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整式的乘法 基础知识达标卷
（时间：100分钟 满分：120分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．下列计算正确的是（ ）
A．2a3+a2=3a5 B．（3a）2=6a2
C．（a+b）2=a2+b2 D．2a2 a3=2a5
2．已知，则的值是（ ）
A．4 B．8 C．12 D．16
3．如果 ，则 应为（ ）．
A．5 B．-5 C．1 D．-1
4．下列乘法中，不能运用平方差公式进行运算的是（ ）
A． B． C． D．
5．下列算式计算结果为m2﹣m﹣6的是（ ）
A．（m+2）（m﹣3） B．（m﹣2）（m+3）
C．（m﹣2）（m﹣3） D．（m+2）（m+3）
6．下列计算正确的是 ( )
A． B．
C． D．
7．下列各式中，可以用平方差公式的是（ ）
A． B．
C． D．
8．已知多项式x﹣a与x2+2x﹣b的乘积中不含x2项，则常数a的值是（ ）
A．﹣1 B．1 C．﹣2 D．2
9．若 ， ，则 的值是（ ）
A．－2 B．2 C．3 D．±3
10．设 ，，．若，则的值是( )
A．5 B．6 C．7 D．8
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．若am=2，am+n=18，则an= ．
12．若 且 ，则代数式 .
13．若的乘积展开式中不含和项，则的值为 ．
14．若x+4y=-1，则2x 16y的值为 ．
15．计算： ；
16．在数学中，为了书写简便，世纪数学家欧拉就引进了求和符号“”，如，；已知，则的值是 ．
三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21题每题8分，22、23每题9分，24、25每题10分，共计72分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．计算：
（1）﹣an（an+1﹣an+an﹣1﹣2）；
（2）x2（x﹣1）+2x（x2﹣2x+3）．
18．已知，B是多项式，在计算时，小马虎同学把看成了，结果得，试求
（1）的值；
（2）的值．
19．如图，是由四个长为m，宽为n的小长方形拼成的正方形．
（1）图中的阴影正方形的边长可表示为 （用含m，n的代数式表示）；
（2）根据图形中的数量关系，请你结合图形直接写出，，之间的一个等量关系 ．
（3）若 ， ，求阴影正方形的面积．
20．何老师安排喜欢探究问题的小明解决某个问题前，先让小明看了一个有解答过程的例题．
例：若m2+2mn+2n2﹣6n+9＝0，求m和n的值．
解：因为m2+2mn+2n2﹣6n+9＝0
所以m2+2mn+2n2﹣6n+9＝0
所以（m+n）2+（n﹣3）2＝0
所以m+n＝0，n﹣3＝0所以m＝﹣3，n＝3为什么要对2n2进行了拆项呢？
聪明的小明理解了例题解决问题的方法，很快解决了下面两个问题．相信你也能很好的解决下面的这两个问题，请写出你的解题过程．
解决问题：
（1）若x2﹣4xy+5y2+2y+1＝0，求xy的值；
（2）已知a，b满足a2+b2＝10a+12b﹣61，求2a+b的值．
21．有一个边长为的正方形，按图切割成个小方块，分别为个小方块的面积．
（1）请用图中所给图形的边长与面积，表示其中的等量关系_______．
（2）利用（1）中的结论解决：若，则_____，_____．
（3）如图2所示，线段的一点，以为边向上下两侧作正方形，正方形，两正方形的面积分别记为和，若，两正方形的面积和，求图中阴影部分面积．
（4）若实数满足，求代数式的值．
22．计算：
（1）
（2）
23．（1）已知( 求 xy和 的值.
（2）若 求 ab和(a+b)2 的值.
