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二次函数 单元同步练习卷
（时间：100分钟 满分：120分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．在平面直角坐标系中，抛物线y=x2﹣1与x轴交点的个数（ ）
A．3 B．2 C．1 D．0
2．已知函数y=x2+2x﹣3，当x=m时，y＜0，则m的值可能是（ ）．
A． B． C． D．
3．如图，点A，B的坐标分别为（1，4）和（4，4），抛物线的顶点在线段AB上运动，与x轴交于C、D两点（C在D的左侧），点C的横坐标最小值为-3，则点D的横坐标最大值为(▲)
A．－3 B．1 C．5 D．8
4．将抛物线y=x2+4x+3向左平移1个单位，再向下平移3个单位的所得抛物线的表达式是（ ）
A．y=(x+1)2-4 B．y=-(x+1)2-4 C．y=(x+3)2-4 D．y=-(x+3)2-4
5．若二次函数y=x2+bx+5配方后为y=（x﹣2）2+k，则b、k的值分别为（ ）
A．0 5 B．0 1 C．﹣4 5 D．﹣4 1
6．抛物线y=ax ＋bx＋c(a>0)与直线y=bx＋c在同一坐标系中的大致图像可能为（ ）
A． B．
C． D．
7．二次函数的图象在这一段位于轴的下方，在这一段位于轴的上方，则的值为（ ）
A．1 B．-1 C．2 D．-2
8．对于二次函数的图象，下列说法正确的是（ ）
A．图象与y轴交点的坐标是
B．对称轴是直线
C．顶点坐标为
D．当时，y随x的增大而增大
9．已知二次函数y＝（x﹣h）2（h为常数），当自变量x的值满足﹣1≤x≤3时，与其对应的函数值y的最小值为4，则h的值为（ ）
A．1或5 B．﹣5成3 C．﹣3或1 D．﹣3或5
10．如图，在边长为的正方形中，为边靠近点的四等分点为边上一动点，将线段绕点顺时针旋转得到线段连接，则的最小值为( )
A． B． C． D．
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．已知（﹣1，y1），（﹣3，y2），（ ，y3）在函数y＝3x2+6x+12的图象上，则y1，y2和y3的大小关系为
12．若函数y=﹣3xm﹣4+3是二次函数，则m= ．
13．当时，直线（m为常数）与抛物线在自变量x取值范围内的图象有一个交点，则m的取值范围是 ．
14．将抛物线y=ax2+bx+c沿x轴向左平移2个单位，再沿y轴向上平移3个单位，得到的抛物线的函数解析式为y=x2﹣2x+1，则a、b、c分别等于 、 、 ．
15．抛物线y=－x2向上平移2个单位，再向右平移3个单位得到图象的解析式为 。
16．如图，直线 和抛物线 都经过点 ，不等式 的解集 .
三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21题每题8分，22、23每题9分，24、25每题10分，共计72分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．如图①，一个可调节高度的喷灌架喷射出的水流可以近似地看成抛物线．图②是喷射出的水流在平面直角坐标系中的示意图，其中喷灌架置于点O处，喷水头的高度（喷水头距喷灌架底部的距离）设置的是1米，当喷射出的水流距离喷水头水平距离为8米时，达到最大高度5米．
（1）求水流运行轨迹的函数解析式；
（2）若在距喷灌架米处有一棵米高的果树，问：水流是否会碰到这棵果树？请通过计算说明．
18．用一段长为的篱笆围成一个一边靠墙的矩形鸡场，若墙长，求这个矩形养鸡场最大面积。
19．已知点P（m，n）在抛物线y＝a（x﹣1）2+3（a为常数，a≠0）上．
（1）若m＝2，n＝4，
①求抛物线的解析式；
②若点A（t﹣1，y1），B（t，y2）在该二次函数的图象上，且点A在对称轴左侧、点B在对称轴右侧，若y1＜y2，求t的取值范围；
（2）若﹣1≤m≤0时，总有n≥﹣2，且当3≤m＜4时总有n≤﹣2，求a的值．
20．抛物线顶点坐标是且经过点．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）求该抛物线与坐标轴的交点坐标．
21．如图，抛物线与直线交于两点．
（1）分别求出的值；
（2）求的最大值；
（3）求点A的坐标，并根据图象判断，当x取何值时，？
22． 第九届亚洲冬季运动会于2025年2月7日--14日在哈尔滨举行，本届赛会的口号是“冰雪同梦，亚洲同心”，其中亚冬会吉祥物“滨滨”和“妮妮”寓意“哈尔滨欢迎您”.亚冬会特许商品零售店预售吉祥物“滨滨”，该吉祥物每个进价为40元，规定售价不低于进价，现在售价为每个60元，每天可销售100个.经市场调查发现，若售价每降价1元，则每天销售量将增加8个，设每个吉祥物降价x元（x为整数），每天销售量为y个.
