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第15章 分式 单元综合提升卷
（时间：100分钟 满分：120分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．碳纳米管的硬度与金刚石相当，却拥有良好的柔韧性，可以拉伸，我国某物理所研究组已研制出直径为0.5纳米的碳纳米管，1纳米＝0.000000001米，则0.5纳米用科学记数法表示为（ ）
A．0.5×10-9米 B．5×10-8米 C．5×10-9米 D．5×10-10米
2．化简的结果是（ ）
A． B． C． D．
3．为吸引新用户支付宝推出“领红包抵现金活动”．甜甜在这个月中扫码共领取了100元红包，她想用这100元红包来买苹果．若买同样多的砂糖橘，还要从银行卡中多支付10元．已知每千克砂糖橘比每千克苹果贵2元，设每千克苹果x元，由此可列方程（ ）
A． B．
C． D．
4．随着快递业务的增长，某快递公司为快递员更换了快捷的交通工具，公司投递快件的能力由每周3000件提高到4200件，平均每人每周比原来多投递80件.若快递公司的快递员人数不变，求原来平均每人每周投递快件的件数.设原来平均每人每周投递快件x件，则根据题意可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
5．某种感冒病毒的直径为0.0000000031米，用科学记数法表示为（ ）
A．3.1×10﹣9米 B．3.1×109米
C．﹣3.1×109米 D．0.31×10﹣8米
6．下列各式变形正确是（ ）
A．
B．
C．
D．
7．市政府为了贯彻落实“把绿水青山变成金山银山，用绿色杠杆撬动经济转型”发展理念，开展荒山绿化，打造美好家园，促进旅游发展．某工程队承接了90万平方米的荒山绿化任务，为了迎接雨季的到来，实际工作时每天的工作效率比原计划提高了25%，结果提前30天完成了任务．设原计划每天绿化的面积为x万平方米，则所列方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
8．计算：的结果为（ ）
A．m B．m﹣2 C．1 D．
9．如果关于x的不等式组有且仅有四个整数解，且关于y的分式方程-＝1有非负数解，则符合条件的所有整数m的和是( )
A．13 B．15 C．20 D．22
10．已知公式 （ ），则表示 的公式是（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．耳温枪是非接触摇测式的温度测量仪，它是利用检测鼓膜所发出的红外线光谱来测定体温.人体鼓膜的辐射能量主要处于6—15 区，已知 ，将数量 用科学记数法表示为 .
12．甲、乙二人做某种机器零件．已知甲每小时比乙多做个，甲做个所用的时间与乙做个所用的时间相等．求乙每小时做零件的个数．若设乙每小时做个零件，则根据题意可列方程为 ．
13．关于x的分式方程 无解，则m的值是
14．解分式方程去分母时，方程两边同乘的最简公分母是 .
15． ﹣（π﹣2019）0＝ ．
16．若关于的不等式组无解，且关于的分式方程有正整数解，则满足条件的所有整数的和为 ．
三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21题每题8分，22、23每题9分，24、25每题10分，共计72分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．先化简，再求值，其中．
18．某地电信公司调低了电话费收费标准，每分钟费用降低了25%。因此，按原收费标准6元话费的通话时间，在新收费标准下可多通话10分钟。前后两种收费标准每分钟收费各是多少
19．先化简，再求值：（+）÷，其中a=﹣1．
20．研学活动继承和发展了我国传统游学“读万卷书，行万里路”的教育理念和人文精神，成为教育的新内容和新方式．朝阳区一所中学组织学生去某市进行研学活动，原计划乘坐特快列车前往，为了节省时间，现改为乘坐高铁列车前往．已知北京与该市的距离约为1200千米，高铁列车的平均速度是特快列车的平均速度的2.4倍，且乘坐高铁列车所用时间比乘坐特快列车所用时间少用7小时，求特快列车的平均速度．
21．京沪铁路是我国东部沿海地区纵贯南北的交通大动脉，全长 ，是我国最繁忙的铁路干线之一.如果从北京到上海的客车速度是货车速度的2倍，客车比货车少用 ，那么货车的速度是多少？（精确到 ）
22．某自动化车间计划生产480个零件，当生产任务完成一半时，停止生产进行自动化程序软件升级，用时20 min，恢复生产后工作效率比原来提高了 ，结果完成任务时比原计划提前了40 min.则软件升级后每小时生产多少个零件
23．计算：
（1）
（2）
24．解方程（组）：
（1）；
（2）．
25．我们知道，“整式乘法”与“因式分解”是方向相反的变形．类似的，“几个分式相加”与“将一个分式化成几个分式之和的形式”也是方向相反的变形，我们称这种与“几个分式相加”方向相反的变形为“分式分解”．
例如，将分式分解：．
（1）将分式分解的结果为________；
（2）若可以分式分解为（其中，，是常数），则________，________；
（3）当时，判断与的大小关系，并证明．
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第15章 分式 单元综合提升卷
（时间：100分钟 满分：120分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．碳纳米管的硬度与金刚石相当，却拥有良好的柔韧性，可以拉伸，我国某物理所研究组已研制出直径为0.5纳米的碳纳米管，1纳米＝0.000000001米，则0.5纳米用科学记数法表示为（ ）
A．0.5×10-9米 B．5×10-8米 C．5×10-9米 D．5×10-10米
【答案】D
【解析】【解答】解：0.5纳米=0.5×0.000 000 001米=0.000 000 000 5米=5×10-10米．
故答案为：D．
【分析】小于1的正数用科学记数法表示，一般形式为a×10-n.