24．如图，点D在长方形AEFG的边AG上，且四边形ABCD、四边形DGFH均为正方形，延长BC交GF于点M，设AD＝a，DG＝b（a＜b），△BEF的面积记为S1，四边形ABFG的面积记为S2，长方形DCMG的面积记为S3．
（1）用a、b的代数式表示S1和S2；
（2）若，求的值；
（3）若S2＝33，S3＝14，求CH的长．
25． 如果一个自然数能表示为两个自然数的平方差， 那么称这个自然数为 “智慧数”．例： 就是一个 “智慧数”．
小明和小王对自然数中的“智慧数”进行了如下探索：
小明的方法是一个一个找出来：
小王认为小明的方法太麻烦， 他想到 ： 设 是自然数， 由于 ． 所以， 自然数中所有奇数都是 “智慧数”．
问题：
（1）根据上述小明的方法， 自然数中第 10 个 “智慧数”是
（2）他们发现除奇数外， 还有 也是 “智慧数”， 由此猜测 （ 为正整数）都是 “智慧数”． 请你参考小王的办法证明 （ 为正整数）都是“智慧数”．
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整式的乘法 基础知识达标卷
（时间：100分钟 满分：120分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．下列计算正确的是（ ）
A．2a3+a2=3a5 B．（3a）2=6a2
C．（a+b）2=a2+b2 D．2a2 a3=2a5
【答案】D
【解析】【解答】解：A、2a3与a2不是同类项不能合并，故A选项错误；
B、（3a）2=9a2，故B选项错误；
C、（a+b）2=a2+2ab+b2，故C选项错误；
D、2a2 a3=2a5，故D选项正确，
故选：D．
【分析】根据合并同类项法则、积的乘方、完全平方公式、单项式乘单项式判断即可．
2．已知，则的值是（ ）
A．4 B．8 C．12 D．16
【答案】D
【解析】【解答】解：设A=x-2019，B=x-2021，则A2+B2=34，A-B=2，
由（A-B）2=A2+B2-2AB可得，
4=34-2AB，
∴AB=15，
即（x-2019）（x-2021）=15，
也就是（x-2020+1）（x-2020-1）=15，
（x-2020）2-1=15，
∴（x-2020）2=16，
故答案为：D.
【分析】设A=x-2019，B=x-2021，根据已知的等式可得A2+B2=34①，A-B=2②，将等式①根据完全平方公式变形可（A-B）2=A2+B2-2AB，再把①② 代入变形后的等式可得AB=15，即（x-2020+1）（x-2020-1）=15，由平方差公式可求解.
3．如果 ，则 应为（ ）．
A．5 B．-5 C．1 D．-1
【答案】D
【解析】【解答】解：由 可得：
，
∴ ；
故答案为：D．
【分析】利用多项式乘多项式即可得出k的值。
4．下列乘法中，不能运用平方差公式进行运算的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】【解答】解：A．，故A符合题意
B．，故B不符合题意
C．，故C不符合题意
D．，故D不符合题意．
故选：A．
【分析】
此题考查了平方差公式的应用，根据平方差公式：依次进行判断即可.
5．下列算式计算结果为m2﹣m﹣6的是（ ）
A．（m+2）（m﹣3） B．（m﹣2）（m+3）
C．（m﹣2）（m﹣3） D．（m+2）（m+3）
【答案】A
【解析】【解答】解：A、（m+2）（m﹣3）=m2﹣3m+2m﹣6=m2﹣m﹣6，本选项正确；
B、（m﹣2）（m+3）=m2+3m﹣2m﹣6=m2+m﹣6，本选项错误；
C、（m﹣2）（m﹣3）=m2﹣3m﹣2m+6=m2﹣5m+6，本选项错误；
D、（m+2）（m+3）=m2+3m+2m+6=m2+5m+6，本选项错误，
故选A．
【分析】各项利用多项式乘以多项式法则计算得到结果，即可做出判断．
6．下列计算正确的是 ( )
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】【解答】解：A、 6a3×2a2＝ 12a5，选项计算错误，不符合题意；
B、a4与a2不是同类项，不能合并，不符合题意；
C、（3xy2）2＝9x2y4，选项计算错误，不符合题意；
D、（ m）7÷（ m）2＝（ m）5＝ m5，选项计算正确，符合题意．
故答案为：D．
【分析】利用单项式乘单项式、幂的乘方、积的乘方和同底数幂的除法的计算方法逐项分析判断即可.
7．下列各式中，可以用平方差公式的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】【解答】解：A. 中没有相同项和相反项，不能用平方差公式展开，故A不符合题意.
B. 中没有相同项，不能用平方差公式，故B不符合题意；
C. = ，故C符合题意；
D. 没有相项和相反项，不能用平方差公式展形，故C不符合题意.
故答案为：C.
