为：BCD.
【分析】抛物线基本量：利用准线方程求a，确定抛物线方程.
定义应用：结合抛物线定义（到焦点与准线距离相等 ），判断圆与准线相切.
联立与韦达定理：设直线方程联立抛物线，用韦达定理求弦长、中点，结合等边三角形性质求 k.
导数与切线：利用导数几何意义求切线方程，验证向量垂直.
10．【答案】A,C,D
【解析】【解答】解：对于A，如图：
设直线的方程为，
代入，可得：，
由，可得，
设，则，
因为的中点为，所以，
则，
所以，即，则，
则
所以，当时，取最大值为32，故A正确；
对于B，如图，分别过点作准线的垂线，垂足分别为，
设交抛物线于点，
因为，所以，
由图知，当且仅当三点共线时，取得最小值为，
因为的中点为，
所以为梯形的中位线，且，
则此时，
即的最小值为15，故B错误；
对于C，由选项A，得到，
因为，所以，解得，
所以，直线的斜率为，故C正确；
对于D，由，可得直线经过点，
可设直线的方程为，
代入，可得：，
设，则，
仿照选项B作图，
则点P到直线l的距离为：
，
则当时，点P到直线l的距离的最小值为14，故D正确.
故答案为：ACD.
【分析】设直线的方程为，将直线AB的方程与抛物线方程联立，从而得出韦达定理式，由得出，再由弦长公式得出的值，利用二次函数求最值的方法，从而得出的最大值，则判断出选项A；利用抛物线的定义转化，利用三点共线时线段和最小原则，从而得到的最小值为，再借助于梯形中位线定理得出的最小值，则判断出选项B；由选项A的结论可得，从而求出的值，进而得出直线的斜率，则判断出选项C；由判断直线过焦点，设直线的方程为，联立直线方程和抛物线方程得出韦达定理式，再仿照选项B作图转化得出，利用二次函数图象求最值的方法，从而得出PH的最值，进而得出当时，点P到直线l的距离的最小值，则判断出选项D，从而找出正确的选项.
11．【答案】A,C,D
【解析】【解答】解：易知抛物线C：的焦点，准线m：，
A、若，过点P作准线m：的垂线，垂足为Q，再过点A作准线m：的垂线，垂足为B，如图所示：
由抛物线定义可知：，故A正确；
B、过点P作准线m：的垂线，垂足为Q，交直线n：于点N，
过点P作直线l：的垂线，垂足为H，
过点F作直线l：的垂线，垂足为G，如图所示：
由点到直线的距离公式可得：，
则点P到直线l与到直线的距离之和为：
，故B错误；
C、根据过点P可作两条垂直的直线与圆相切，设切点为T，如图所示：
易知，由于两条切线垂直，则，即，
则，将问题转化为抛物线上存在点P到圆心M的距离为，
抛物线上点到圆心的距离：
，
当时，取到最小值，即，解得，故C正确；
D、切线，与抛物线分别切于M，N，设，，
因为，所以，则，，
直线EA：，同理，直线EB：，
由，可得，故，
又，故，，
故，同理，
故，，
所以E，A，F，B四点共圆，且的外接圆的直径为，
所以即为F到直线的距离，最小距离为2，
则，即的外接圆的半径的最小值为1，则的外接圆面积的最小值为，故答案为D.
故答案为：ACD.
【分析】利用定义转化长度，利用几何法求出最小值即可判断A；利用定义转化长度，利用几何法求出最小值即可判断B；把存在点P，使得过点P可作两条垂直的直线与圆相切问题转化为圆心距的范围问题，求解即可判断C；设切线，与抛物线分别切于M，N，设，，求出切线的方程，进而求出点坐标，利用向量验证可得，，可得E，A，F，B四点共圆，且的外接圆的直径为，问题转化为求最小，即为点F到直线的距离问题求解即可判断D.
12．【答案】100
【解析】【解答】解：因为是上一点 ，所以，解得，
所以.
故答案为：100.
【分析】由点在抛物线上列式先求得，再由抛物线的定义求焦半径即可得|PF|.