（1）写出y关于x的函数表达式，并写出x的取值范围；
（2）设每天销售吉祥物“滨滨”的利润为W元，求出W关于x的函数表达式；
（3）零售店定价为多少时，才能使得每天销售吉祥物“滨滨”的利润最大？最大利润是多少元？
23．已知抛物线的顶点为 A (1，-4)，且过点 B(3，0)．
（1）求二次函数解析式；
（2）当y>0时，求x的范围；
（3）当 -124．已知二次函数
（1）若二次函数的图象经过(2，-5)，(1，-4)，(-1，-6)三点中的某一个点.
①判断该二次函数的图象经过上述三点中的哪一个点；
②当x≥m时，该函数的最小值是-3，求m的值.
（2）若二次函数的图象经过点(n，p)，(n+3，q)，求当p25．如图所示，抛物线y=ax2+c与x轴交于A，B两点，顶点为C，且位于x轴的下方，若点P (1，-3)，B(4，0)．
（1）求该抛物线的函数表达式．
（2）若D是抛物线上一点，且满足∠DPO=∠POB，求点D的坐标．
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二次函数 单元同步练习卷
（时间：100分钟 满分：120分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．在平面直角坐标系中，抛物线y=x2﹣1与x轴交点的个数（ ）
A．3 B．2 C．1 D．0
【答案】B
【解析】【解答】解：∵b
2﹣4ac=0﹣4×1×（﹣1）=4＞0
∴二次函数y=x2﹣1的图象与x轴有两个交点．
故B符合题意.
故答案为：B.
【分析】先求出方程的判别式的值大于0，根据二次函数的图象与一元二次方程的联系可得答案.二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的交点与一元二次方程ax2+bx+c=0根之间的关系．
△=b2-4ac决定抛物线与x轴的交点个数．
△=b2-4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；
△=b2-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；
△=b2-4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．
2．已知函数y=x2+2x﹣3，当x=m时，y＜0，则m的值可能是（ ）．
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】【解答】解：令y=0，得到x2+2x﹣3=0，即（x﹣1）（x+3）=0，
解得：x=1或x=﹣3，
∴该函数图象与x轴两交点坐标为(1，0)，(-3，0)，
∵该函数二次项系数为1＞0，
∴该函数图象开口向上，
∴当﹣3＜x＜1时，y＜0，则m的值可能是0．
故答案为：B．
【分析】令抛物线解析式中的y=0算出对应的自变量x的值可得该函数图象与x轴两交点坐标为(1，0)，(-3，0)，由于该函数二次项系数＞0，故该函数图象开口向上，从而得出当﹣3＜x＜1时，该函数图象在x轴下方，这部分图象上点对应的函数值＜0，据此逐一判断得出答案.
3．如图，点A，B的坐标分别为（1，4）和（4，4），抛物线的顶点在线段AB上运动，与x轴交于C、D两点（C在D的左侧），点C的横坐标最小值为-3，则点D的横坐标最大值为(▲)
A．－3 B．1 C．5 D．8
【答案】D
【解析】【解答】解：当点C横坐标为-3时，抛物线顶点为A（1，4），对称轴为x=1，
∴D点横坐标为5，则CD=8；
当抛物线顶点为B（4，4）时，抛物线对称轴为x=4，且CD=8，故C（0，0），D（8，0）；
∵D点横坐标最大，
∴点D的横坐标最大值为8；
故答案为：D
【分析】根据抛物线的性质即可求出答案.