【分析】根据平方差公式，两数的和乘两数差的积等于这两个数的平方差，依次判断即可.
8．已知多项式x﹣a与x2+2x﹣b的乘积中不含x2项，则常数a的值是（ ）
A．﹣1 B．1 C．﹣2 D．2
【答案】D
【解析】【解答】解：（x﹣a）（x2+2x﹣b）
＝x3+2x2﹣bx﹣ax2﹣2ax+ab
＝x3+（2﹣a）x2+（﹣b﹣2a）x+ab，
因为不含x2项，
所以2﹣a＝0，
所以a＝2.
故答案为：D.
【分析】根据多项式与多项式的乘法法则可得(x-a)(x2+2x-b)=x3+(2-a)x2+(-b-2a)x+ab，然后根据乘积中不含x2项可得2-a＝0，求解即可.
9．若 ， ，则 的值是（ ）
A．－2 B．2 C．3 D．±3
【答案】C
【解析】【解答】解：由题意得（a2+b2）2=5+a2b2，
因为ab=2，所以a2+b2= =3．
故答案为：C．
【分析】根据完全平方公式分解因式进而求解即可．
10．设 ，，．若，则的值是( )
A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】C
【解析】【解答】解：，，，
，，
，
，
，解得：，
，
故选：C．
【分析】先利用完全平方公式得出，，再利用已知条件得到，展开后整体代入求值．
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．若am=2，am+n=18，则an= ．
【答案】9
【解析】【解答】解：∵am=2，
∴am+n=am an=18，
∴an=9，
故答案为9．
【分析】根据同底数幂的乘法进行计算即可．
12．若 且 ，则代数式 .
【答案】5
【解析】【解答】解： ，
将 代入得：原式 ，
故答案为：5.
【分析】根据多项式乘以多项式将代数式的括号展开，然后整体代入计算即可.
13．若的乘积展开式中不含和项，则的值为 ．
【答案】
【解析】【解答】解：∵
=x3+（2m-3）x2+（-n-6m）x+3n，
∵乘积展开式中不含x2和x项，
∴2m-3=0，-n-6m=0，
解得m=，n=-9，
∴m+n=-9=-．
故答案为：-.
【分析】根据多项式与多项式的乘法法则可得(x-3)(x2+2mx-n)=x3+(2m-3)x2+(-n-6m)x+3n，由乘积展开式中不含x2和x项可得2m-3=0，-n-6m=0，求出m、n的值，然后根据有理数的加法法则进行计算.
14．若x+4y=-1，则2x 16y的值为 ．
【答案】
【解析】【解答】 ，
.
【分析】先换成同底数的幂，再根据同底数幂相乘解决问题即可
15．计算： ；
【答案】
【解析】【解答】解：（3m-1）（2m-1）
=6 -2m-3m+1
= .
故答案为： .
【分析】根据多项式乘多项式的法则计算即可.
16．在数学中，为了书写简便，世纪数学家欧拉就引进了求和符号“”，如，；已知，则的值是 ．
【答案】
【解析】【解答】解：由知，
即，
故答案为：．
【分析】由于且“ ”，发现x2项的系数为4，也就是说求和的项数为4，即n=5；将n=5代入求和表达式中计算出表达式的值，根据多项式对应项系数相等求出m的值，最后再求m、n的和即可.