2．化简的结果是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】【解答】解：
故答案为：A．
【分析】先将分式进行通分，然后将分式进行减法运算，最后将分子分母进行化简即可.
3．为吸引新用户支付宝推出“领红包抵现金活动”．甜甜在这个月中扫码共领取了100元红包，她想用这100元红包来买苹果．若买同样多的砂糖橘，还要从银行卡中多支付10元．已知每千克砂糖橘比每千克苹果贵2元，设每千克苹果x元，由此可列方程（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】【解答】解：设每千克苹果x元，根据题意得： ．故答案为：A．
【分析】由题意可得相等关系：买砂糖橘的千克数=买苹果的千克数，根据这个相等关系列方程即可求解。
4．随着快递业务的增长，某快递公司为快递员更换了快捷的交通工具，公司投递快件的能力由每周3000件提高到4200件，平均每人每周比原来多投递80件.若快递公司的快递员人数不变，求原来平均每人每周投递快件的件数.设原来平均每人每周投递快件x件，则根据题意可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】【解答】解：设原来平均每人每周投递快件x件，则现在平均每人每周投递快件（x+80）件，依题意得：
故答案为：D.
【分析】原来平均每人每周投递快件x件，则现在平均每人每周投递快件（x+80）件，再结合已知 公司投递快件的能力由每周3000件提高到4200件 可列方程解决即可.
5．某种感冒病毒的直径为0.0000000031米，用科学记数法表示为（ ）
A．3.1×10﹣9米 B．3.1×109米
C．﹣3.1×109米 D．0.31×10﹣8米
【答案】A
【解析】【解答】解：0.0000000031=3.1×10﹣9，
故答案为：A．
【分析】绝对值小于1的数的科学记数法表示为形式，，正整数n为第一个非零数字前0的个数，包括小数点前的那个0.
6．下列各式变形正确是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】【解答】A、原式 ，所以A选项不符合题意；
B、原式= ，所以B选项不符合题意；
C、原式= ，所以C选项不符合题意；
D、 ，所以D选项符合题意．
故答案为：D．
【分析】根据分式的分子分母都乘以或除以同一个不为零的数或者同一个不为零的整式，分式的值不变，可得答案．
7．市政府为了贯彻落实“把绿水青山变成金山银山，用绿色杠杆撬动经济转型”发展理念，开展荒山绿化，打造美好家园，促进旅游发展．某工程队承接了90万平方米的荒山绿化任务，为了迎接雨季的到来，实际工作时每天的工作效率比原计划提高了25%，结果提前30天完成了任务．设原计划每天绿化的面积为x万平方米，则所列方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】【解答】解：设原计划每天绿化的面积为x万平方米，则实际每天绿化的面积为(1+25%)x，实际所需的时间为，原计划所需的时间为，
∵结果提前30天完成了任务，
∴-=30.
故答案为：A.
【分析】设原计划每天绿化的面积为x万平方米，则实际每天绿化的面积为(1+25%)x，然后表示出实际、原计划所需的时间，结合结果提前30天完成了任务就可列出方程.
