导数及其应用专题训练-2026年高考数学复习卷

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导数及其应用专题训练-2026年高考数学复习卷
一、选择题
1．已知函数的单调递增区间为，则的值为（　　）
A．3 B．2 C．1 D．
2．若函数有极值点，那么实数a的取值范围是（　　）
A． B．
C． D．
3．已知函数在处的导数为，则（　　）
A．3 B． C．6 D．
4．已知正实数x，y满足，则（　　）
A．2 B． C． D．
5．已知某物体在运动过程中，其位移S（单位：m）与时间t（单位：s）满足函数关系式，则该物体在时的瞬间速度为（　　）
A． B． C． D．
6．定义在上的函数的导数为，若，，则下列不等式一定成立的是（　　）
A． B．
C． D．
7．已知函数（且）存在最小值，当变化时，有（　　）
A．最大值 B．最小值
C．既有最大值，又有最小值 D．以上说法都不正确
8．在平面直角坐标系中有曲线和，直线与、分别相切于，直线（不同于）与、分别相切于点，则与交点的横坐标是（　　）
A． B． C． D．
二、多项选择题
9．设是函数的三个零点，则（　　）
A．
B．
C．若成等差数列，则成等比数列
D．若成等差数列，则
10．已知函数，则（　　）
A．为偶函数
B．曲线在点处的切线斜率为
C．，
D．不等式对恒成立
11．下列命题正确的是（　　）
A．
B．已知函数在R上可导，且，则
C．若函数都是可导函数，，则
D．一质点A沿直线运动，位移y（单位：m）与时间t（单位：s）之间的关系为，则该质点在t＝2s时的瞬时速度是4m/s
三、填空题
12．若函数的图象在点处的切线方程为　 　．
13．已知函数，若，，则的取值范围是　 　.
14．若圆与曲线的公切线经过，求　 　．
四、解答题
15．已知.
（1）求函数的最小值；
（2）若存在，使成立，求实数a的取值范围；
16．设函数．
（1）求在处的切线方程；
（2）求的极大值点与极小值点；
（3）求在区间上的最大值与最小值．
17．已知函数.
（1）设为的导函数，求在上的最小值；
（2）令，证明：当时，在上.
18．设函数，曲线在点处的切线方程为．
（1）求的值；
（2）设函数，求的单调区间；
（3）求的极值点个数．
19．双曲正余弦函数是数学中重要的超越函数，其定义基于指数函数的线性组合：双曲正弦函数定义为，双曲余弦函数定义为.
（1）求双曲余弦函数在处的切线方程；
（2）令，请讨论在的单调性；
（3）证明：.
答案解析部分
1．【答案】C
2．【答案】D
3．【答案】A
4．【答案】D
5．【答案】B
6．【答案】C
【解析】【解答】解：设函数，求导可得，
因为，所以，则在上单调递增，
设函数，求导可得，
因为，所以，则在上单调递减，
A、因为，所以，，
，，
则，，即，无法确定，故A错误；
B、，所以，，，，
则，即，，即，
所以，无法确定，故B错误；
C、，所以，，，．
则，即，
，即，所以，故C正确；
D、，所以，又因为，则，
所以，无法确定，故D错误.
故答案为：C．
【分析】设函数，，求导，利用导数判断函数的单调性，利用单调性比较大小逐项判断即可.
7．【答案】A
【解析】【解答】解：，定义域为，
所以，
令，得，
因为，所以当时，；当时，.
当时，，所以当时，；当时，，
所以在单调递增，在单调递减，此时不存在最小值，所以.
当时，，所以当时，；当时，，
所以在单调递减，在单调递增，所以在处取得最小值，
所以，，
所以，
令，得，
所以当时，；当时，，
所以在单调递增，在单调递减，
所以在处取得最大值，最大值为，无最小值.
故选：A.
【分析】先求得函数的定义域，再对函数进行求导，对a的值进行分类讨论利用求导判断函数的单调性确定最值从而得到的范围，再对求导判断单调性即可判断最值情况.
8．【答案】A
【解析】【解答】解：设，
对于曲线，求导得，
所以在处的切线方程为，
则，
对于曲线，求导得，
所以在处的切线方程为，
则，
又因为是与的公切线，
所以，
解得或，
不妨取，同理可得，
从而可得直线，即直线的方程为：，
同理可得直线，即直线的方程为：，
由，
解得，
所以与交点的横坐标是.