4．将抛物线y=x2+4x+3向左平移1个单位，再向下平移3个单位的所得抛物线的表达式是（ ）
A．y=(x+1)2-4 B．y=-(x+1)2-4 C．y=(x+3)2-4 D．y=-(x+3)2-4
【答案】C
【解析】【解答】解：∵y=x2+4x+3
=x2+4x+4-4+3
=（x+2）2-1
∵将抛物线y=x2+4x+3向左平移1个单位，再向下平移3个单位
∴平移后的函数解析式为：y=（x+2+1）2-1-3，即y=（x+3）2-4.
故答案为：C
【分析】利用配方法将函数解析式转化为顶点式，再根据二次函数图象的平移规律：上加下减，左加右减，将抛物线y=ax2向上或向下平移m个单位，再向左或向右平移n个单位即得到y=a（x±n）2±m。根据平移规则即可得出平移后的抛物线的解析式。
5．若二次函数y=x2+bx+5配方后为y=（x﹣2）2+k，则b、k的值分别为（ ）
A．0 5 B．0 1 C．﹣4 5 D．﹣4 1
【答案】D
【解析】【解答】解：∵y=（x﹣2）2+k=x2﹣4x+4+k，
∴x2+bx+5=x2﹣4x+4+k，
∴b=﹣4，4+k=5，
∴k=1．
故选D．
【分析】把y=（x﹣2）2+k化为一般式，根据对应相等得出b，k的值．
6．抛物线y=ax ＋bx＋c(a>0)与直线y=bx＋c在同一坐标系中的大致图像可能为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】【解答】解：A选项中抛物线开口向下，a<0，>0，故b>0，此时直线的斜率为正，故不满足题意；
B、C、D选项中抛物线开口向上，a>0，>0，故b<0，此时直线的斜率为负，且抛物线与y轴的交点和直线与y轴的交点相同，故B满足题意，C、D不满足题意.
故答案为B.
【分析】首先由抛物线的开口方向判断出a的正负，然后由对称轴的位置判断出b的正负，接下来判断出直线的斜率的正负，结合抛物线与直线在y轴上的交点相同就可得到答案.
7．二次函数的图象在这一段位于轴的下方，在这一段位于轴的上方，则的值为（ ）
A．1 B．-1 C．2 D．-2
【答案】A
【解析】【解答】解：抛物线的对称轴为直线，
而抛物线在这一段位于轴的上方，
抛物线在这一段位于轴的上方，
抛物线在这一段位于轴的下方，
抛物线过点（2，0），
把（2，0）代入得：，
即，
解得．
故答案为：A.
【分析】根据抛物线的解析式可得对称轴为直线x=4，由抛物线的对称性可得抛物线在1＜x＜2这一段位于x轴的上方，结合题意得抛物线一定经过点（2，0），代入求解可得a的值.
8．对于二次函数的图象，下列说法正确的是（ ）
A．图象与y轴交点的坐标是
B．对称轴是直线
C．顶点坐标为
D．当时，y随x的增大而增大
【答案】D
【解析】【解答】解：对于二次函数的图象，
当x=0时，y=-149，∴图像与y轴交点坐标为（0，-149），A选项说法不符合题意；
抛物线对称轴为直线x=-6，B选项说法不符合题意
抛物线顶点坐标为（-6，-5），C选项说法不符合题意
∵a=-4＜0，∴图像开口向下
当时，y随x的增大而增大，D选项说法符合题意
故答案为：D．
【分析】根据抛物线顶点式的图象和性质逐项判断即可。
9．已知二次函数y＝（x﹣h）2（h为常数），当自变量x的值满足﹣1≤x≤3时，与其对应的函数值y的最小值为4，则h的值为（ ）
A．1或5 B．﹣5成3 C．﹣3或1 D．﹣3或5
【答案】D
【解析】【解答】解：∵当x＞h时，y随x的增大而增大，当x＜h时，y随x的增大而减小，
∴①若h＜﹣1≤x≤3，x＝﹣1时，y取得最小值4，
可得：（﹣1﹣h）2＝4，
解得：h＝﹣3或h＝1（舍）；
②若﹣1≤x≤3＜h，当x＝3时，y取得最小值4，
可得：（3﹣h）2＝4，
解得：h＝5或h＝1（舍）；