13．【答案】
【解析】【解答】解：根据抛物线的对称性可知，
因为为等边三角形，
所以关于坐标轴对称，
又因为，，
所以，
将代入可得.
故答案为：.
【分析】根据抛物线图形的对称性和正三角形的边长，从而可得，再代入抛物线方程得出p的值.
14．【答案】
【解析】【解答】 解：由题意知：圆Q的方程为，
设抛物线与圆L的公共点P的坐标为，根据题目条件可以得出抛物线与圆L在点P处共切线，易得切线方程为，
即，
又因为切点在抛物线上，所以，所以，
因为，所以①，
因为点L到切线的距离为圆L的半径，
所以②，
联立①②，可以消元得到，
所以，所以.
故答案为：.
【分析】
设抛物线与圆L的公共点P的坐标为，根据题目条件可以得出抛物线与圆L在点P处共切线，易得切线方程为，结合点到直线的距离公式，联立方程即可求解.
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2026年高考数学8+3+3专题训练：抛物线
一、选择题
1．（2025·四川模拟）抛物线的焦点为F，是抛物线C上一点，则（ ）
A．10 B．8 C．6 D．4
2．（2025·顺德模拟）已知抛物线上的点的横坐标为4，抛物线的焦点为．若，则的值为（ ）
A．18 B．9 C．4 D．2
3．（2025·郴州模拟）已知抛物线的焦点为，是抛物线上一点，以点为圆心的圆与直线相切于点．若，则圆的标准方程为（ ）
A． B．
C． D．
4．（2025·天河模拟）已知抛物线的焦点为，点为上的不同两点，若线段的中点到轴的距离为2，则的最大值为（ ）
A．3 B．6 C．9 D．36
5．（2025·白云模拟）已知点为抛物线上一点．则点到抛物线的焦点的距离为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
6．（2025·四川模拟）设抛物线C：的焦点为F，P为抛物线C上任意一点，O为坐标原点，M为线段的中点，则直线斜率的最大值为（ ）
A． B．1 C． D．p
7．（2025·长沙模拟）某隧道的垂直剖面图近似为一抛物线，如图所示．已知隧道高为，宽为，隧道内设置两条车道，且隧道内行车不准跨过中间的实线．若载有集装箱的货车要经过此隧道，货车宽度为，集装箱宽度与货车宽度相同，则货车高度（即集装箱最高点距地面的距离）的最大值为（ ）
A． B． C． D．
8．（2025·嘉兴模拟）已知抛物线，其准线为，焦点为，过的直线与和从左到右依次相交于，，三点，且，则和的面积之比为（ ）
A． B． C． D．
二、多项选择题
9．（2025·自贡模拟）斜率为的直线过抛物线的焦点，且与抛物线交于M、N两点，为抛物线的准线上任意一点.则（ ）
A．
B．以为直径的圆与直线相切
C．为等边三角形，则
D．为抛物线的切线，则
10．（2025·长沙模拟）已知A，B，C是抛物线上不同的动点，F为抛物线W的焦点，直线l为抛物线W的准线，AB的中点为，则（ ）
A．当时，的最大值为32
B．当时，的最小值为22
C．当时，直线AB的斜率为
D．当时，点P到直线l的距离的最小值为14
11．（2025·长沙模拟）已知P为抛物线C：上一点，F为C的焦点，直线l的方程为，则下列说法正确的有（ ）
A．若，则
B．点P到直线l与到直线的距离之和的最小值为2
C．若存在点P，使得过点P可作两条垂直的直线与圆相切，则r的取值范围为
D．过直线l上一点E（点E不在x轴上）作抛物线的两条切线，切线分别交x轴于点A，B，外接圆面积的最小值为
三、填空题
12．（2025·白银模拟）已知是抛物线的焦点，是上一点，则 .
13．（2025·淄博模拟）已知O为坐标原点，在抛物线上存在两点E，F，使得是边长为4的正三角形，则 ．
14．（2024咸阳高考模拟）如图，在平面直角坐标系中，，圆过坐标原点且与圆外切，若抛物线与圆，圆均恰有一个公共点，则 .
答案解析部分
1．【答案】D
【解析】【解答】解：由题意，得，解得，
则.
故答案为：D.