8．计算：的结果为（ ）
A．m B．m﹣2 C．1 D．
【答案】C
【解析】【解答】解：，
=
＝1，
故答案为：C．
【分析】直接利用分式的减法计算法则求解即可。
9．如果关于x的不等式组有且仅有四个整数解，且关于y的分式方程-＝1有非负数解，则符合条件的所有整数m的和是( )
A．13 B．15 C．20 D．22
【答案】B
【解析】【解答】解：
由①得：-5x≥2-m，
x≤，
由②得：x-＜3x+，
2x-11＜6x+3，
-4x＜14，
x＞，
∴不等式的解集为：＜x≤，
∵不等式组有且仅有四个整数解，
∴0≤＜1，
∴2≤m＜7，
解分式方程得：2-my+8=2-y，
y-my=-8，
（1-m）y=-8，
y=，
∵分式方程有非负数解，
∴≥0且≠2，
∴m＞1且m≠5，
综上所述，2≤m＜7且m≠5，
∴符合条件的所有整数m的和=2+3+4+6=15.
故答案为：B.
【分析】分别解出不等式组和分式方程，根据题意得出m的不等式，解得m的取值范围，从而得解；注意解分式方程时记得验根.
10．已知公式 （ ），则表示 的公式是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】【解答】解 ：∵ ，∴，∴，∴，∴∴，∵ ，∴；
故答案为 ：D。
【分析】将方程的右边利用异分母分式的加法法则通分计算，然后根据两内项之积等于两外项之积去分母，再移项合并同类项，再根据等式的性质，方程的两边都除以(R2-R)即可得出答案。
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．耳温枪是非接触摇测式的温度测量仪，它是利用检测鼓膜所发出的红外线光谱来测定体温.人体鼓膜的辐射能量主要处于6—15 区，已知 ，将数量 用科学记数法表示为 .
【答案】
【解析】【解答】解： 用科学记数法表示为 ，
故答案为： .
【分析】用科学记数法表示绝对值小于1的数，形如 为负整数，据此解题.
12．甲、乙二人做某种机器零件．已知甲每小时比乙多做个，甲做个所用的时间与乙做个所用的时间相等．求乙每小时做零件的个数．若设乙每小时做个零件，则根据题意可列方程为 ．
【答案】
【解析】【解答】解：设乙每小时做个零件，
由题意得，，
故答案为：．
【分析】设乙每小时做个零件，根据题意： 甲做个所用的时间与乙做个所用的时间相等，据此列出方程.
13．关于x的分式方程 无解，则m的值是
【答案】1
【解析】【解答】因为分式方程无解，必有x=1， 去分母得x-2(x-1)=m， 把x=1代入得1-2(1-1)=m， ∴m=1
【分析】先去分母，分式方程无解，即当分母等于零时，代入其整式方程求系数值。
14．解分式方程去分母时，方程两边同乘的最简公分母是 .
【答案】x（x+1）
【解析】【解答】解： 分式方程的最简公分母为x（x+1）.
故答案为：x（x+1）.
【分析】观察此分式方程中的分母，可得到此分式方程的最简公分母.
15． ﹣（π﹣2019）0＝ ．
【答案】1
【解析】【解答】解：原式＝2﹣1＝1．
故答案为：1．
【分析】由负整数指数幂的性质以及0指数幂的性质，计算得到答案即可。
16．若关于的不等式组无解，且关于的分式方程有正整数解，则满足条件的所有整数的和为 ．
【答案】
【解析】【解答】解：，
解不等式①得，，
解不等式②得，，
关于的不等式组无解，
，
解得，
，
方程可化为，
方程两边同乘得，，
解得，
是正整数，，
或或或，
当时，，分式方程无解，舍去，
或或，
满足条件的所有整数的和为，
故答案为：．
【分析】根据不等式组的解的情况得出的取值范围，再根据分式方程的解为正整数解进一步得出的值，即可得出答案.
三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21题每题8分，22、23每题9分，24、25每题10分，共计72分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．先化简，再求值，其中．
【答案】解
，
当时，原式．
【解析】【分析】先对前两个分式的分子、分母能分解因式乘法，进而根据同分母分式加法法则算出最简结果，最后将x的值代入化简后的式子中计算即可．
18．某地电信公司调低了电话费收费标准，每分钟费用降低了25%。因此，按原收费标准6元话费的通话时间，在新收费标准下可多通话10分钟。前后两种收费标准每分钟收费各是多少
【答案】解：设原来的收费标准为元／分，则调低后的收费标准为元／分。
由题意，得，解得。
经检验，是所列方程的根，且符合题意。
（元／分）。
答：原来的收费标准为0.2元／分，调低后的收费标准为0.15元／分。
【解析】【分析】设调费前每分钟收费x元，则调费费后每分钟收费（1-25%）x元，根据“ 按原收费标准6元话费的通话时间，在新收费标准下可多通话10分钟 ”，即可得出关于x的分式方程，解之并检验后即可得出结论.
