2026年高考数学8+3+3专题训练：双曲线

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2026年高考数学8+3+3专题训练：双曲线
一、选择题
1．（2025·自贡模拟）双曲线的离心率为，则该双曲线的焦点到它的渐近线距离为（　　）
A．1 B．2 C． D．3
2．（2025·温州模拟）双曲线的一个焦点为，则（　　）
A． B． C．3 D．
3．（2025·仁寿模拟）已知双曲线的焦距为，则的渐近线方程为（ ）
A． B． C． D．
4．（2025·张掖模拟）双曲线的离心率为（　　）
A． B． C．2 D．
5．（2024高三上·河北模拟）点为等轴双曲线的焦点，过作轴的垂线与的两渐近线分别交于两点，则的面积为（　　）
A． B．4 C． D．8
6．（2024·诸暨模拟）已知，为曲线：的焦点，则下列说法错误的是（　　）
A．若，则曲线的离心率
B．若，则曲线的离心率
C．若曲线上恰有两个不同的点，使得，则
D．若，则曲线上存在四个不同的点，使得
7．（2024高三下·湖南模拟）双曲线的上焦点到双曲线一条渐近线的距离为，则双曲线两条渐近线的斜率之积为(　　)
A． B．4 C． D．2
8．（2024高三下·四川模拟）已知，分别为双曲线C的左、右焦点，过的直线与双曲线C的左支交于A，B两点，若，，则（　　）
A． B． C． D．
二、多项选择题
9．（2025·揭阳模拟）已知双曲线：，则（　　）
A．的实轴长是虚轴长的9倍 B．的渐近线方程为
C．的焦距为4 D．的离心率为
10．（2024高三上·靖远模拟）已知分别是等轴双曲线的左 右焦点，以坐标原点为圆心，的焦距为直径的圆与交于四点，则（　　）
A．的渐近线方程为
B．
C．
D．四边形的面积为
11．（2024高三下·贵阳模拟）双曲线的左、右焦点分别为点，斜率为正的渐近线为，过点作直线的垂线，垂足为点，交双曲线于点，设点是双曲线上任意一点，若，则（　　）
A．双曲线的离心率为
B．双曲线的共轭双曲线方程为
C．当点位于双曲线右支时，
D．点到两渐近线的距离之积为
三、填空题
12．（2025·成都模拟）双曲线的两个焦点分别是与，焦距为4，M是双曲线上的一点，且，则的面积是　 　.
13．（2025·郴州模拟）双曲线的左、右焦点分别为是双曲线C右支上一点，且直线的斜率为是面积为的直角三角形，则双曲线C的实半轴长为　 　．
14．（2025·顺德模拟）圆锥曲线在物理光学上都有各自光学性质．在双曲线中，从一个焦点发出的光线，经双曲线反射后，反射光线会散开，但反射光线的反向延长线经过双曲线的另一个焦点．已知双曲线的方程为，一束光线从的右焦点射出．经过反射后到达点．则光线从到所经过的路径长为　 　．
答案解析部分
1．【答案】B
【解析】【解答】解：中，，故，
故，故，
所以双曲线的焦点坐标为，渐近线方程为，
所以该双曲线的焦点到它的渐近线距离为.
故答案为：B.
【分析】先由离心率求出c，再结合a的值算出b，进而确定焦点坐标和渐近线方程，最后用点到直线距离公式求距离.
2．【答案】A
【解析】【解答】解：易知，，由，可得 ，即．
故答案为：A.
【分析】由题意，根据双曲线中的关系求解即可.
3．【答案】A
【解析】【解答】解：由题意可得：，，
因为，所以，解得，
则曲线的渐近线方程为.
故答案为：A.
【分析】由题意结合双曲线中的关系求得实半轴长，得双曲线的方程，再求渐近线的方程即可.
4．【答案】C
【解析】【解答】解：因为，
所以.
故答案为：C.
【分析】根据m的取值范围和双曲线的离心率公式，从而得出双曲线的离心率的值.
5．【答案】B
【解析】【解答】解：因为C为等轴双曲线，所以设双曲线的方程为：，
又因为，所以，即双曲线为：，
则双曲线的渐近线为：，
联立，解得，不妨设，，则为等腰直角三角形，
故的面积为.