【分析】由点在抛物线上求出参数p的值，再由抛物线的定义求出焦半径AF的长.
2．【答案】D
【解析】【解答】解： 抛物线上的点的横坐标为4 ，即，
由抛物线定义得：，解得．
故答案为：D.
【分析】由题意，根据抛物线的焦半径公式直接求解即可.
3．【答案】A
【解析】【解答】解：过点作垂直于直线，垂足为，如图所示：
由抛物线的定义可得：，
因为，所以，解得①，
又因为是抛物线上一点，所以②，
由①②解得：，即，
则圆的标准方程为.
故答案为：A.
【分析】过点作垂直于直线，垂足为，由抛物线的定义，以及点在抛物线上和，列方程组求得和，从而确定抛物线的方程即可.
4．【答案】C
【解析】【解答】解：易知抛物线的焦点为，准线方程为，
设，
因为点在抛物线上，所以，，
又因为线段的中点到轴的距离为2，所以，
由抛物线的定义可得：，
则，
因为的横坐标均大于0，所以，所以的最大值为4，
当时，即时，取最大值为9.
故答案为：C.
【分析】易知抛物线的焦点为，准线方程为，设，根据中点求出点的横坐标的关系，再利用抛物线的定义求得，表示，最后利用基本不等式求最大值即可.
5．【答案】B
【解析】【解答】解：由题意可知，，解得，所以点到抛物线的焦点的距离为，
故选：B.
【分析】将点M坐标代入方程中即可求得p的值，进而抛物线的定义求解即可.
6．【答案】B
【解析】【解答】由已知，，设（因为需要确定最大值，不妨设），则，于是直线的斜率满足：
，当且仅当即时取等．
【分析】利用已知条件先得到的坐标，进而得到直线斜率的表达式，结合基本不等式求解即可得到结果.
7．【答案】C
【解析】【解答】解：如图所示，以抛物线的顶点为原点建立平面直角坐标系，
设抛物线方程为，
由图可知抛物线过点，即，解得，所以抛物线方程为.
因为车道宽2米，两车道中间有隔离带，车宽2米，
所以车行驶时，的取值范围为.
当时，，
要使载货最高的货车通过隧道，则货车高度的最大值为米.
故选：C.
【分析】建立如图平面直角坐标系，设抛物线方程为，利用待定系数法求出抛物线方程，根据已知条件可知车行驶时，的取值范围为，令得，则即为货车高度的最大值.
8．【答案】B
【解析】【解答】解：如图所示：不妨设点在第一象限，
抛物线，则准线，交点，
由抛物线的定义可得：，解得，则，
因为，所以，则，
因为，所以直线，
联立，消元整理得，解得，
代入抛物线方程得，则，易得，
，，则.
故答案为：B.
【分析】由题意求出，得出直线，与抛物线联立得出，，然后求出两个三角形的底边求解即可.
9．【答案】B,C,D
【解析】【解答】解：A、抛物线的准线为，则，解得，A错误.
B、设，则，
线段的中点到准线的距离为，因此以为直径的圆与直线相切，B正确.
C、由（1）知，，设直线方程为，由得，
则，线段的中点，线段中垂线方程为
，则点，，
而，由为等边三角形，
得，即，解得，C正确.
D、由求导得，直线的方程为，
则，直线的斜率，
因此，，D正确.
故答案为：BCD.
【分析】抛物线基本量：利用准线方程求a，确定抛物线方程.
定义应用：结合抛物线定义（到焦点与准线距离相等 ），判断圆与准线相切.
联立与韦达定理：设直线方程联立抛物线，用韦达定理求弦长、中点，结合等边三角形性质求 k.
导数与切线：利用导数几何意义求切线方程，验证向量垂直.
10．【答案】A,C,D
【解析】【解答】解：对于A，如图：
设直线的方程为，
代入，可得：，
由，可得，
设，则，
因为的中点为，所以，
则，
所以，即，则，
则
所以，当时，取最大值为32，故A正确；
对于B，如图，分别过点作准线的垂线，垂足分别为，
设交抛物线于点，
因为，所以，
由图知，当且仅当三点共线时，取得最小值为，
因为的中点为，
所以为梯形的中位线，且，
则此时，
即的最小值为15，故B错误；
对于C，由选项A，得到，
因为，所以，解得，
所以，直线的斜率为，故C正确；
对于D，由，可得直线经过点，
可设直线的方程为，
代入，可得：，
设，则，
仿照选项B作图，
则点P到直线l的距离为：
，
则当时，点P到直线l的距离的最小值为14，故D正确.