③若﹣1＜h＜3时，当x＝h时，y取得最小值为0，不是4，
∴此种情况不符合题意，舍去．
综上，h的值为﹣3或5，
故答案为：D．
【分析】由解析式可知该函数在x＝h时取得最小值0，x＞h时，y随x的增大而增大；当x＜h时，y随x的增大而减小；根据﹣1≤x≤3时，函数的最小值为4可分如下两种情况：①若h＜﹣1≤x≤3，x＝﹣1时，y取得最小值4；②若﹣1≤x≤3＜h，当x＝3时，y取得最小值4，分别列出关于h的方程求解即可．
10．如图，在边长为的正方形中，为边靠近点的四等分点为边上一动点，将线段绕点顺时针旋转得到线段连接，则的最小值为( )
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】【解答】解：过点G作GM⊥AB于点M，作GN⊥AD于点N
∵四边形ABCD是正方形
∴∠A=90°
∵GM⊥AB，GN⊥AD
∴∠FMG=∠DNG=90°
∴四边形AMGN是矩形
∴MG=AN，AM=NG，∠A=∠FMG
∵线段绕点顺时针旋转得到线段
∴EF=FG，∠EFG=90°
∴∠EFA+∠GFM=90°
∵∠GFM+∠FGM=90°
∴∠EFA=∠FGM
在△AEF和△MFC中
∴△AEF≌△MFC(AAS)
∴AE=MF，AF=MG
∵AE=1
∴MF=1
设AF=x（0≤x≤4）
则MG=x，AM=x+1，AN=MG=x
∴NG=x+1
∵AB=4
∴DN=4-x
∴
∴当时，DG取最小值，最小值为
故答案为：C
【分析】过点G作GM⊥AB于点M，作GN⊥AD于点N，根据矩形的判定定理可得四边形AMGN是矩形，则MG=AN，AM=NG，∠A=∠FMG，再根据旋转性质及全等三角形判定定理可得△AEF≌△MFC(AAS)，则AE=MF=1，AF=MG，设AF=x（0≤x≤4），再根据勾股定理，结合二次函数的性质即可求出答案.
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．已知（﹣1，y1），（﹣3，y2），（ ，y3）在函数y＝3x2+6x+12的图象上，则y1，y2和y3的大小关系为
【答案】y1＜y3＜y2
【解析】【解答】解；x= 1时，y1=3×( 1) 2 +6×( 1)+12=3 6+12=9，
x= 时，y2 =3×( )2 +6×( )+12=27 ，
x= 时，y 3 =3×( )2 +6× +12=0.75+3+12=15
所以，y1，y2，y3的大小关系为y1＜y3＜y2.
故答案为：y1＜y3＜y2.
【分析】分别将三点的横坐标代入抛物线的解析式，算出对应的函数值，再比大小即可得出答案.
12．若函数y=﹣3xm﹣4+3是二次函数，则m= ．
【答案】6
【解析】【解答】解：由题意得：m﹣4=2，
解得：m=6，
故答案为：6．
【分析】根据二次函数定义可得m﹣4=2，再解即可．
13．当时，直线（m为常数）与抛物线在自变量x取值范围内的图象有一个交点，则m的取值范围是 ．
【答案】-2＜m≤1或m=-3
【解析】【解答】解：∵抛物线y=（x-2）2-3，
∴抛物线的顶点坐标为（2，3）
当x=0时y=1，
∴抛物线与y轴的交点坐标为（0，1），
当y=0时（x-2）2-3=0，
解之：，
∴抛物线与x轴的交点坐标为，
当x=1时y=-2，当x=4时y=1，
二次函数图象如下
由图象可知直线y=m与抛物线y=（x-2）2-3在1≤x≤4内图象有一个交点，
∴m的取值范围为-2＜m≤1或者m=-3.
故答案为-2＜m≤1或m=-3
【分析】利用函数解析式可得到抛物线的顶点坐标，再由y=0求出对应的x的值，由x=0求出对应的y的值，可得到抛物线与x轴，y轴的交点坐标，然后画出函数图象，再求出当x=1和x=4时的函数值，观察函数图象，可得到直线y=m在1≤x≤4内与抛物线的图象有一个交点时的m的取值范围.