故答案为：A.
【分析】设，利用导数的几何意义求出直线的斜率，再利用点斜式求出直线和直线的方程，再联立两直线方程求解得出直线与直线交点的横坐标.
9．【答案】A,C,D
【解析】【解答】解：A、当时，，显然不符合题意；
当时，分别画出与的图像，如图所示：
显然有一个小于0的零点，有2个大于0的零点，A正确；
B、令，可得，设，则，
当时，，所以在上单调递减，
当时，，所以在上单调递减，
所以的最小值为，
要使得有两个大于0的零点，则，故B错误；
C、由题意，所以，
由于成等差数列，所以，所以，
所以，所以成等比数列，故C正确；
D、由，得，所以，
由于，解得，
又，则，故，
则，又故舍去，
因为，所以，故D正确.
故答案为：ACD.
【分析】将零点问题转化为的交点问题，结合函数单调性、数列性质分析选项：
1. 分析时与的交点，判断的范围；
2. 构造函数求的取值范围；
3. 结合等差数列条件推导等比关系及差值。
10．【答案】A,B,D
【解析】【解答】解：A、函数的定义域为，定义域关于原点对称，
满足，则函数为偶函数，故A正确；
B、，，则在点处的切线斜率为，故B正确；
C、，
当时，，则，故C错误；
D、令，则，
令，得；令，得；
则在上单调递减，在上单调递增，，
，当且仅当时等号成立，
则，故D正确.
故答案为：ABD.
【分析】求函数的定义域，再根据奇偶性的定义即可判断A；求导，利用导数的几何意义求解即可判断B；利用作差法即可判断C；构造函数，求导，利用导数判断函数的单调性，求函数的最值，即可判断D.
11．【答案】B,C,D
【解析】【解答】解：A、，该选项错误，不合题意；
B、，该选项正确，符合题意；
C、由导数运算法则知，该选项正确，符合题意.
D、由，求导得，因此质点在t＝2s时的瞬时速度是4m/s，该选项正确，符合题意.
故答案为：
【分析】分析导数相关选项时，A、C 项用导数运算法则直接计算判断；B 项通过导数定义的极限运算验证；D 项结合瞬时速度的物理意义求解，最终完成所有选项的判断.
12．【答案】
13．【答案】
【解析】【解答】解：，
若，当时，，则在上单调递增，
因，，则，解得；
若，当时，，
当时，，
所以当时，，当时，，
所以在，上单调递增，在上单调递减，
因，故要使得，，
则或，解得，
综上，的取值范围是.
故答案为：
【分析】先写出函数解析式，再分类讨论a与0的关系，由求导的方法判断单调性，利用单调性解即可.
14．【答案】
【解析】【解答】解：由题知，公切线斜率存在，设公切线方程为，
则到公切线的距离等于半径，
即，解得，
所以公切线方程为，
对于，设切点为，
所以，
则可得，解得.
故答案为：
【分析】由曲线 可知公切线斜率存在，设该方程为，根据圆与该直线相切性质即可求出公切线方程；设处的切点，该点在直线上，由切点处的导数即为切线斜率建立方程组可得.
15．【答案】（1）
（2）
16．【答案】（1）；
（2）极小值点为，极大值点为；
（3），.
17．【答案】（1）解：由题意知，
令，则，
当时，，
则，
所以在上单调递增，即在上单调递增，
则在上的最小值为.
（2）证明：由题意知，又因为，
所以，
令，
则，
因为，
所以，
则，
因此在上单调递增，
则当时，，
所以，
则在上单调递增，
所以，
则当时，在上.
【解析】【分析】（1）先判断的正负判断出函数在上的单调性，再利用函数的单调性求出在上的最小值.
（2）利用得，令，先求导，再通过分析的正负，从而判断出函数的单调性，进而得出函数的最值和的正负，从而判断出的单调性，进而得出函数g(x)的最值，从而证出当时，在上.
（1）由题意知，
令，则，
因为当时，，即，
所以即在上单调递增，
所以在上的最小值为.
（2）由题意知，又因为，
所以，
令，
则，
因为，所以，所以，
因此在上单调递增，
所以当时，，所以，
所以在上单调递增，所以，
即当时，在上.