故答案为：ACD.
【分析】设直线的方程为，将直线AB的方程与抛物线方程联立，从而得出韦达定理式，由得出，再由弦长公式得出的值，利用二次函数求最值的方法，从而得出的最大值，则判断出选项A；利用抛物线的定义转化，利用三点共线时线段和最小原则，从而得到的最小值为，再借助于梯形中位线定理得出的最小值，则判断出选项B；由选项A的结论可得，从而求出的值，进而得出直线的斜率，则判断出选项C；由判断直线过焦点，设直线的方程为，联立直线方程和抛物线方程得出韦达定理式，再仿照选项B作图转化得出，利用二次函数图象求最值的方法，从而得出PH的最值，进而得出当时，点P到直线l的距离的最小值，则判断出选项D，从而找出正确的选项.
11．【答案】A,C,D
【解析】【解答】解：易知抛物线C：的焦点，准线m：，
A、若，过点P作准线m：的垂线，垂足为Q，再过点A作准线m：的垂线，垂足为B，如图所示：
由抛物线定义可知：，故A正确；
B、过点P作准线m：的垂线，垂足为Q，交直线n：于点N，
过点P作直线l：的垂线，垂足为H，
过点F作直线l：的垂线，垂足为G，如图所示：
由点到直线的距离公式可得：，
则点P到直线l与到直线的距离之和为：
，故B错误；
C、根据过点P可作两条垂直的直线与圆相切，设切点为T，如图所示：
易知，由于两条切线垂直，则，即，
则，将问题转化为抛物线上存在点P到圆心M的距离为，
抛物线上点到圆心的距离：
，
当时，取到最小值，即，解得，故C正确；
D、切线，与抛物线分别切于M，N，设，，
因为，所以，则，，
直线EA：，同理，直线EB：，
由，可得，故，
又，故，，
故，同理，
故，，
所以E，A，F，B四点共圆，且的外接圆的直径为，
所以即为F到直线的距离，最小距离为2，
则，即的外接圆的半径的最小值为1，则的外接圆面积的最小值为，故答案为D.
故答案为：ACD.
【分析】利用定义转化长度，利用几何法求出最小值即可判断A；利用定义转化长度，利用几何法求出最小值即可判断B；把存在点P，使得过点P可作两条垂直的直线与圆相切问题转化为圆心距的范围问题，求解即可判断C；设切线，与抛物线分别切于M，N，设，，求出切线的方程，进而求出点坐标，利用向量验证可得，，可得E，A，F，B四点共圆，且的外接圆的直径为，问题转化为求最小，即为点F到直线的距离问题求解即可判断D.
12．【答案】100
【解析】【解答】解：因为是上一点 ，所以，解得，
所以.
故答案为：100.
【分析】由点在抛物线上列式先求得，再由抛物线的定义求焦半径即可得|PF|.
13．【答案】
【解析】【解答】解：根据抛物线的对称性可知，
因为为等边三角形，
所以关于坐标轴对称，
又因为，，
所以，
将代入可得.
故答案为：.
【分析】根据抛物线图形的对称性和正三角形的边长，从而可得，再代入抛物线方程得出p的值.
14．【答案】
【解析】【解答】 解：由题意知：圆Q的方程为，
设抛物线与圆L的公共点P的坐标为，根据题目条件可以得出抛物线与圆L在点P处共切线，易得切线方程为，
即，
又因为切点在抛物线上，所以，所以，
因为，所以①，
因为点L到切线的距离为圆L的半径，
所以②，
联立①②，可以消元得到，
所以，所以.
故答案为：.
【分析】
设抛物线与圆L的公共点P的坐标为，根据题目条件可以得出抛物线与圆L在点P处共切线，易得切线方程为，结合点到直线的距离公式，联立方程即可求解.
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