2026年高考数学8+3+3专题训练：平面向量及其应用

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2026年高考数学8+3+3专题训练：平面向量及其应用
一、选择题
1．（2025·娄底模拟）已知向量，，则（　　）
A． B． C．34 D．65
2．（2025·郴州模拟）在中，角，，所对的边分别为，，，若，，BC边上的高，则（　　）
A． B． C．8 D．
3．（2025·郴州模拟）在平面直角坐标系xOy中，已知，，，若，则的值为（　　）
A．4 B．2 C． D．
4．（2025·湖北模拟）镜面反射法是测量建筑物高度的重要方法，在如图所示的模型中．已知人眼距离地面高度，某建筑物高，将镜子（平面镜）置于平地上，人后退至从镜中能够看到建筑物的位置，测量人与镜子的距离，将镜子后移a米，重复前面中的操作，则测量人与镜子的距离，则镜子后移距离a为（　　）
A．6m B．5m C．4m D．3m
5．（2025·阳江模拟）已知，且在上的投影向量为（　　）
A． B． C． D．
6．（2025·雨花模拟）已知向量，，则“”是“”的（　　）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
7．（2025·湖北模拟）已知等边三角形内接于为线段的中点，则（　　）
A． B．
C． D．
8．（2025·长沙模拟）已知的面积为，，，的内角平分线交边于点，则的值为（　　）
A． B． C． D．
二、多项选择题
9．（2025·台州模拟）已知，，，则下列选项正确的是（　　）
A．的取值范围是
B．的最大值为30
C．的最小值为
D．的最小值为
10．（2025·长沙模拟）的内角的对边分别为，且，，边的中线，则下列结论正确的有（　　）
A． B．
C．的面积为 D．的外接圆的面积为
11．（2025·长沙模拟）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，点M是△ABC所在平面上一点，且则下列说法正确的是（　　）
A．若，则M在内部
B．若，则M为的重心
C．若，则的面积是面积的
D．若，M为外接圆圆心，则
三、填空题
12．（2025·上海市模拟）已知边长为2的菱形中，，P、Q是菱形内切圆上的两个动点，且，则的最大值是　 　．
13．（2025·长沙模拟）已知是平面内的任意一个向量，向量、满足，且，，则的最小值为　 　.
14．（2025·天河模拟）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则的面积为　 　．
答案解析部分
1．【答案】A
【解析】【解答】解：由题意，得，故.
故答案为：A
【分析】先利用向量的坐标运算可得，再利用数量积的坐标运算即可求解.
2．【答案】A
【解析】【解答】解：已知BC边上的高，，
根据三角形面积公式.
将，，代入可得：，，.
由余弦定理，可得：，即，
可得：，即，
把代入上式可得：
，即.
因为、为三角形的边，可得：.
故答案为：A.
【分析】先利用三角形面积公式可得，再利用余弦定理可得，即可求的值.
3．【答案】A
【解析】【解答】解：因为，，所以，，
又，得，
又，所以，即，解得.
故答案为：A.
【分析】先利用向量的坐标运算可得，，，再利用向量数量积的坐标运算即可求解.
4．【答案】A
【解析】【解答】解：如图：设建筑物最高点为A，建筑物底部为，第一次观察时镜面位置为，
第一次观察时人眼睛位置为C处，第二次观察时镜面位置为，
设到之间的距离为，
由光线反射性质，得，
所以，即，①
同理可得，②
①②两式相比得，
解得，
代入①，得.
故答案为：A．
【分析】设建筑物底部到第一次观察时镜面位置之间的距离为，根据光线反射性质列出关于的方程组，求解得出镜子后移距离a的值.
5．【答案】A
【解析】【解答】解：已知，将等式两边同时平方可得.
根据向量平方的展开式，所以，
化简可得，即，这表明.
根据向量投影向量的定义， 所以在上的投影向量为.
因为，所以.
则在上的投影向量为.
故在上的投影向量为.
故答案为：A.
【分析】本题需要先利用向量模长等式推出与的关系，再依据投影向量的定义计算 在 上的投影向量.
6．【答案】B
【解析】【解答】因为向量，，则，
若，则，
解得或，
充分性： 不能推出 “（因还可能x = 0），故不充分
必要性：能推出（代入x = -1满足垂直条件 ），故必要
所以“”是“”的必要不充分条件.
故选：B.
【分析】先通过向量线性运算求坐标，利用向量垂直的坐标关系列方程求x的取值，再根据充分、必要条件定义判断.