14．将抛物线y=ax2+bx+c沿x轴向左平移2个单位，再沿y轴向上平移3个单位，得到的抛物线的函数解析式为y=x2﹣2x+1，则a、b、c分别等于 、 、 ．
【答案】1；﹣6；6
【解析】【解答】解：y=x2﹣2x+1=（x﹣1）2，
把y=（x﹣1）2沿x轴向右平移2个单位，再沿y轴向下平移3个单位得到抛物线的解析式为y=（x﹣3）2﹣3=x2﹣6x+6，
所以a=1，b=﹣6，c=6，
故答案是：1、﹣6，6．
【分析】把y=x2﹣2x+1配方得到y=（x﹣1）2，根据题意反向平移，即把y=（x﹣1）2沿x轴向右平移2个单位，再沿y轴向下平移3个单位得到抛物线的解析式为y=（x﹣3）2﹣3=x2﹣6x+6，则可确定a、b与c的值．
15．抛物线y=－x2向上平移2个单位，再向右平移3个单位得到图象的解析式为 。
【答案】y=-（x-3）2+2
【解析】【解答】解：依题可得：
y=-（x-3）2+2，
故答案为：y=-（x-3）2+2.
【分析】根据：“上加下减，左加右减”即可得出答案.
16．如图，直线 和抛物线 都经过点 ，不等式 的解集 .
【答案】
【解析】【解答】解：依题意得求关于x的不等式x2+bx+c＜x+m的解集，
实质上就是根据图象找出函数y=x+m的值大于函数y=x2+bx+c值时x的取值范围，而y=x2+bx+c的开口方向向上，且由两个函数图象的交点为A（1，0），B（3，2），结合两个图象的位置，可以得到此时x的取值范围：1＜x＜3.
故答案为：1＜x＜3.
【分析】求关于x的不等式x2+bx+c＜x+m的解集，实质上就是根据图象找出函数y=x+m的值大于函数y=x2+bx+c值时x的取值范围；由两个函数图象的交点及图象的位置，即可求得范围.
三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21题每题8分，22、23每题9分，24、25每题10分，共计72分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．如图①，一个可调节高度的喷灌架喷射出的水流可以近似地看成抛物线．图②是喷射出的水流在平面直角坐标系中的示意图，其中喷灌架置于点O处，喷水头的高度（喷水头距喷灌架底部的距离）设置的是1米，当喷射出的水流距离喷水头水平距离为8米时，达到最大高度5米．
（1）求水流运行轨迹的函数解析式；
（2）若在距喷灌架米处有一棵米高的果树，问：水流是否会碰到这棵果树？请通过计算说明．
【答案】（1）解：由题可知：抛物线的顶点为，与y轴的交点为(0，1)，
设水流形成的抛物线为，
将点代入可得：，
∴抛物线为：．
（2）解：不能，理由如下：
当时，，
∴水流不会碰到这棵果树．
【解析】【分析】（1）根据题意可得抛物线的顶点为，与y轴的交点为(0，1)，于是可设，将点代入可得，即可求解；
（2）根据题意，当时，，可得结论．
18．用一段长为的篱笆围成一个一边靠墙的矩形鸡场，若墙长，求这个矩形养鸡场最大面积。
【答案】解：设养鸡场平行于墙的一长为x米，则垂直于墙的一长为米，
面积（），
因为，抛物线开口向下，所以当时，面积最大，
.答：最大面积是.
【解析】【分析】令平行于墙的长为x米，则垂直墙的长为（24-x）米。根据矩形面积公式可得： （0＜x＜15），根据a值可知道开口向下，当x=12有最大值72。
19．已知点P（m，n）在抛物线y＝a（x﹣1）2+3（a为常数，a≠0）上．
（1）若m＝2，n＝4，
①求抛物线的解析式；
②若点A（t﹣1，y1），B（t，y2）在该二次函数的图象上，且点A在对称轴左侧、点B在对称轴右侧，若y1＜y2，求t的取值范围；
（2）若﹣1≤m≤0时，总有n≥﹣2，且当3≤m＜4时总有n≤﹣2，求a的值．
【答案】（1）解：①∵
∴
∵点P（m，n）在抛物线y＝a（x﹣1）2+3（a为常数，a≠0）上，
∴
∴
∴抛物线解析式为：.