故答案为：B.
【分析】由题意，先求双曲线的方程，即可求得双曲线的渐近线方程，易得两点的坐标，即可求的面积.
6．【答案】C
【解析】【解答】解：A、当时，曲线：表示椭圆，离心率，故A正确；
B、当时，曲线：表示双曲线，离心率，故B正确；
C、 若曲线上恰有两个不同的点， 使得，则曲线为椭圆，且 ，若焦点在上，则，
解得；若焦点在上，则，解得，即符合条件的还可以是8，故C错误；
D、当时，则曲线是焦点在x上的双曲线，则，
以线段为直径的圆与双曲线有4个交点，即符合条件的点有4个，故D正确.
故答案为：C.
【分析】根据曲线方程，结合椭圆、双曲线的性质逐项分析判断即可.
7．【答案】A
【解析】【解答】解：由已知可得，又，可设一条渐近线方程，
由点到直线的距离公式可得
两条渐近线的斜率为
故答案为：A.
【分析】先根据题意求出双曲线的渐近线，利用点到直线的距离公式可列出方程，解方程可求出a，进而求出两条渐近线的斜率，求出答案.
8．【答案】B
【解析】【解答】解：如图，
由于，，且，，
设，则，故，
所以，即，则，，，，
在中由余弦定理.
故答案为：B
【分析】本题考查双曲线的简几何性质.设，利用双曲线的定义可推出：，据此可表示出，，，，再在中利用余弦定理进行计算可求出答案.
9．【答案】B,D
【解析】【解答】对于A，由双曲线方程可得，
故得E的实轴长是虚轴长的3倍，故A错误；
对于B，E：的渐近线方程是，故B正确；
对于C，E的焦距为，故C错误；
对于D，E的离心率为，故D正确.
故答案为：BD.
【分析】根据题意，结合双曲线解析式得到a，b，c的关系，进而判断双曲线的性质包括实轴和虚轴、渐近线方程、焦距以及离心率即可得到结果.
10．【答案】A,B,D
【解析】【解答】解：A、双曲线为等轴双曲线，所以的渐近线方程为，故A正确；
BC、如图所示：
设在第一象限，由题意可得：，
①式平方，得，
则，，
故B正确，C错误；
D、设点，由题意可得，解得，
则矩形的面积为，故D正确.
故答案为：ABD.
【分析】根据等轴双曲线求的渐近线方程即可判断A；由双曲线的定义结合，解方程求出，即可判断B，C；设，矩形的面积为即可判断D.
11．【答案】A,C,D
【解析】【解答】解：如图，因为，所以，
，
则，所以，又，
在中，，
即，所以，则双曲线方程为，
对于选项A，双曲线的离心率为，A正确；
对于选项B，双曲线的共轭双曲线方程为，选项B错误；
对于选项C，，因为，
则，即，选项C正确；
对于选项D，渐近线方程为，设，
点到两渐近线的距离之积为，选项D正确，
故答案为：ACD.
【分析】利用三角形面积公式得，再利用余弦定理得，则解出双曲线方程，再利用离心率定义和共轭双曲线方程的含义即可判断选项AB；对于C，计算得，再根据的范围即可判断；对D，，利用点到直线的距离公式并结合点双曲线上化简即可.
12．【答案】6
【解析】【解答】解：已知双曲线的焦距为4，即，解得，
由，，解得或，
当时，点为双曲线离焦点较近的顶点，与共线，不符合要求，
因此，，为直角三角形，
所以的面积是.
故答案为：6
【分析】先利用双曲线定义和焦距为4可得=5，再利用三角形面积公式即可求解.
13．【答案】
【解析】【解答】解：设，
由题意可得：，，
因为，所以，求得，
即，
由正弦定理可得，
设，得，
因为的面积为，所以，
解得，则，，
由双曲线的定义可得，解得．
故答案为：.
【分析】由题意可知：点所在象限和，设，利用直线斜率求出三角函数值，利用正弦定理得到线段比例关系，结合三角形面积求出线段长度，最后根据双曲线定义求的值即可．
14．【答案】8
【解析】【解答】解：设双曲线的左焦点为，光线与双曲线的交点为，
由题意知：共线，则路径长．
故答案为：8.
【分析】根据双曲线的性质求解即可.
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