7．【答案】A
【解析】【解答】AB选项，
，A正确，B错误；
CD选项，因为是等边三角形的外接圆，所以，且为的中点，
因为为线段的中点，所以，
所以，CD错误；
故选：A
【分析】利用平面向量基本定理，结合等边三角形外接圆性质（AO 与 BC 中点 E 的关系 ）、中点定义，将 用等向量表示，逐步推导，求出答案.
8．【答案】A
【解析】【解答】解：因为的面积为，，，
所以，解得.
在中，由余弦定理得
，
解得.
因为平分，所以.
故答案为：A.
【分析】 利用“三角形面积公式”，代入已知面积、角和边，直接解出 ，然后用“余弦定理”，结合、和，算出，最后 依据“角平分线分角相等”，结合三角形面积公式，发现面积比可转化为邻边长度比.
9．【答案】A,B,C
【解析】【解答】解：对于选项A：由向量模长的三角不等式，
得，
当且仅当同向时，取得最大值9，
当这三个向量当首尾顺次连接构成封闭三角形时，，模长为0，
因为长度为2，3，4满足任意两边之和大于第三边，所以这样的三角形是存在的，
则的取值范围是[0，9]，故选项A正确；
对于选项B，因为
当同向时，，
则的最大值为，故B正确；
对于选项C、选项D，因为
设，则上式为①，
当与反向时，，
，
所以，
代入①式，得，
所以，当时，取得最小值为，此时，
所以，这种可能性是存在的，故选项C正确、选项D错误.
故答案为：ABC.
【分析】利用向量的模的三角不等式（当且仅当同向时时取等号），则用该不等式求出的最大值，则判断出选项A；再把首尾顺次连接构成封闭三角形时，则是最小值，再利用向量的数量积化简，则得出当向量同向时数量积取得最大值和反向或特殊位置时取得最小值，从而得出的最值，则判断出选项B、选项C和选项D，从而找出正确的选项.
10．【答案】A,C,D
【解析】【解答】解：A、，
由正弦定理可得，
整理得，
因为，所以，解得，故A正确；
B、因为边的中线为，即为的中点，所以，
两边平方整理得，
即，
又，解得，
则，故B错误；
C、，故C正确；
D、根据余弦定理，，
即，解得，
再由正弦定理得，解得，
则的外接圆的面积为，故D正确.
故答案为：ACD.
【分析】根据正弦定理进行边角互化，结合三角函数可求得即可判断A；因为为边的中线，结合平面向量的几何关系，可求得，即可判断B、C；由余弦定理，可求得，再结合正弦定理，可求得的外接圆半径，进而可求得其面积即可判断D.
11．【答案】A,B,D
【解析】【解答】解：A、当时，三点共线，
由向量的线性运算可知，当时，M在内部，故选项A正确；
B、设BC中点为N，G为△ABC的重心，所以，故选项B正确；
C、因为，
所以
所以，
所以，即的面积是面积的故选项C错误；
D、因为 M为外心，
所以
，
所以，所以，故选项D正确.
故选：ABD.
【分析】根据利用向量的基本定理可知当时，三点共线，进而根据向量的线性运算即可判断选项A；结合线性运算和重心的性质即可判断选项B；根据已知条件和线性运算先求得，进而因为和高相同，根据三角形面积公式可知的面积与面积之比等于它们底边MC 与BC之比，即可判断线性C；利用外心的性质和向量的线性运算计算即可判断选项D.
12．【答案】
【解析】【解答】解：如图所示，，所以菱形内切圆半径为点到的距离，
所以内切圆半径，
由对称性可知，关于轴对称，设，所以，所以
所以，，
又因为，所以
，
当时，取得最大值，最大值为.
故答案为：.
【分析】画出图形可知菱形内切圆半径为点到的距离，内切圆半径，设出，且，利用向量的数量积坐标运算可得，结合和二次函数的性质即可求得最值.
13．【答案】
【解析】【解答】解：在如下图所示的平面直角坐标系中，设、、，
不妨设，，，由题意可得
，
将绕点逆时针旋转得到，
则，，
其中点，故，
当且仅当点与点重合时，此时，点也与点重合，等号成立，
故的最小值为.
故答案为：.
【分析】本题需将向量模长转化为平面直角坐标系中线段长度，通过图形变换（旋转），利用几何关系求最小值，关键是合理建立坐标系，把向量模长转化为点之间的距离，再借助旋转构造新线段，依据两点之间线段最短求解 .
14．【答案】
【解析】【解答】解：若，由余弦定理可得，解得，
，由余弦定理可得，
整理可得，
因为，所以，
化简可得，即，，
则的面积.
故答案为：.
【分析】由题意，利用余弦定理化简求得与的值，根据同角三角函数以及三角形面积公式求解即可.
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