②由①知该抛物线对称轴为直线
∴
∴
（2）解：当a＞0时，y＞3，与题意不符，
∴a＜0．
∵抛物线y＝a（x﹣1）2+3开口向下，对称轴方程为x＝1，
∴当x≤1时，y随x的增大而增大；当x≥1时，y随x的增大而减小，
∴当m＝﹣1时，n＝﹣2，
将坐标P（﹣1，﹣2）代入y＝a（x﹣1）2+3，得﹣2＝4a+3，
解得a＝﹣
【解析】【分析】（1）①根据题意得到点P的坐标，进而将其坐标代入抛物线解析式求出a的值，进而即可求解；
②由①知该抛物线对称轴为直线然后根据题意列出不等式组，解此不等式组即可求解；
（2）先判断a的正负性，然后根据抛物线的增减性求出点P的坐标，最后将其代入解析式即可求出a的值.
20．抛物线顶点坐标是且经过点．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）求该抛物线与坐标轴的交点坐标．
【答案】（1）解：设抛物线解析式为，
把代入，得，
解得，
则或，
所以抛物线解析式为或；
（2）解：令，则，
解得，．
抛物线与轴的交点，，
令，则，
抛物线与轴交点，
【解析】【分析】（1）设抛物线解析式为顶点式，然后把点 代入，即可求得解析式，最后可化为一般式；
（2）令y=0，得到关于x的方程，求解即可得到与x轴的交点坐标；令x=0，求得y值，即可得到与y轴的交点坐标.
21．如图，抛物线与直线交于两点．
（1）分别求出的值；
（2）求的最大值；
（3）求点A的坐标，并根据图象判断，当x取何值时，？
【答案】解：（1）抛物线与直线交于，两点，
，，
解得，，；
（2），，
抛物线，直线，
，
即当时，取得最大值，
即的最大值是；
（3），
解得，或，
点的坐标为，，
由图象可得，
当时，．
【解析】【分析】（1）根据两个函数图象相交于点，将B点的坐标代入，可以求得、的值；
（2）根据（1）中、的值，可知和的解析式，然后写出-的代数式，根据二次函数的性质，即当x为对称轴时，可得到的最大值；
（3）要求出两个函数的交点，只需要将两个函数解析式联立方程组，再求出、的值，即可得到交点的坐标，然后根据图象的特点，当x处于A，B两点之间时，．
22． 第九届亚洲冬季运动会于2025年2月7日--14日在哈尔滨举行，本届赛会的口号是“冰雪同梦，亚洲同心”，其中亚冬会吉祥物“滨滨”和“妮妮”寓意“哈尔滨欢迎您”.亚冬会特许商品零售店预售吉祥物“滨滨”，该吉祥物每个进价为40元，规定售价不低于进价，现在售价为每个60元，每天可销售100个.经市场调查发现，若售价每降价1元，则每天销售量将增加8个，设每个吉祥物降价x元（x为整数），每天销售量为y个.
（1）写出y关于x的函数表达式，并写出x的取值范围；
（2）设每天销售吉祥物“滨滨”的利润为W元，求出W关于x的函数表达式；
（3）零售店定价为多少时，才能使得每天销售吉祥物“滨滨”的利润最大？最大利润是多少元？
【答案】（1）解： 设每个吉祥物降价x元 ，则销售量增加8x，
∴ 每天销售量y=100+8x，
∴ y关于x的函数表达式y=8x+100，（0≤x≤20，x为整数）.
（2）解：单个商品利润为(20-x )元，
W=(8x+100)(20-x)=-8x2+60x+2000.
（3）解：W=-8x2+60x+2000=-8(x-)2+2112.5，
∵-8<0，且x为整数，
∴当x=4时，最大值为2112，
此时定价60-4=56元，
∴当定价为56元时，才能使得每天销售吉祥物“滨滨”的利润最大，最大利润2112元.
【解析】【分析】⑴根据 总销售量=原有销售量+增加的销售量，列式即可.
⑵根据总利润=单个商品利润×总销售量 ，列式即可.
⑶对二次函数进行配方，求其最大值即可.