19．先化简，再求值：（+）÷，其中a=﹣1．
【答案】解：原式=[+] = =，
当a=﹣1时，原式==．
【解析】【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的加法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把a的值代入计算即可求出值．
20．研学活动继承和发展了我国传统游学“读万卷书，行万里路”的教育理念和人文精神，成为教育的新内容和新方式．朝阳区一所中学组织学生去某市进行研学活动，原计划乘坐特快列车前往，为了节省时间，现改为乘坐高铁列车前往．已知北京与该市的距离约为1200千米，高铁列车的平均速度是特快列车的平均速度的2.4倍，且乘坐高铁列车所用时间比乘坐特快列车所用时间少用7小时，求特快列车的平均速度．
【答案】解：设特快列车的平均速度为千米/时，则高铁列车的平均速度为千米/时．
由题意，得．
解得．
经检验，是原方程的解，且符合题意．
答：特快列车的平均速度为100千米/时．
【解析】【分析】设特快列车的平均速度为千米/时，则高铁列车的平均速度为千米/时，根据题意建立方程，解方程即可求出答案.
21．京沪铁路是我国东部沿海地区纵贯南北的交通大动脉，全长 ，是我国最繁忙的铁路干线之一.如果从北京到上海的客车速度是货车速度的2倍，客车比货车少用 ，那么货车的速度是多少？（精确到 ）
【答案】解：设货车的速度为
由题意得
经检验 是该方程的解
答：货车的速度是 千米/小时
【解析】【分析】设货车的速度为xkm/h，则客车的速度是2xm/h，客车行完全程需要的时间是小时，货车行完全程需要的时间是小时，根据北京到上海客车比货车少用6h，列出方程，求解并检验即可。
22．某自动化车间计划生产480个零件，当生产任务完成一半时，停止生产进行自动化程序软件升级，用时20 min，恢复生产后工作效率比原来提高了 ，结果完成任务时比原计划提前了40 min.则软件升级后每小时生产多少个零件
【答案】解设软件升级前每小时生产 x 个零件，
得
则软件升级后每小时完成80个零件.
【解析】【分析】解设软件升级前每小时生产 x 个零件， 根据题意可知实际比原计划少用（20+40）分钟，从而得出方程：解方程并进行检验，即可得出软件升级前每小时生产零件的个数，进而可求得 软件升级后每小时生产零件的个数。
23．计算：
（1）
（2）
【答案】（1）解：原式=
=
=
（2）解：原式=
=
=
【解析】【分析】（1）先对括号内容进行通分，再对的分子、分母进行因式分解，最后再约分化简即可.
（2）先对括号内容进行通分，再对分母进行因式分解，最后再约分化简即可.
24．解方程（组）：
（1）；
（2）．
【答案】（1）解：，得，代入中，
解得：，
∴方程组的解为：；
（2），
方程两边都乘，得，
解得：，
检验：当时，，
所以是分式方程的解．
【解析】【分析】（1）利用加减消元法解二元一次方程组；
（2）方程两边都乘，先将分式方程化为整式方程，再求出整式方程的解，进行检验后，即可解出分式方程的解．
（1）解：，
得，代入中，
解得：，
∴方程组的解为：；
（2），
方程两边都乘，得，
解得：，
检验：当时，，
所以是分式方程的解．
25．我们知道，“整式乘法”与“因式分解”是方向相反的变形．类似的，“几个分式相加”与“将一个分式化成几个分式之和的形式”也是方向相反的变形，我们称这种与“几个分式相加”方向相反的变形为“分式分解”．
例如，将分式分解：．
（1）将分式分解的结果为________；
（2）若可以分式分解为（其中，，是常数），则________，________；
（3）当时，判断与的大小关系，并证明．
【答案】（1）；
（2）1，3；
（3）解：
证明：
，
，，
，，
．
【解析】【解答】（1）解：，
故答案为：；
（2）
解：
，
，
，解得，
故答案为：1，3；
【分析】
（1）(1)根据“分式分解”的定义，仿照所给示例，将分子拆分x+(x+1)，然后进行约分得到分式分解的结果；
（2）将通分，根据分母与原式分母的关系确定m的值，再根据分子对应相等列出方程组，求解得到p和q的值即可得答案；
（3）判断两个分式的大小关系，采用作差法，先通分，然后对分子进行展开化简，再根据x的取值范围判断差的正负，从而确定两个分式的大小关系即可得出答案．
（1）解：，
故答案为：；
（2）解：
，
，
，解得，
故答案为：1，3；
（3）证明：
，
，，
，，
．
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