三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21题每题8分，22、23每题9分，24、25每题10分，共计72分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．计算：
（1）﹣an（an+1﹣an+an﹣1﹣2）；
（2）x2（x﹣1）+2x（x2﹣2x+3）．
【答案】（1）解：原式=﹣a2n+1+a2n﹣a2n﹣1+2an
（2）解：原式=x3﹣x2+2x3﹣4x2+6x=3x3﹣5x2+6x
【解析】【分析】（1）原式利用单项式乘多项式法则计算即可得到结果；（2）原式利用单项式乘多项式法则计算，去括号合并即可得到结果．
18．已知，B是多项式，在计算时，小马虎同学把看成了，结果得，试求
（1）的值；
（2）的值．
【答案】（1）解：由题意得：，
，
．
（2）解：由（1）可得，∴．
【解析】【分析】本题考查整式的乘除和加减运算。
(1)根据除法的逆运算，“被除数=商×除数”，用乘以错误计算的商可求出多项式，再将与进行整式的加法运算，合并同类项后得到的结果；
(2)先根据积的乘方计算，再计算，最后进行整式的减法运算，合并同类项得到的结果。
（1）解：由题意得：，
，
．
（2）解：由（1）可得，
∴．
19．如图，是由四个长为m，宽为n的小长方形拼成的正方形．
（1）图中的阴影正方形的边长可表示为 （用含m，n的代数式表示）；
（2）根据图形中的数量关系，请你结合图形直接写出，，之间的一个等量关系 ．
（3）若 ， ，求阴影正方形的面积．
【答案】（1）
（2）
（3）解：∵，
∴，
当，，
∴．
答：阴影正方形的面积为37．
【解析】【解答】（1）解：由拼图可知，
图中的阴影正方形的边长可表示为，
故答案为：；
（2）解：大正方形的边长为，因此面积为，
小正方形的边长为，因此面积为，
4个小长方形的面积和为，
所以有，
故答案为：.
【分析】（1）根据图形利用线段的和差求解即可；（2）利用不同的表达式表示同一个图形的面积可得等式；（3）利用（2）的等式和完全平方公式的变式分析求解即可.
（1）解：由拼图可知，
图中的阴影正方形的边长可表示为，
故答案为：；
（2）解：大正方形的边长为，因此面积为，
小正方形的边长为，因此面积为，
4个小长方形的面积和为，
所以有，
故答案为：；
（3）解：∵，
∴，
当，，
∴．
答：阴影正方形的面积为37．
20．何老师安排喜欢探究问题的小明解决某个问题前，先让小明看了一个有解答过程的例题．
例：若m2+2mn+2n2﹣6n+9＝0，求m和n的值．
解：因为m2+2mn+2n2﹣6n+9＝0
所以m2+2mn+2n2﹣6n+9＝0
所以（m+n）2+（n﹣3）2＝0
所以m+n＝0，n﹣3＝0所以m＝﹣3，n＝3为什么要对2n2进行了拆项呢？
聪明的小明理解了例题解决问题的方法，很快解决了下面两个问题．相信你也能很好的解决下面的这两个问题，请写出你的解题过程．
解决问题：
（1）若x2﹣4xy+5y2+2y+1＝0，求xy的值；
（2）已知a，b满足a2+b2＝10a+12b﹣61，求2a+b的值．
【答案】（1）解：∵x2﹣4xy+5y2+2y+1＝0，
∴x2﹣4xy+4y2+y2+2y+1＝0，
即 （x﹣2y）2+（y+1）2＝0，（x﹣2y）2＝0；（y+1）2＝0
解得 x＝﹣2，y＝﹣1，
∴xy＝（﹣2）﹣1＝﹣
（2）解：∵a2+b2＝10a+12b﹣61
∴a2﹣10a+25+b2﹣12b+36＝0
∴（a﹣5）2+（b﹣6）2＝0
∴a＝5，b＝6，
∴2a+b＝2×5+6＝16．
【解析】【分析】(1)利用完全平方公式把原式化为，再根据非负性解题即可；
(2)利用完全平方公式把变形成， 再根据非负性求得a、b的值，再代入计算即可．
21．有一个边长为的正方形，按图切割成个小方块，分别为个小方块的面积．
（1）请用图中所给图形的边长与面积，表示其中的等量关系_______．
（2）利用（1）中的结论解决：若，则_____，_____．
（3）如图2所示，线段的一点，以为边向上下两侧作正方形，正方形，两正方形的面积分别记为和，若，两正方形的面积和，求图中阴影部分面积．
（4）若实数满足，求代数式的值．
【答案】（1）
（2），
（3）解：连接，设，，依题意，
∴阴影部分面积为
∴；
（4）解：设，，
∵，
∴，，
∴
．
【解析】【解答】解：（1）由题意得：，
故答案为：；
（2）∵，，
∴，
∵，
∴，
由图可知a＜b，
∴a-b＜0，
∴ a-b=-1；
故答案为：25；-1；
【分析】（1）根据4个小方块的面积和与大正方形的面积相等求解即可；
（2）根据（1）中的结论，得，从而整体代入计算可得第一空答案；根据，从而整体代入计算后再开平方求出a-b的值，最后结合图形判断出a-b＜0，从而得出答案；
（3）连接AC，设，，依题意，，根据及完全平方公式的恒等变形得，从而整体代入计算即可求解；
（4）设，，根据，得出，，利用完全平方公式的恒等变形得，然后整体代入计算可得答案.