18．【答案】（1）解：因为，
所以，
又因为在处的切线方程为，
所以，，
则，
解得，
所以.
（2）解：由（1）得，
则，
令，
解得，
不妨设，，
则，
易知恒成立，
则令，解得或；令，解得或；
所以在，上单调递减，在，上单调递增，
则的单调递减区间为和，
单调递增区间为和.
（3）解：由（1）得，，
由（2）知在，上单调递减，在，上单调递增，
当时，，，
则
所以在上存在唯一零点，
不妨设为，则，
此时，当时，，则单调递减；
当时，，则单调递增，
所以在上有一个极小值点；
当时，在上单调递减，
则，
所以，
则在上存在唯一零点，
不妨设为，则，
此时，当时，，则单调递增；
当时，，则单调递减，
所以在上有一个极大值点；
当时，在上单调递增，
则，
所以，
则在上存在唯一零点，
不妨设为，则，
此时，当时，，则单调递减；
当时，，则单调递增，
所以在上有一个极小值点；
当时，，
所以，
则单调递增，
所以在上无极值点，
综上所述：在和上各有一个极小值点，
在上有一个极大值点，共有个极值点.
【解析】【分析】（1）先对求导，再利用导数的几何意义得出切线的斜率，再利用代入法得出切点坐标，再根据点斜式方程得出曲线在点处的切线方程，再利用已知条件得出的值.
（2）由（1）和导数的运算法则和复合函数求导公式，从而得出函数的解析式，再利用导数的运算法则和复合函数求导公式，从而得出，再利用数轴穿针引线法得出与的解，从而得出函数的单调区间.
（3）结合（2）中结论，再利用零点存在定理，依次分类讨论区间，，与上的零点的情况，再利用导数与函数的极值点的关系，从而得出函数的极值点个数.
（1）因为，所以，
因为在处的切线方程为，
所以，，
则，解得，
所以.
（2）由（1）得，
则，
令，解得，不妨设，，则，
易知恒成立，
所以令，解得或；令，解得或；
所以在，上单调递减，在，上单调递增，
即的单调递减区间为和，单调递增区间为和.
（3）由（1）得，，
由（2）知在，上单调递减，在，上单调递增，
当时，，，即
所以在上存在唯一零点，不妨设为，则，
此时，当时，，则单调递减；当时，，则单调递增；
所以在上有一个极小值点；
当时，在上单调递减，
则，故，
所以在上存在唯一零点，不妨设为，则，
此时，当时，，则单调递增；当时，，则单调递减；
所以在上有一个极大值点；
当时，在上单调递增，
则，故，
所以在上存在唯一零点，不妨设为，则，
此时，当时，，则单调递减；当时，，则单调递增；
所以在上有一个极小值点；
当时，，
所以，则单调递增，
所以在上无极值点；
综上：在和上各有一个极小值点，在上有一个极大值点，共有个极值点.
19．【答案】（1）解：因为，所以，
所以，
又，所以在处的切线方程为.
（2）解：因为，，
则，
令，，则，
，当且仅当，即时，等号成立，
所以，
所以即在上单调递增，所以，
所以在上单调递增.
（3）证明：当时，；令，，则，
令，，则，
令，，
则，
所以在单调递增，∴，即在单调递增，
，即，即在单调递增，
，即当时，.
由（2）知当时，即，
因为，则，即，
所以，即（）；
令，
则，
当时，则有：，
，，；
相加可得：
，
其中
，
所以.
【解析】【分析】(1)利用导数求切线斜率，再结合切点坐标写出切线方程。
(2)对 求导，分析导数的单调性与符号，判断 的单调性。
(3)先构造辅助函数证明不等式 ，再令 ，将不等式累加，最后用裂项相消法求和完成证明。
（1）因为，所以，
所以，
又，所以在处的切线方程为.
（2）因为，，
则，
令，，则，
，当且仅当，即时，等号成立，
所以，
所以即在上单调递增，所以，
所以在上单调递增.
（3）先证：当时，；
令，，则，
令，，则，
令，，
则，
所以在单调递增，∴，即在单调递增，
，即，即在单调递增，
，即当时，.
由（2）知当时，即，
因为，则，即，
所以，即（）；
令，
则，
当时，则有：，
，，；
相加可得：
，
其中
，
所以.
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