23．已知抛物线的顶点为 A (1，-4)，且过点 B(3，0)．
（1）求二次函数解析式；
（2）当y>0时，求x的范围；
（3）当 -1【答案】（1）解：∵二次函数图象的顶点为A（1，-4），
∴设二次函数解析式为y=a（x-1)2 -4，
把点B（3，0）代入二次函数解析式，得：
0=4a-4，解得a=1，∴二次函数解析式为y=（x-1）2-4
（2）解：x<-1或x>3
（3）解：
【解析】【解答】解：(2)已知二次函数解析式y=（x-1）2-4，
图象开口向上
当（x-1）2-4=0时
解得x1=-1，x2=3
即函数图象与x轴交点坐标为（-1，0）和（3，0）
故答案为：x<-1或x>3
（3）y=（x-1）2-4=x2-2x-3图象开口向上，对称轴为x=1
x=1在 -1x=-1与x=2相比距离对称轴更远，函数值更大
故答案为：
【分析】（1）二次函数的解析式有三种形式，根据题意用顶点式最便捷，然后再代入B点坐标确定a值；（2）先求出图象与x轴交点，再根据函数图象性质，写出y大于0时x的取值范围；（3）结合定义域和函数最值，可知最小值等于函数的顶点纵坐标，当x无限接近-1时，y无限接近函数最大值0，故确定了y的范围。
24．已知二次函数
（1）若二次函数的图象经过(2，-5)，(1，-4)，(-1，-6)三点中的某一个点.
①判断该二次函数的图象经过上述三点中的哪一个点；
②当x≥m时，该函数的最小值是-3，求m的值.
（2）若二次函数的图象经过点(n，p)，(n+3，q)，求当p【答案】（1）解：①将三点分别代入函数y=a(x-1)2-a-3：
代入(2，-5)得-5=(2-1)2a-a-3，解得-5=-3，不成立；
代入(1，-4)得-4=(1-1)2a-a-3，解得a=1，成立；
代入(-1，-6)得-6=(-1-1)2a-a-3，解得a=-1，又a＞0，不成立；
因此，二次函数的图象应经过点(1，-4).
②由①得a=1，函数为y=(x-1)2-1-3=(x-1)2-4，开口向上，顶点坐标为(1，-4)，
所以函数最小值为-4，又”当x≥m时，最小值为-3”，
所以x≥m的区间不包含顶点，需找到y=-3时的x值.
令(x-1)2-4=-3，解得x=2或x=0.
又因为x≥m时最小值为-3，且x>1时单调递增，
所以m=2.
（2）解：由函数y=a(x-1)2-a-3可知，函数开口向上，对称轴为x=1.
因为二次函数的图象经过点(n，p)，(n+3，q)，
所以点(n，p)与(n+3，q)的横坐标距离为3，对称轴到两点的距离分别为|n-1|和|n+3-1|=|n+2|.
求当p即|n-1|<|n+2|，两边平方得(n-1)2<(n+2)2，解得n>-0.5
因此，n的取值范围是n>-0.5.
【解析】【分析】 (1) ①将三点坐标依次代入函数解析式，结合a>0的条件，验证等式是否成立，从而确定经过的点；
②先确定函数解析式与顶点，结合最小值的变化，找到函数值为-3的点；再根据区间单调性，即可确定m的取值.
(2) 利用二次函数的对称性（开口向上时，到对称轴距离越远，函数值越大），将p25．如图所示，抛物线y=ax2+c与x轴交于A，B两点，顶点为C，且位于x轴的下方，若点P (1，-3)，B(4，0)．
（1）求该抛物线的函数表达式．
（2）若D是抛物线上一点，且满足∠DPO=∠POB，求点D的坐标．
【答案】（1）把P(1，-3)，B（4，0）代入y=ax2+c中得：
解得：
∴抛物线解析式为y=x2-
（2）如图1所示，当点D作点P的左边时，
∵∠DPO=∠POB，
∴DP∥OB，
∴点D与点P关于抛物线y=的对称轴对称，
∵P(1，-3)，
∴D(-1，-3)；
如图2所示，当点D在点P右边时，设点Q的坐标为(q，0）
∵∠DPO=∠POB，
∴OQ=PQ，
∴q2=(q-1)2+32，
∴q=5，
∴点Q的坐标为(5， 0)，
设直线PQ的解析式为y= kx+b，
∴
∴
∴直线PQ的解析式为y=x-
联立
解得x=或x=1 (舍去)，
∴点D的坐标为(，)
综上所述，点D的坐标为（-1，-3）（，)
【解析】【分析】（1）将P、B的坐标代入y=ax2+c中建立关于a、c的方程组并解之即可；
（2）分两种情况：当点D作点P的左边时和当点D在点P右边时，据此画出图形分别求解即可.
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