22．计算：
（1）
（2）
【答案】（1）x·（-x）2-x3=x·x2-x3=x3-x3=0.
（2）解：（m-n）2·=（m-n）2·（m-n）15=（m-n）17.
【解析】【分析】（1）先根据积的乘方的法则，把（-x）2化成x2，再用同底数幂相乘的乘法法则把x.x2化为x3，最后再计算x3-x3，结果为0.
（2）先根据积的乘方的法则，把（m-n）看做一个整体，算出=（m-n）15，然后根据同底数幂相乘的乘法法则，把（m-n）2.（m-n）15写成（m-n）17即可.
23．（1）已知( 求 xy和 的值.
（2）若 求 ab和(a+b)2 的值.
【答案】（1）解：∵
∴
∴xy=4，x2+y2=17，
答： xy=4，x2+y2=17.
（2）解：∵
又(a-b)2=a2-2ab+b2，
∴15-2ab=3，
∴ab=6，
∴(a+b)2=a2+2ab+b2=15+2×6=27.
答：ab=6，(a+b)2=27.
【解析】【分析】（1）根据“”，两式相加减即可得 xy和 的值 .
（2）根据“(a-b)2=a2-2ab+b2”及计算 ab的值，再根据“(a+b)2=a2+2ab+b2”计算(a+b)2 的值.
24．如图，点D在长方形AEFG的边AG上，且四边形ABCD、四边形DGFH均为正方形，延长BC交GF于点M，设AD＝a，DG＝b（a＜b），△BEF的面积记为S1，四边形ABFG的面积记为S2，长方形DCMG的面积记为S3．
（1）用a、b的代数式表示S1和S2；
（2）若，求的值；
（3）若S2＝33，S3＝14，求CH的长．
【答案】（1）解：∵点D在长方形AEFG的边AG上，四边形ABCD和四边形DGFH为正方形，且AD＝a，DG＝b（a＜b），
∴AB＝CD＝GM＝EH＝a，DH＝HF＝GF＝AE＝b，
∴，
∴；
（2）解：∵CD＝a，CM＝FH＝b，
∴S3＝S长方形DCMG＝CD CM＝ab，
∴b＝3a，
∴；
（3）解：S2＝33，S3＝14，
∴，ab＝14，
∴（b﹣a）2＝（b+a）2﹣4ab＝66﹣4×14＝10，
∵b＞a，
∴，
∴．
【解析】【分析】（1）根据正方形的性质得到：然后根据三角形的面积和割补法求几何图形的面积计算即可求解；
（2）根据长方形的面积计算公式得到：结合（1）即可求出的值；
（3）根据题意得到：，，进而利用完全平方公式求出的值，进而即可求解.
25． 如果一个自然数能表示为两个自然数的平方差， 那么称这个自然数为 “智慧数”．例： 就是一个 “智慧数”．
小明和小王对自然数中的“智慧数”进行了如下探索：
小明的方法是一个一个找出来：
小王认为小明的方法太麻烦， 他想到 ： 设 是自然数， 由于 ． 所以， 自然数中所有奇数都是 “智慧数”．
问题：
（1）根据上述小明的方法， 自然数中第 10 个 “智慧数”是
（2）他们发现除奇数外， 还有 也是 “智慧数”， 由此猜测 （ 为正整数）都是 “智慧数”． 请你参考小王的办法证明 （ 为正整数）都是“智慧数”．
【答案】（1）12
（2）解：设k是自然数， 由于 ．
因为k是自然数， 所以k+1是正整数，
∴4a(a为正整数) 都是“智慧数”．
【解析】【解答】解：（1）根据小明的方法，自然数中第10个“智慧数”是：.
故答案为：12；
【分析】（1） 仿照小明的办法，继续下去，即可得出结；
（2）模仿小王的做法，将（k+2）2-k2用平方差公式展开即可得出结论.
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